初中数学中的解方程
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例题：.解方程：（1） （2）
解：解：
（3）【05湘潭】关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m=。
2、一元二次方程
（1）一般形式：
（2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
求根公式
①、解下列方程：
（1）x2－2x＝0；（2）45－x2＝0；
（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0.
例题：①、解方程： 的解为 根为
②、【北京市海淀区】当使用换元法解方程 时，若设 ，则原方程可变形为（ ）A．y2＋2y＋3＝0B．y2－2y＋3＝0C．y2＋2y－3＝0 D．y2－2y－3＝0
（3）、用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为（）
（A） （B） （C） （D）
例、解下列方程：
（2） ；（2）
6、应用：
（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）（3）方程组实际中的运用
例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）
（5）（t－2）（t+1）=0；（6）x2＋8x－2＝0
(7)2x2－6x－3＝0；（8）3（x－5）2＝2（5－x）
解：
②填空：
（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；
（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；
（3）x2＋ x＋（）＝（x＋）2
（3）判别式△＝b2－4ac的三种情况与根的关系
当 时有两个不相等的实数根，
3、水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5、数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
三、列方程解应用题的常用方法
二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
当 时有两个相等的实数根
当 时没有实数根。
当△≥0时有两个实数根
例题．一、一元二次方程的解法
例1、解下列方程：
（1） ；（2） ；（3）
例2、解下列方程：
（1） ；（2）
3．（无锡市）若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足( )
＞1≥1＝1＜1
4.（常州市）关于 的一元二次方程 根的情况是（）
解
⑤【05南通】某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2元的有 名同学,捐款3元的有 名同学,根据题意,可得方程组
A、 B、 C、 D、
解
⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
初中数学中的解方程
代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题：
例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天
例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的 处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间
解：
②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10
千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度
解
③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到%）
解
④【05绵阳】已知等式(2A-7B)x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值
例3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程 的两个根小3
根的判别式及根与系数的关系
例4、已知关于x的方程： 有两个相等的实数根，求p的值。
例5、已知a、b是方程 的两个根，求下列各式的值：
（1） ；（2）
分式方程的解法步骤：
（1）一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验
（2）换元法
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台
⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
解：
四、方程组
4、方程组：
二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元
例题：解方程组
例7、解下列方程组：
（1） ；（2）
例Hale Waihona Puke Baidu、解下列方程组：
（A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根（C）没有实数根（D）根的情况无法判定
5．（浙江）已知方程 有两个不相等的实数根，则 、 满足的关系式（）
A、 B、 C、 D、
6.根与系数的关系：x1＋x2= ，x1x2=
例题：（浙江富阳市）已知方程 的两根分别为 、 ，则 的值是（）
A、 B、 C、 D、
（1） ；（2）
列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1、审题：
2、设未知数；
3、找出相等关系，列方程（组）；
4、解方程（组）；
5、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
解：解：
（3）【05湘潭】关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m=。
2、一元二次方程
（1）一般形式：
（2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
求根公式
①、解下列方程：
（1）x2－2x＝0；（2）45－x2＝0；
（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0.
例题：①、解方程： 的解为 根为
②、【北京市海淀区】当使用换元法解方程 时，若设 ，则原方程可变形为（ ）A．y2＋2y＋3＝0B．y2－2y＋3＝0C．y2＋2y－3＝0 D．y2－2y－3＝0
（3）、用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为（）
（A） （B） （C） （D）
例、解下列方程：
（2） ；（2）
6、应用：
（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）（3）方程组实际中的运用
例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）
（5）（t－2）（t+1）=0；（6）x2＋8x－2＝0
(7)2x2－6x－3＝0；（8）3（x－5）2＝2（5－x）
解：
②填空：
（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；
（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；
（3）x2＋ x＋（）＝（x＋）2
（3）判别式△＝b2－4ac的三种情况与根的关系
当 时有两个不相等的实数根，
3、水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5、数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
三、列方程解应用题的常用方法
二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
当 时有两个相等的实数根
当 时没有实数根。
当△≥0时有两个实数根
例题．一、一元二次方程的解法
例1、解下列方程：
（1） ；（2） ；（3）
例2、解下列方程：
（1） ；（2）
3．（无锡市）若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足( )
＞1≥1＝1＜1
4.（常州市）关于 的一元二次方程 根的情况是（）
解
⑤【05南通】某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2元的有 名同学,捐款3元的有 名同学,根据题意,可得方程组
A、 B、 C、 D、
解
⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
初中数学中的解方程
代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题：
例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天
例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的 处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间
解：
②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10
千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度
解
③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到%）
解
④【05绵阳】已知等式(2A-7B)x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值
例3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程 的两个根小3
根的判别式及根与系数的关系
例4、已知关于x的方程： 有两个相等的实数根，求p的值。
例5、已知a、b是方程 的两个根，求下列各式的值：
（1） ；（2）
分式方程的解法步骤：
（1）一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验
（2）换元法
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台
⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
解：
四、方程组
4、方程组：
二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元
例题：解方程组
例7、解下列方程组：
（1） ；（2）
例Hale Waihona Puke Baidu、解下列方程组：
（A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根（C）没有实数根（D）根的情况无法判定
5．（浙江）已知方程 有两个不相等的实数根，则 、 满足的关系式（）
A、 B、 C、 D、
6.根与系数的关系：x1＋x2= ，x1x2=
例题：（浙江富阳市）已知方程 的两根分别为 、 ，则 的值是（）
A、 B、 C、 D、
（1） ；（2）
列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1、审题：
2、设未知数；
3、找出相等关系，列方程（组）；
4、解方程（组）；
5、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量