结构力学：第5章 静定结构位移计算3(图乘法)
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结构力学-图乘法
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第七章
静定结构位移计算
第2页
等截面直杆AB段 以杆轴为 x 轴，以 M 图的 延长线与 x 轴的交点O为坐 tan 标原点， 沿AB杆段为 常数 M x tan
B
A
M M P ds EI
1 EI
B
MM
A
P
dx
tan EI
B
xM
A
P
dx
tan EI
c
y1
y2
d
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第七章
静定结构位移计算
第8页
a
1
2
b
d
y2 c y1
yc
EI 1 EI
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样， 可分解为位于基线两侧的两 个三角形，分别与另一图形 相乘，然后叠加。
( 1 y 1 2 y 2 )
( 10
2 )( 1 . 5 2 ) 4 2
98 . 84 EI
( )
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第七章
静定结构位移计算
第24页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
y5 y 4 y 3
y1 y2
解 （1）作实际状态的 M
P
。
ql 8
2
ql 8
2
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第七章
静定结构位移计算
第14页
（2）建立虚拟状态，并作
l/2
M
图。
1
（3）进行图形相乘，求C点竖向位移 C y 。
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第七章
静定结构位移计算
静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
典型例题解析-_静定结构位移计算
第5章 静定结构位移计算§5 – 1 基本概念5-1-1 虚拟单位力状态构造方法●虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。
如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ∆和C 截面转角C ϕ，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。
5-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：N Q ,,,Ri F M F F实际荷载作用下，引起的内力：NP P QP ,,F M F●位移计算一般公式N Q Ri i F du Md F ds F c ∆ϕγ=++-∑∑∑∑⎰⎰⎰●荷载作用产生位移的计算公式Q N QP NP Pk F F F F M M ds ds ds EA EI GA∆=++∑∑∑⎰⎰⎰ 1、梁或刚架结构 PM M ds EI∆=∑⎰ 2、桁架结构 N NPF F ds EA∆=∑⎰图3-1虚拟单位力状态)a ()b ()c (2 结构力学典型例题解析3、混合结构N NP PF F MM ds ds EA EI∆=+∑∑⎰⎰ ●支座移动引起位移计算公式Ri i F c ∆=-∑●温度引起位移计算公式()N 0tF t dx Mdx hα∆∆α=+±∑∑⎰⎰()N 0Mtt lF A hα∆∆α=+±∑∑式中：0,,t t α∆为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度M A 虚拟状态弯矩图面积●有弹性支座情况的位移计算公式()P RPR 0RPR M M Fds F EI kAy F F EI k∆=+⨯±=+⨯∑∑⎰∑∑5-1-3 图乘法图乘法公式：0P()Ay MM dx EI EI±∆==∑∑⎰图乘法公式条件：●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定：面积A 与y 0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。
结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例
3. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形 只考虑弯曲变形
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
结 束
（第二版）作业：5—10 ，11, 13, 22 第二版）作业：
∆ CV
1 q q 1 qL x Lx − x 2 1.2 × − qx L L 2 2 2 2 2 dx = 2∫ 2 dx + 2∫ 2 0 0 EI GA 5qL4 κ qL2 = + 384 EI 8GA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL 弯曲变形： 弯曲变形： ∆ M = 384 EI
两者的比值： 两者的比值： 若高跨比为： 若高跨比为：
∆Q ∆M = 11.52
4
剪切变形： 剪切变形： ∆ Q =
EI h = 2.56 GAL2 L
2
κ qL2
8GA
h 1 = L 10
则： ∆
∆Q
M
= 2.56%
结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 一般形的影响。
l
截面剪应力 非均布修正系数
dη = k
FQP GA
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
工程力学
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
1.1
图乘法的计算公式
建筑结构多为梁和刚架,从上述例题中可以看到,直 接应用位移公式
进行积分运算是很麻烦的,但如果结构和荷载满足 以下条件,则此积分运算可以变得相对简单些：①EI沿 杆长度不变,即EI为常数；②杆件为直杆；③M图和MP 图中至少有一个为直线图形。
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
1.2
图乘法公式的应用
应用图乘法公式计算时应注意以下几点。 (1)必须满足前述的三个条件,若EI为分段常 数,应分段计算。 (2)面积ω与yC在杆的同侧时,ωyC的乘积取 正号；反之,ωyC的乘积取负号。 (3)yC必须取自直线图中,而ω则为另一图形 面积。 (4)如果某一个图形是由几段直线组成的折 线,则应分段计算。例如,对图14-9所示的情形, 计算式应为
图14-10
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
若直线图形具有正、负号两部分,如图14-11所示,则 可将MP图分解为两个三角形,采用上述方法可得
图14-11
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
（6）对于图14-12所示的均 布荷载作用的部分,其MP图可视为 同一简支梁两端受力偶作用下的 弯矩图(图中梯形ABDC部分)与均 布荷载作用下的弯矩图(图中虚线 与抛物线间部分)的叠加结果。计 算时可将 M 图分别与上述两部分 图乘,再求出其代数和。
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
在图14-8中,AB为直 杆,M图为一段直线,而MP 图为任意形状。现取AB杆 轴线为x轴,M图直线段的延 长线与x轴的交点为坐标原 点,建立坐标系,设杆截面的 抗弯刚度EI为常数,则
图14-8
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
1.1
图乘法的计算公式
建筑结构多为梁和刚架,从上述例题中可以看到,直 接应用位移公式
进行积分运算是很麻烦的,但如果结构和荷载满足 以下条件,则此积分运算可以变得相对简单些：①EI沿 杆长度不变,即EI为常数；②杆件为直杆；③M图和MP 图中至少有一个为直线图形。
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
1.2
图乘法公式的应用
应用图乘法公式计算时应注意以下几点。 (1)必须满足前述的三个条件,若EI为分段常 数,应分段计算。 (2)面积ω与yC在杆的同侧时,ωyC的乘积取 正号；反之,ωyC的乘积取负号。 (3)yC必须取自直线图中,而ω则为另一图形 面积。 (4)如果某一个图形是由几段直线组成的折 线,则应分段计算。例如,对图14-9所示的情形, 计算式应为
图14-10
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
若直线图形具有正、负号两部分,如图14-11所示,则 可将MP图分解为两个三角形,采用上述方法可得
图14-11
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
（6）对于图14-12所示的均 布荷载作用的部分,其MP图可视为 同一简支梁两端受力偶作用下的 弯矩图(图中梯形ABDC部分)与均 布荷载作用下的弯矩图(图中虚线 与抛物线间部分)的叠加结果。计 算时可将 M 图分别与上述两部分 图乘,再求出其代数和。
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
在图14-8中,AB为直 杆,M图为一段直线,而MP 图为任意形状。现取AB杆 轴线为x轴,M图直线段的延 长线与x轴的交点为坐标原 点,建立坐标系,设杆截面的 抗弯刚度EI为常数,则
图14-8
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)
局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
Page 12
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
14:32
结构力学-静定结构位移计算
第二节 变形体虚功原理
注意： 定义“功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则称实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称虚功； 为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念： 凡与力相关的因子均称广义力（如集中力、分布力，力偶等） 凡与位移相关的因子均称广义位移（如线位移、角位移等）
理解为广义力
第二节 变形体虚功原理
实功：力在自身所产生的位移上所作的功。
(1) 常力作功
S
FP
(2) 变力作功
FP
（力与位移有因果关系）
O
第二节 变形体虚功原理
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP1
FP2
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况： 1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。
实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。
第三节 位移计算公式
1、一般位移计算公式
单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method。 用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移，故称为单位荷载法。
协调的位移状态
平衡的力 状 态
A
B
k
c1
c2
k
k
FP
q(x)
A
B
考察同一结构的两个状态，欲求 k 点位移 k
实际状态
虚设状态
外力虚功
添加标题
内力虚功
第五章 结构位移计算
8
1 虚功原理回顾
1. 功的定义: 功=力×力作用点沿其方向的位移
F A S B F
W F cos S 常力功
F
1 W F 2
变力功
9
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力
F
2)作功的力系为一个集中力偶
W F
虚拟状态
24
1
广义力与 广义位移对应
练习:
Fp=1
C Fp=1 B
求C点竖向位移
求B点水平位移
A
Fp=1 B
Fp=1
A
Fp=1
B Fp=1
求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
3 静定结构在荷载作用下的位移计算
1. 公式
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故一般公式为
注意：１.适用于任何类型的结构，弹性、非弹性、线性、非线性；
２. 外力与虚位移相互独立，两者毫不相干，虚位移 由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。
实际应用时两种情形：
a) 给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态 的未知力，称为虚位移原理；
b)给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的 18 未知位移，称为虚力原理。
第五章 虚功原理与结构位移
1
“位移”是连接静定结构与超静定 结构之间的桥梁和纽带
前面所学五种静定结构(梁,刚架,拱,桁架 ,组合结构) 的内力计算可归结为强度问题, 而结构力学的重要任务之一是解决刚度问 题——结构位移计算. 本章要讨论各种杆件结构的位移计算, 依据虚功原理.先推导出杆件结构位移计算 的一般公式,再讨论具体结构的位移.
结构力学——静定结构位移计算课件
意义
位移计算是结构力学中的一个核心任务。准确的位移计算对于桥梁、建筑、塔架 等各种结构的设计、施工和使用阶段的性能评估都是必不可少的。通过位移计算 ，工程师可以判断结构是否满足设计要求，以及是否需要采取加固措施。
位移计算的方法和原理
方法
位移计算方法主要有解析法、数值法和实验法三种。解析法 基于简化假设和数学模型求解，适用于简单结构；数值法如 有限元法、有限差分法等，适用于复杂结构；实验法通过物 理试验直接测定位移。
外伸梁的位移计算
1 2
挠曲线形状
外伸梁的挠曲线形状与悬臂梁和简支梁有所不同 。需要通过对挠曲线形状的分析来进行位移计算 。
外伸长度影响
外伸梁的外伸长度会影响其位移大小。在计算过 程中，要将外伸长度作为一个重要参数来考虑。
3
荷载与外伸端的相互作用
荷载作用在外伸端时，会与梁产生相互作用，进 一步影响位移。需要对这种相互作用进行详细分 析。
原理
位移计算的原理涉及到结构的平衡条件、变形协调条件和物 理方程。根据平衡条件，外部荷载引起的内力必须平衡；变 形协调条件要求结构的变形连续且协调；物理方程则描述了 内力与变形之间的关系。
位移计算的应用范围
桥梁工程
建筑工程
在桥梁设计中，需要计算桥梁在车辆荷载 、风荷载等作用下的位移，以确保桥梁的 安全性和行车舒适性。
计算步骤
2. 绘制刚架的弯矩图和剪力图。 3. 利用图乘法计算刚架的位移。
1. 确定刚架的约束条件和荷载情况。
注意事项：在计算过程中，需要注意刚架的结构特点，如 是否有对称性等，以简化计算过程。
刚架位移计算的特殊情况处理
对称性处理：当刚架具有对称 性时，可以利用对称性简化计 算，只需计算一半结构即可。
位移计算是结构力学中的一个核心任务。准确的位移计算对于桥梁、建筑、塔架 等各种结构的设计、施工和使用阶段的性能评估都是必不可少的。通过位移计算 ，工程师可以判断结构是否满足设计要求，以及是否需要采取加固措施。
位移计算的方法和原理
方法
位移计算方法主要有解析法、数值法和实验法三种。解析法 基于简化假设和数学模型求解，适用于简单结构；数值法如 有限元法、有限差分法等，适用于复杂结构；实验法通过物 理试验直接测定位移。
外伸梁的位移计算
1 2
挠曲线形状
外伸梁的挠曲线形状与悬臂梁和简支梁有所不同 。需要通过对挠曲线形状的分析来进行位移计算 。
外伸长度影响
外伸梁的外伸长度会影响其位移大小。在计算过 程中，要将外伸长度作为一个重要参数来考虑。
3
荷载与外伸端的相互作用
荷载作用在外伸端时，会与梁产生相互作用，进 一步影响位移。需要对这种相互作用进行详细分 析。
原理
位移计算的原理涉及到结构的平衡条件、变形协调条件和物 理方程。根据平衡条件，外部荷载引起的内力必须平衡；变 形协调条件要求结构的变形连续且协调；物理方程则描述了 内力与变形之间的关系。
位移计算的应用范围
桥梁工程
建筑工程
在桥梁设计中，需要计算桥梁在车辆荷载 、风荷载等作用下的位移，以确保桥梁的 安全性和行车舒适性。
计算步骤
2. 绘制刚架的弯矩图和剪力图。 3. 利用图乘法计算刚架的位移。
1. 确定刚架的约束条件和荷载情况。
注意事项：在计算过程中，需要注意刚架的结构特点，如 是否有对称性等，以简化计算过程。
刚架位移计算的特殊情况处理
对称性处理：当刚架具有对称 性时，可以利用对称性简化计 算，只需计算一半结构即可。
静定结构的位移计算-图乘法
EI＝常数 D A
a
DH
FP a 3 6EI
()
例 4： 计算图示结构 B 点转角
q
A
B EI ql2 / 4
B
ql3 24 EI
(
)
l
例 5: 计算图示结构 C 384EI
()
q
B
C
L
L/2
例 6： 计算图示结构 C 点竖向位移
q
A
B
EI
C
l/2
l/2
例7： 计算图示结构 C 点竖向位移
FP
FP B
C
0.5EI
a
EI A
a
C
5FP a 2 2EI
(
)
例 2 ：计算图示结构 B 点转角。
A
B
EI
20kN
m 10m40kN
m
B
500 3EI
(
)
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（同侧）
1
2
Mp M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d)
FP
EI
A
C
B
l/2 l/2
例 8： 计算图示结构A点竖向位移
FP＝0.5qL q
A
EI B
L
例 9（课后完成） : 计算图示结构 C点竖向位移 q
A l/2C l/2 B
作业： 5—20、5—23
第五章 静定结构的位移计算
§5-5 图乘法
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件：
（1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线
结构力学课件 第五章 静定结构位移计算
N P l EA FN FNP
钢筋 混凝土
－4.74FP －1.58
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
1.97FPl/AbEb 1.84FPl/AbEb 0 0 0.63FPl/AgEg 0.5FPl/AgEg
CD DE CE
－4.42FP －1.58
0 0
0.263l
0.088l 0.278l
• 结构整体变形和支座移动共同产生的总位移计算
（ FN FQ Mk）ds FR K c K
欲求的实际位移
cK
实际发生的已知位移
FN
FQ
M
FR K
虚设单位力作用下产生的力
§5-3 荷载作用下的位移计算
• 计算公式 • 计算步骤 • 各类结构位移计算公式
（M k FN FQ）ds
kFQ FQP FN FN P MMP ds ds ds EI EA GA
欲求的实际位移 M P FNP FQP 实际荷载作用下产生的内力
M
FN
FQ
虚设单位力作用下产生的内力
每一积分式的两个内力若使杆件变形一致，则其乘积取正号， 反之则取负号。
计算结果若 0 若 0
Ay0 EI
ql 2
MP
1
1
M
B
ql 2 ql 2
1
1
1
q
l
ql
l
ql 2
FN P
1
1
FN
FN FNP l FN FNP N ds EA EA
N 1 ql ql 2 N 1 l （） M EA 2 2 EA
结构力学图乘法
FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以
即
F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
结构力学第五章 位移计算
k FQ P FQ
M ( x ) x l , M P ( x ) q (l x ) 2 / 2
FP 1 x
MP
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
FP B FP=1 FP
FQ P M P
A
R
O
θ
R
FN P R
θ
FPF R sin , M k R R R3 M P P , i FP sin, FP R 设 : M Q N
3.变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在某一 位置处于平衡的必要和充分条件 是： 对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之 和为零。也即
FP1
FN 1
FP 2
m1 m
2
FN 2
→. → ΣFi δri=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应 的反力，该反力便可看 成外力。则有：刚体系 处于平衡的必要和充分 条件是：
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
3.本章位移计算的假定 (1)
(2) (3)
线弹性 (Linear Elastic),
小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint)。
[
M PM EI
FN P FN EA
]ds
2.桁架
kp FN P FN EA FN P FN l EA ds
3.组合结构
kp
这些公式的适 用条件是什么?
M ( x ) x l , M P ( x ) q (l x ) 2 / 2
FP 1 x
MP
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
FP B FP=1 FP
FQ P M P
A
R
O
θ
R
FN P R
θ
FPF R sin , M k R R R3 M P P , i FP sin, FP R 设 : M Q N
3.变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在某一 位置处于平衡的必要和充分条件 是： 对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之 和为零。也即
FP1
FN 1
FP 2
m1 m
2
FN 2
→. → ΣFi δri=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应 的反力，该反力便可看 成外力。则有：刚体系 处于平衡的必要和充分 条件是：
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
3.本章位移计算的假定 (1)
(2) (3)
线弹性 (Linear Elastic),
小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint)。
[
M PM EI
FN P FN EA
]ds
2.桁架
kp FN P FN EA FN P FN l EA ds
3.组合结构
kp
这些公式的适 用条件是什么?
第五章 位移计算习题解答
∆������������=
������ 4
(逆时针)，∆������������=
������ 2
(向下)
5-4：图示刚架的 A 支座向下发生了 a 的移动，C 支座向右发生了 b 的移动，求 由此引起铰 D 两侧截面的相对转角 D 和 E 点的竖向位移 EY 。
D
E
4m
Aa B
C
b 2m 2m 2m 2m
6 12
17 23
图 5-7-1
取如图所示的角为θ角，所以
sinθ
=
ℎ √4������2 +
ℎ2
，cosθ
=
2������ √4������2 +
ℎ2
，tanθ
=
ℎ 2������
(1)杆件在实际荷载作用下的轴力
������������1 = ������������3 = ������������6 = ������������13 = ������������20 = ������������23 = ������������24 = 0
1)
������ 6 =5−5 以 B 为坐标原点，建立坐标系
(1 < ������ < 5)
EB 段：
���̅���3
=
−
������ 5
(0 < ������ < 1)
所以
∆������������ =
1 ������������
1
∫ 15������
0
∙
������������������
+
1 5������������
图 5-4
解：由于此结构为静定结构，所以支座位移不会引起结构内力。由于 B 点无竖 向支座，所以在 A 点沉降作用下 ABDE 同时下降 a，E 点竖向位移与 C 点位移 b 无关，所以铰 D 两侧截面的相对转角∆������φ和 E 点的竖向位移∆EY的值为：
结构力学第5章虚功原理与结构位移计算3ppt课件
=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
MP’
D
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
D
C2
b MP’’ B
⊿=
l (2ac+2bd+ab+bc) 6EI
Ca C1 A来自cyC1l a C1
• (2)、左图也可分为两个
C2
B MP
b
标准三角形，进行图乘运 算。
D
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
+FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
1
l/2
例:
图示刚架，用 图乘法求B端转角 θB ; CB杆中点D的
竖向线位移⊿DV。
各杆EI=常数。
60kN 12kN
12kN 72kN
EI=常数
72kN
解: • 1、作荷载作用下结构的弯矩图。
C2
252 C1
45
C3
C4
90
错在哪里？
3、正确的作法
FP
⊿CV
l/2
l/2
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4
y1=l/3
AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y2=l/6 FP
AP
FP l
AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y3= 0
⊿CV=∑AP·yC/EI =(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6
§5-5 图乘法
一、图乘法的适用条件
计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
MM EI
P
ds
结构力学第五章结构位移计算
M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K ,RK )
经分析：
a ds t0ds ;
ads 0
;
ads
t h
ds
;
RCA 0
将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：
y
d
MP(x)
dx
MK(X)
y yo
o
xA
Bx
xo
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
1 tg
EI
b
a xM Pdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0 P
1 EI
P
y0
（Mp图）
（Mk1图）
（Mk2图）
CV
M K M P ds 1 [( 6 6) ( 2 300) ( 2 6 45) ( 6 ) (6 6) (300)] 13860 0.0924m()
l EI
EI 2
3
3
2
EI
C
1 EI
[(300 6)(1) ( 2
位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割 面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。
用式子表达就是下面的虚功方程：
T=V
虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。 其具体表达式为：
静定结构的位移计算图文PPT课件
EA
GA
EI
lk [
q(l
x)
q(l
x)3
]dx
Mk
lx
FPk 1
0 GA
2EI
FQk
kql 2 ql 4
2GA 8EI
()
第30页/共57页
lx
设
Q kP
kql 2 2GA
,
M kP
ql 4 8EI
,
则：
Q kP
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 / 5,
，
1 MP
m EI
荷载作用下，位移计算公式：
N
km
i 1
s FNk
N
mds
i 1
s FQk
N
mds
i 1
1
s Mk m ds
N
kP
i 1
FNk FNP ds N
s EA
i 1
kFQk FQP ds N
s GA
i 1
Mk M P ds s EI
第29页/共57页
例4-1: 已知图示梁的E、G,
km Rikic
第24页/共57页
适用范围：
✓ 适用于静定结构、超静定结构； ✓ 适用于弹性材料、非弹性材料； ✓ 适用于荷载作用下的位移计算，而且也适用于由于温度变化、支座移动等因
素作用下的位移计算。
第25页/共57页
注意：虚设的静力状态中的单位荷载为与拟求位 移相对应的单位广义力。
典型的虚力状态：
)
Rd
FP R3
0
EI
4EI
第36页/共57页
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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感谢您的观看
桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
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（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
q A
MP 图
1 ql 2 8
1 1
2
B
A
C
B
M图
B
1 EI
[(2 l 3
1 8
ql 2 ) 1] 2
1 ql 3 24 EI
（
）
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架C、D两点
距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载h
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 38
lh
qhl 3 ( ) 12 EI
例 3. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位
移 Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2 EI
FP
FPl/4 MP 图
FPl/4
2EI M图
在 M 图求面积，在 MP图取竖标，有：
Ay
yc
EI
j yj
EjIj
四、应用举例
例 1. 设 EI 为常数，求Cy 和 B 。
l
l
2
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
q
对吗？
FP=1
A
BA
C
B
MP 图
1 ql 2 8
l
应分段！ M 图 4
Cy
1 EI
[(2 l 1 ql 2 ) (5 l )] 2
328
84
5 ql 4 ( ) 384 EI
2
(1 l ql 2 l )
A
22 8 6
(2 l ql 2 l )] 17ql 4 ( ) 3 2 32 4 384EI
ql 2 32 ql 2 8
1
M图
例 6. 已知 CD、BD杆的E1 A1和AC杆的 E2I2
为常数，求 Dy 。
C
a
E1 A1
解：作荷载和单位荷载的内力图
解：作荷载和单位荷载的内力图
返回 MP
FP D
+ FP FP
+1
1
a
E1 A1
2FP
2
B
FP a
a
a E2I2
A
Dy
FNFNP l E1 A1
yc
E2I2
1 FP
a
( 2)( E1 A1
2FP )
2a
1 E2I2
(
FPa 2
2
2a 3
FP a 2
a)
(1
2 E1
2)FPa A1
4FP a 3 3E2I2
(
)
例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
EI 2 2 4 3 4 EA 2 2
48EI 4EA
讨论:如果B支座处为刚度k的弹簧，该如何
计算？
A C FP
B
A
C FP=1 B
l 2
l 2
k
FBP
FP 2
l 2
l 2
k
FB
1 2
MP
FP l
4
M
l 4
显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为
FP 2k
。因此，弹簧对位移的贡献为 FB
FP 2k
FP 。
kFQ FQds GA
这部分主要内容：
1.
图乘法；
MM EI
P
ds
MM EI
P
ds
yc
EI
C MP
yC M
2. 几种常见图形的面积和形心 位置的确定方法；
3. 注意事项；
4. 应用举例。
一、图乘法
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
1 EI
x tan
M Pdx
tan
EI
xM Pdx
tan
EI
xc
C
Cy
1 EI
( l ql 2 28
l 1 22
1 l 3ql 2 32 8
3 l) 42
1 (ql 4 3ql 4 ) 5ql 4 ( )
EI 64 128 128EI
?
解法一、
q
ql 2
2
ql 2
A
l2
C l2
B
8
B
A
C
MP 图
Cy
1 EI
[( l ql 2 28
l) 4
A
q
FQ
d
)
y2
(c
2d 3
)
(3) 梯-梯异侧组合
A
a 1
C
2
y2 y1 c
B b MK 图 D
d M图
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
d
)
y2
(c
2d 3
)
b
c 取 负 值
(4) 阶梯形截面杆
MiMK EI
dx
1 y1
E1 I1
2 y2
E2I2
3 y3
E3I3
1 EI
l l FPl 22
1 2EI
l 3l 2
FP l 4
FPl 3 ( ) 16EI
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：
FPl/2 FPl/2 FPl/2
FP
FP
FPl/4 MP 图
FPl/4
例 4. 已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
ql 2
M ql 2
ql 2 ql 2
8
84
(1 l ql 2 l )
ql 2
22 4 3
A
8
(1 l ql 2 3 l )] 17ql 4 ( ) 3 2 8 4 2 384EI
解法二、
ql 2 2
ql 2
ql 2
2
8
A
l
Cy
1 EI
[(1 l ql 2 22 2
l) 3
4k
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
MMP ds Fk FPk MkMPk
EI
kN
kM
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
C l2
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2
2
ql 2
8
A
C
MP 图
l
2
1
B
A ql 2
M图
2
ql 2
一种算法：
结果正确否？ A
8
B
§5-3 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
P
MM Pds EI
FN FNds EA
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
q A
MP 图
1 ql 2 8
1 1
2
B
A
C
B
M图
B
1 EI
[(2 l 3
1 8
ql 2 ) 1] 2
1 ql 3 24 EI
（
）
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架C、D两点
距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载h
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 38
lh
qhl 3 ( ) 12 EI
例 3. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位
移 Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2 EI
FP
FPl/4 MP 图
FPl/4
2EI M图
在 M 图求面积，在 MP图取竖标，有：
Ay
yc
EI
j yj
EjIj
四、应用举例
例 1. 设 EI 为常数，求Cy 和 B 。
l
l
2
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
q
对吗？
FP=1
A
BA
C
B
MP 图
1 ql 2 8
l
应分段！ M 图 4
Cy
1 EI
[(2 l 1 ql 2 ) (5 l )] 2
328
84
5 ql 4 ( ) 384 EI
2
(1 l ql 2 l )
A
22 8 6
(2 l ql 2 l )] 17ql 4 ( ) 3 2 32 4 384EI
ql 2 32 ql 2 8
1
M图
例 6. 已知 CD、BD杆的E1 A1和AC杆的 E2I2
为常数，求 Dy 。
C
a
E1 A1
解：作荷载和单位荷载的内力图
解：作荷载和单位荷载的内力图
返回 MP
FP D
+ FP FP
+1
1
a
E1 A1
2FP
2
B
FP a
a
a E2I2
A
Dy
FNFNP l E1 A1
yc
E2I2
1 FP
a
( 2)( E1 A1
2FP )
2a
1 E2I2
(
FPa 2
2
2a 3
FP a 2
a)
(1
2 E1
2)FPa A1
4FP a 3 3E2I2
(
)
例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
EI 2 2 4 3 4 EA 2 2
48EI 4EA
讨论:如果B支座处为刚度k的弹簧，该如何
计算？
A C FP
B
A
C FP=1 B
l 2
l 2
k
FBP
FP 2
l 2
l 2
k
FB
1 2
MP
FP l
4
M
l 4
显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为
FP 2k
。因此，弹簧对位移的贡献为 FB
FP 2k
FP 。
kFQ FQds GA
这部分主要内容：
1.
图乘法；
MM EI
P
ds
MM EI
P
ds
yc
EI
C MP
yC M
2. 几种常见图形的面积和形心 位置的确定方法；
3. 注意事项；
4. 应用举例。
一、图乘法
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
1 EI
x tan
M Pdx
tan
EI
xM Pdx
tan
EI
xc
C
Cy
1 EI
( l ql 2 28
l 1 22
1 l 3ql 2 32 8
3 l) 42
1 (ql 4 3ql 4 ) 5ql 4 ( )
EI 64 128 128EI
?
解法一、
q
ql 2
2
ql 2
A
l2
C l2
B
8
B
A
C
MP 图
Cy
1 EI
[( l ql 2 28
l) 4
A
q
FQ
d
)
y2
(c
2d 3
)
(3) 梯-梯异侧组合
A
a 1
C
2
y2 y1 c
B b MK 图 D
d M图
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
d
)
y2
(c
2d 3
)
b
c 取 负 值
(4) 阶梯形截面杆
MiMK EI
dx
1 y1
E1 I1
2 y2
E2I2
3 y3
E3I3
1 EI
l l FPl 22
1 2EI
l 3l 2
FP l 4
FPl 3 ( ) 16EI
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：
FPl/2 FPl/2 FPl/2
FP
FP
FPl/4 MP 图
FPl/4
例 4. 已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
ql 2
M ql 2
ql 2 ql 2
8
84
(1 l ql 2 l )
ql 2
22 4 3
A
8
(1 l ql 2 3 l )] 17ql 4 ( ) 3 2 8 4 2 384EI
解法二、
ql 2 2
ql 2
ql 2
2
8
A
l
Cy
1 EI
[(1 l ql 2 22 2
l) 3
4k
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
MMP ds Fk FPk MkMPk
EI
kN
kM
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
C l2
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2
2
ql 2
8
A
C
MP 图
l
2
1
B
A ql 2
M图
2
ql 2
一种算法：
结果正确否？ A
8
B
§5-3 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
P
MM Pds EI
FN FNds EA