公因数和公倍数的实际问题
最大公因数和最小公倍数问题的解答
最大公因数和最小公倍数问题的解答最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念，用于确定一组数的共同因子和倍数。
在解决相关问题时，我们可以使用不同的方法和算法。
最大公因数问题1. 辗转相除法辗转相除法，又称欧几里德算法，是一种求解两个数的最大公因数的常用方法。
它基于以下原理：两个数的最大公因数等于其中较小的数和两数的差的最大公因数。
具体步骤如下：1. 将两个数记为a和b，其中a > b。
2. 用a除以b，得到商q和余数r。
3. 若r为0，则b即为最大公因数。
4. 若r不为0，则将b赋值为a，将r赋值为b，然后重复步骤2。
2. 更相减损术更相减损术是另一种求解最大公因数的方法。
它的基本思想是不断用两个数中较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
具体步骤如下：1. 将两个数记为a和b，其中a > b。
2. 若a等于b，则a即为最大公因数。
3. 若a不等于b，则将a和b中的较大数减去较小数，得到新的a和b，并重复步骤2。
最小公倍数问题1. 辗转相乘法辗转相乘法是一种求解两个数的最小公倍数的方法。
它基于以下原理：两个数的最小公倍数等于两数的乘积除以最大公因数。
具体步骤如下：1. 将两个数记为a和b。
2. 求解a和b的最大公因数。
3. 将a乘以b，再除以最大公因数，得到最小公倍数。
2. 公式法对于两个数a和b，它们的最小公倍数可以通过以下公式求解：LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)，其中GCD为最大公因数的求解方法之一。
结论最大公因数和最小公倍数的求解方法有很多种，并且可以根据具体问题的需求选择适合的方法进行计算。
辗转相除法和辗转相乘法是最常用的算法，效率高且易于理解。
而更相减损术和公式法则可以作为辅助方法来求解相关问题。
希望本文可以帮助您更好地理解和解答最大公因数和最小公倍数的问题。
公因数与公倍数的典型应用
公因数与公倍数的典型应用利用求最大公因数和最小公倍数的方法，可以轻松解决很多用常规方法难以解决的问题。
这种方法究竟有多神奇？让我们一起来看看吧。
【例1】一个房间长90分米，宽66分米。
现计划用正方形方砖铺地，需要用边长最大为多少分米的整砖多少块，才能刚好铺满整个房间？【分析与解】要想用整块边长尽可能大的方砖刚好铺满房间，那么每块方砖的边长必须是90和66的最大公因数。
90和66的最大公因数是6，所以正方形方砖的边长应是6分米。
房间的面积：90×66=5940（平方分米）方砖的面积：6×6=36（平方分米）需要方砖的块数：5940÷36=165（块）此类问题的解题关键是抓住“边长最大”“刚好铺满”等关键词，找出问题的本质――求最大公因数来解决问题。
【例2】把46块水果糖和38块巧克力平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。
这个组最多有几位同学？【分析与解】如果将多余的1块水果糖和3块巧克力减去，则剩下的水果糖和巧克力刚好分完。
要求出这个小组最多有几位同学，实际就是计算45（46-1）和35（38-3）的最大公因数。
45的因数有1、3、5、9、15、45，35的因数有1、5、7、35，45和35的公因数是5，所以这个组最多有5人。
【例3】红旗印刷厂印刷一批书，每12本扎成一捆，就多出11本；每18本扎成一捆，就少1本。
已知这批书总本数在550～600之间，这批书共有多少本？【分析与解】根据题意，“每12本扎成一捆，就多出11本”，也可理解为每12本扎成一捆，就少1本。
将少的1本先补上，这样书的本数就正好是12和18的倍数。
12与18的最小公倍数是36。
因为这批书的本数在550-600之间，600÷36=16……24，所以书的本数为36×16=576（本）。
再将补上的1本减去，所以这批书总共有576-1=575（本）。
【例4】小明家到学校的路上竖有电线杆55根。
公因数、公倍数的实际应用
公因数、公倍数的实际应用1. 公因数的实际应用公因数是指能够整除两个或多个数的公共因子。
公因数在实际应用中有多种用途。
1.1 简化分数一个实际的应用是简化分数。
当分数的分子和分母有公因数时，可以通过将分子和分母都除以公因数来简化分数。
例如，有一个分数8/12，其分子和分母都可以被2整除，因此可以简化为4/6，或者继续简化为2/3。
通过寻找分子和分母的公因数，并将其约去，可以得到最简形式的分数。
1.2 最大公约数另一个常见的实际应用是求解最大公约数。
最大公约数是指能够整除两个或多个数的最大的公因数。
最大公约数在很多数学问题中都有重要作用。
例如，在分数运算中，要求两个分数的最小公分母，就需要求解它们的最大公约数。
最大公约数还可以用于分解多项式或方程，帮助我们简化问题。
2. 公倍数的实际应用公倍数是指能够被两个或多个数同时整除的数。
公倍数也有很多实际应用。
2.1 最小公倍数最小公倍数是指能够同时整除两个或多个数的最小的公倍数。
最小公倍数在很多实际问题中都有用途。
例如，当我们要将两个分数的分母找到最小公倍数时，可以通过求解它们的最小公倍数来实现。
最小公倍数还可以用于计算多个周期性事件重复的周期，如音乐节奏、电路波形等。
在生活中，最小公倍数也经常被用于时间调度、资源规划等问题。
2.2 公倍数的应用除了最小公倍数，公倍数还可以应用在其他领域。
例如，在日程安排中，如果两个活动的周期分别为5天和7天，我们可以通过求解它们的公倍数来找到两个活动在何时同时发生。
公倍数也可以用于计算多个速度的整体周期，例如定速轮船和定速火车之间的重合周期等。
结论公因数和公倍数在实际应用中有许多用途，包括简化分数、求解最大公约数、计算最小公倍数以及帮助解决时间调度、资源规划等问题。
熟练使用公因数和公倍数的概念，有助于我们在实际问题中进行简化、计算和规划，提高解决问题的效率。
公倍数和公因数的应用题
公倍数和公因数的应用题方法要点：1•区分好是求最大公因数还是求最小公倍数2.—般来讲拼成一个正方形，求正方形的边长就是求最小公倍数；裁剪成一个最大的正方形，求边长就是求最大公因数3.从提问的关键词语分析：问题中含有“最大”“最多”等词语，一般就是求最大公因数；问题中含有“最小” “至少” “最少”’等关键词语时，一般就是求最小公倍数。
4.求个数的问题：大面积亠小面积例1.明明用一些长6分米，宽4分米的长方形纸板拼成一个正方形，正方形的边长最少是多少？需要多少块小长方体纸板？例2.贝贝用一块长6分米、宽4分米的长方形纸板截成若干个边长是整厘米的小正方形，小正方形的边长最大是多少？可以裁成多少块？例3.五一班上体育课，站成长方形队伍，排成3行，5行，6行都刚好，上体育课的至少有多少人？习题3 :五一班上体育课，站成长方形队伍，排成3行，5行，6行都少1人，上体育课的至少有多少人？例4•暑假期间，贝贝和明明去敬老院照顾老人。
7月7日他们都去了敬老院，并约定以后贝贝每3天去一次，明明每4天去一次。
问他们第二次什么时候同时去敬老院照顾老人？例5•五年级一班有45人，五年级二班有48人，现在要把每个班分成人数相等的体育锻炼小组，每个小组最多可分几人？例6•实验小学去春游，五年级一班带去36瓶可乐和42瓶矿泉水，平均分给几个小组，刚好分完。
最多可以分给几个小组？每个小组各分得两种饮料多少瓶。
例7•把35枝铅笔和42本练习本平均奖给几个三好学生，结果正好分完，问得奖的三好学生有几人？习题7.把36枝铅笔和40本练习本平均奖给几个三好学生，结果铅笔多出1枝，练习本缺2本，问得奖的三好学生有几人？。
五年级公因数和公倍数的题120道
五年级公因数和公倍数的题120道一、公因数相关题目（60道，先20道带解析）1. 求12和18的最大公因数。
- 解析：分别列出12和18的因数。
12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。
它们共有的因数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和18的最大公因数是6。
2. 求24和36的最大公因数。
- 解析：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。
共有的因数为1、2、3、4、6、12，最大公因数是12。
3. 求15和25的最大公因数。
- 解析：15的因数是1、3、5、15，25的因数是1、5、25。
它们的公因数有1和5，最大公因数是5。
4. 求8和12的最大公因数。
- 解析：8的因数有1、2、4、8，12的因数有1、2、3、4、6、12。
共有的因数为1、2、4，最大公因数是4。
5. 求20和30的最大公因数。
- 解析：20的因数有1、2、4、5、10、20，30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。
公因数有1、2、5、10，最大公因数是10。
6. 求16和24的最大公因数。
- 解析：16的因数有1、2、4、8、16，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。
共有的因数为1、2、4、8，最大公因数是8。
7. 求9和15的最大公因数。
- 解析：9的因数有1、3、9，15的因数有1、3、5、15。
公因数为1和3，最大公因数是3。
8. 求14和21的最大公因数。
- 解析：14的因数有1、2、7、14，21的因数有1、3、7、21。
共有的因数为1、7，最大公因数是7。
9. 求28和42的最大公因数。
- 解析：28的因数有1、2、4、7、14、28，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。
公因数有1、2、7、14，最大公因数是14。
10. 求10和15的最大公因数。
- 解析：10的因数有1、2、5、10，15的因数有1、3、5、15。
关于最大公因数和最小公倍数铺地砖的题型
关于最大公因数和最小公倍数铺地砖的题型引言在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个重要的概念。
它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将以一个与铺地砖相关的题型为例，介绍如何使用最大公因数和最小公倍数来解决实际问题。
问题描述假设有一块长为L，宽为W的地面需要铺设砖块。
现在有两种尺寸的砖块可供选择，分别为a×b和c×d。
其中a、b、c、d都是正整数。
我们希望将地面完全铺满，并且要求砖块之间没有缝隙。
问：是否存在一种合理的铺法，使得所有砖块都能够用完且不剩余？如果存在这样的一种合理铺法，请给出具体方案，并计算需要使用多少块砖。
解决方案分析要解决这个问题，我们需要考虑两个关键因素：最大公因数和最小公倍数。
首先，我们知道一个长为L，宽为W的地面可以被划分成L×W个单位格子。
而一个a×b或c×d尺寸的砖块可以覆盖a×b或c×d个单位格子。
因此，我们需要找到一个合适的砖块尺寸，使得它能够整除地面的面积，即L×W。
其次，我们需要考虑砖块之间是否存在缝隙。
如果一个砖块的边长能够整除地面的边长，则不会有缝隙存在。
否则，就会出现缝隙。
计算最大公因数和最小公倍数为了解决这个问题，我们首先需要计算地面的面积L×W，并找到其最大公因数和最小公倍数。
最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）表示两个或多个整数的最大公约数。
而最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）表示两个或多个整数的最小公倍数。
为了计算最大公因数和最小公倍数，我们可以使用欧几里得算法。
该算法基于以下定理：两个正整数a和b（a > b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c与b 之间的最大公约数。
根据这一定理，我们可以使用以下伪代码来计算两个正整数a和b的最大公约数：function gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a % b)使用上述伪代码，我们可以计算出地面的面积L×W的最大公因数gcd。
公因数和公倍数
公因数和公倍数公因数和公倍数是初中数学中常见的概念，它们在数学运算中有着重要的作用。
本文将详细介绍公因数和公倍数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、公因数的定义和性质公因数是指能够同时整除给定的一组数的因数。
具体来说，对于给定的几个数，如果某个数能够同时整除这几个数，那么它就是这几个数的公因数。
公因数有以下几个性质：1. 公因数永远不会超过被整除的最小数；2. 1是任何数的公因数，因为任何数都能被1整除；3. 如果两个数的最大公因数是d，那么它们的公因数就是d的所有因数。
二、最大公因数的求解方法当我们需要求解两个或多个数的最大公因数时，可以使用以下几种方法：1. 因数分解法：将每个数分解成质因数的乘积，然后找出它们的公因数，最后将这些公因数相乘得到最大公因数；2. 短除法：将较大的数除以较小的数，然后将除法得到的余数再除以前一个数，一直进行下去，直到余数为0，此时的除数即为最大公因数。
三、公倍数的定义和性质公倍数是指能够同时被给定的一组数整除的数。
具体来说，对于给定的几个数，如果某个数能够同时被这几个数整除，那么它就是这几个数的公倍数。
公倍数有以下几个性质：1. 公倍数永远不会小于被整除的最大数；2. 两个数的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公因数。
四、最小公倍数的求解方法当我们需要求解两个或多个数的最小公倍数时，可以使用以下几种方法：1. 因数分解法：将每个数分解成质因数的乘积，然后找出它们的公因数，并将不重复的质因数相乘得到最小公倍数；2. 求法则：将所有数按照一定的顺序进行连乘，其中每个数较前面的数都必须是它的一个因数，最后得到的结果就是最小公倍数。
五、公因数和公倍数的应用公因数和公倍数在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 分解质因数：求解一个数的质因数分解时，需要找出其所有的因数；2. 分数化简：当我们需要对一个分数进行化简时，可以使用公因数来进行约分；3. 最小公倍数的应用：例如车轮转动问题，当两个或多个车轮同时开始转动时，需要知道它们第一次再次同时转动的时间，这就是找到它们的最小公倍数。
公因数公倍数典型例题
公因数公倍数典型例题公因数和公倍数是数学中常见的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
下面我们来看几个典型的例题。
例题一：求两个数的最大公因数和最小公倍数。
问题描述：求48和60的最大公因数和最小公倍数。
解答：首先，我们可以列出48和60的所有因数，然后找出它们的公因数，再从中找出最大的一个作为最大公因数。
48的因数为1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，而60的因数为1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。
它们的公因数有1、2、3、4、6、12，所以48和60的最大公因数为12。
接下来，我们可以列出48和60的所有倍数，然后找出它们的公倍数，再从中找出最小的一个作为最小公倍数。
48的倍数为48、96、144、192、240、288、336、384、432、480，而60的倍数为60、120、180、240、300、360、420、480。
它们的公倍数有240和480，所以48和60的最小公倍数为240。
例题二：利用公因数求未知数的值。
问题描述：某数的最大公因数是24，最小公倍数是120，求这个数是多少。
解答：假设这个数为x，根据最大公因数和最小公倍数的定义，我们可以得到以下等式：x的因数可以整除24，x的倍数可以被120整除。
因此，x的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，x的倍数为120、240、360、480、600、720、840、960、1080、1200。
从中我们可以找到24是x的因数，而120是x的倍数。
因此，这个数为24的倍数，同时也是120的因数，即x=24。
通过以上例题，我们可以看到公因数和公倍数在解决实际问题中的重要性。
它们不仅可以用于求解最大公因数和最小公倍数，还可以用于解决一些未知数的问题。
因此，我们在学习数学的过程中要重视公因数和公倍数的学习，掌握它们的求解方法和应用技巧，提高自己的数学应用能力。
最大公因数和最小公倍数典型例题和专项练习
最大公因数和最小公倍数典型例题和专项练习最大公因数和最小公倍数是数学中的基本概念，经常在实际问题中应用。
下面是一些典型例题和专项练。
典型例题】例1、有三根铁丝，分别长18米、24米、30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。
先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解答：（18、24、30）=6，（18+24+30）÷6=12段。
答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
解答：（36、60）=12，（60÷12）×（36÷12）=15个。
答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）=24，（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24=4朵，（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24=3朵，（4）每个花束里最少有几朵花4+3=7朵。
例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。
公因数和公倍数应用题 - 答案
公因数和公倍数应用题答案知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1．媛媛、妈妈和爸爸在学校的圆形塑胶跑道晨练，媛媛每圈要5分钟，妈妈每圈4分钟，爸爸每圈3分钟．开始同时跑，至少要经过多少分钟他们三人才跑在一齐？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由于他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，可以通过求5、4、3的最小公倍数的方法求出他们三人才跑在一齐的时间．解答：解：他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，5、3、4的最小公倍数是5×3×4=60，即至少要经过60分钟他们三人才跑在一齐．点评：此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．例2．在一张长25厘米、宽20厘米的长方形纸上画尽可能大的正方形，要求充分利用纸，不能有剩余，且每个正方形要同样大．你能画多少个？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：在一张长25厘米、宽20厘米的长方形纸上画同样大小3面积尽可能大的正方形，纸没剩余，则只要求出25和20的最大公因数，就是正方形的边长，然后用总面积除以正方形面积，即可得解．解答：解：25=5×520=2×2×5所以25和20的最大公因数是5，即面积尽可能大的正方形的边长是5厘米；（25×20）÷（5×5）=（25÷5）×（20÷5）=5×4=20（个）；答：能画20个．点评：灵活应用最大公因数的求解来解决实际问题．本题关键是运用求最大公因数的方法，求出最大正方形的边长的长度．例3．园林处需要60﹣70人帮忙植树，附近某中学组织一批学生参加这次植树活动，到现场分组时，发现每2人一组，或每3人一组，或每5人一组均多一人，参加这次植树活动的学生有61人．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：明确要求的问题即：60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，先求出2、3、5的公倍数，然后加上1，进而找出符合题意的即可．解答：解：2、3、5的公倍数有：30、60、90、…，所以60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数是：60+1=61，即：参加这次植树活动的学生有61人；故答案为：61．点评：明确要求的问题即：60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，是解答此题的关键．例4．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班63人，把各班同学分别分成小组，乘坐若干条小船，使每条船上人数相等，最少需要7条船．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：首先求得49、56、63的最大公约数（7），即是所求的船数，每一个数对应除以7相加得和，也就是每一条船应当上的人数，由此解决问题．解答：解：49、56、63的最大公约数是7，也就是船数；每一条船上的人数：49÷7+56÷7+63÷7，=7+8+9，=24（人）．答：最少要有7条船；故答案为：7．点评：解决此题的关键是求几个数的最大公约数，进一步结合实际理解为船数即可解决问题．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共15小题）1．有两根长分别是40分米和90分米的木条，现在要把它们锯成同样长的小段（每段长度的分米数都是整数，而且不能有剩余），两根木条共能锯成（）段．A．5B．9C．13考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：先分别把40、90分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每段的长度，再用40和90的和除以每段的长度求出一共锯成的段数．解答：解：40=2×2×2×590=2×3×3×540和90的最大公因数为2×5=10（40+90）÷10=13（段）答：两根木条共能锯成13段．故选：C．点评：此题主要考查两个数的最大公因数的求法，并用此解决实际问题．2．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会灭掉，再拉一下灯由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有多少盏（）A．998 B．535 C．1003 D．1004考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由于有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，2007，那么编号为2的倍数的灯有[（2007﹣1）÷2]只，编号为3的倍数的灯有（2007÷3）只，编号为5的倍数的灯的有[（2007﹣2）÷5]只，利用这些数据即可求出3次拉完后亮着的灯数．拉1次和3次的灯熄灭，拉2次和没有拉的灯仍然亮着．解答：解：∵有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2， (2007)∴编号为2的倍数的灯有（2007﹣1）÷2=1003只，编号为3的倍数的灯有2007÷3=669只，编号为5的倍数的灯的有（2007﹣2）÷5=401只，其中既是3的倍数也是5的倍数有（2007﹣12）÷15=133，既是2的倍数也是3的倍数有（2007﹣3）÷6=334，既是2的倍数也是5的倍数有（2007﹣7）÷10=200，既是2的倍数也是5的倍数，还是3的倍数有（2007﹣27）÷30=66，只拉1次的：1003﹣334﹣200+66=535，669﹣334﹣133+66=268，401﹣200﹣133+66=134，拉3次的66，所以亮的就是2007﹣535﹣268﹣134﹣66=1004只．故选D．点评：此题主要考查了最小公倍数的应用，解题时根据数的整除性首先分别求出2、3、5的倍数的个数，然后列出6，15，10，30的倍数的个数，然后利用容斥关系即可解决问题．3．一间教室长9米，宽7.2米，计划在地面上铺方砖，选边长（）的方砖能使地面都是整块方砖．A．5分米B．6分米C．1米D．无法确定考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：先换算单位长9米=90分米，宽7.2米=72分米，再找到90，72的公约数即可作出选择．解答：解：9米=90分米，宽7.2米=72分米，90=2×3×3×5，72=2×2×2×3×3故选项中只有6是90，72的公约数．故选：B．点评：考查了图形的密铺，同时是对求两个数的公约数的考查．注意单位换算．4．装修一间长4米，宽3.2米的房间，要铺正方形砖，选用边长为（）厘米的砖损耗会较小．A．30 B．40 C．60 D．80考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：把4米和3.2米化成以分米为单位即分别是40分米及32分米，然后求出40与32的最小公倍数，这样基本上不需要切割方砖，损耗会较小．解答：解：4米=40分米，3.2米=32分米40=2×2×2×532=2×2×2×2×2最小公倍数是2×2×2=88分米=80厘米答：选用边长为80厘米的砖损耗会较小．故选：D．点评：本题关键是理解：选择的方砖的边长就是4米和3.2米的最小公倍数，这样损耗的小．5．一张长16厘米，宽14厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最小可以分成（）A．56个B．112个C．16个D．14个考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：要把一张长16厘米，宽14厘米米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没剩余，则只要求出16和14的最大公因数，就是正方形的边长，然后用总面积除以正方形面积，即可得解．解答：解：16=2×2×2×2，14=2×7，所以16和14的最大公因数是2，即面积尽可能大的正方形的边长是2厘米；（16×14）÷（2×2）=（16÷2）×（14÷2）=8×7=56（个）答：最小可以分成56个．故选：A．点评：这道题的关键就是求16与14的最大公因数，也就是求出正方形的边长，进而解决问题．6．有一篮子鸡蛋，8个人来分，或者10个人来分，都正好分完，这筐鸡蛋至少有（）A．30个B．60个C．40个考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：即求出8和10的最小公倍数，先把8和10进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积是这两个数的最小公倍数；据此进行解答即可．解答：解：8=2×2×2，10=2×5，所以8和10的最小公倍数是2×2×2×5=40，即这筐鸡蛋至少有40个．故选：C．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．7．把一袋苹果平均分给8个小朋友或10个小朋友都正好分完，这袋苹果最少有（）个．A．80 B．40 C．20 D．10专题：约数倍数应用题．分析：由题意可知，这袋苹果的数量一定是8、10的公倍数，先求出8、10的最小公倍数，由于数量最少，最小公倍数就是这袋苹果的最少个数，由此得解．解答：解：8=2×2×2，10=2×5，8和10的最小公倍数是2×2×2×5=40，答：这袋苹果最少有40个．故选：B．点评：解答此题的关键是先求出8和10的最小公倍数，进行解答即可．8．一个单位集合，每排4人、5人、或者7人，最后一排都只有2人，这个单位最少有（）人．A．112 B．122 C．132 D．142考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由每排4人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个单位总人数减去2人就是4、5、7的公倍数，求至少有多少人，即求出4、5、7的最小公倍数加2即可解答．解答：解：4=2×2；所以4、5、7的最小公倍数是：2×2×5×7=140；即这个单位总人数为：140+2=142（人）故选：D．点评：解答本题的关键是把问题转化为求最小公倍数的问题．9．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果至少应有（）A．120个B．60个C．30个D．90个考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，说明这框苹果是2、3、4、5的倍数，因为4是2的倍数，只要是3、4、5的倍数就一定也是2的倍数，所以只要求出3、4、5的最小公倍数，即可得解．解答：解：3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60（个），答：一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有60个．故选：B．点评：灵活运用求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．10．五（2）班同学不到50人，在一次大扫除活动中，其中的打扫包干区，的同学打扫教室，五（2）班有（）人．A．36 B．48 C．42 D．无法知道专题：约数倍数应用题．分析：和都是最简形式，所以这个班的人数是6和7的最小公倍数的倍数，6和7的最小公倍数是42，而且这个班的人数不到50人，所以这个班只能是42人．解答：解：根据题干分析可得：这个班的人数是6和7的最小公倍数的倍数，6和7的最小公倍数是42，而且这个班的人数不到50人，所以这个班只能是42人．答：五（3）班共有42人．故选：C．点评：本题考查了公倍数应用题．解答此题的关键是明确这个班的总人数必定是6、7的公倍数．11．六一儿童节，王老师买了29个苹果和33块巧克力平均奖励给参加表演的同学，结果苹果多2个，巧克力少3块，那么参加表演的同学有（）人．A．7B．9C．27 D．35考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意，苹果多2个，巧克力少3块，也就是说把苹果个数减去2个，巧克力加上3块，正好分完．也就是求27和36的最大公约数．解答：解：29﹣2=27（个），33+3=36（个）；27=3×3×3，36=3×3×4，27和36的最大公约数是3×3=9．因此参加表演的同学有9人．答：参加表演的同学有9人．故选：B．点评：此题解答的关键在于条件转化，通过分解质因数，求出两个数的最大公约数，解决问题．12．盒子里有若干个鸡蛋，每次取4个和6个，都剩下1个，这盒鸡蛋至少有（）个．A．12 B．24 C．13 D．25考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意，先求出4和6的最小公倍数，然后加上1即可．解答：解：4=2×2，6=2×34和6的最小公倍数是2×2×3=12因此这盒鸡蛋至少有12+1=13（个）答：这盒鸡蛋至少有13个．故选：C．点评：此题解答的关键在于求出4和6的最小公倍数，然后加上剩余的数量，解决问题．13．甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（）A．6月12日B．6月13日C．6月24日D．6月25日考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意，是求3、4、6的最小公倍数，就是求4、6的最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数，然后进行推算日期即可．解答：解：把4、6分解质因数：4=2×2；6=2×3；4、6的最小公倍数是：2×2×3=12；他们再过12天同去少年宫；1+12=13（日），即6月13日．故选：B．点评：此题属于求最小公倍数问题，求3个数的最小公倍数，利用分解质因数的方法，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数．14．花店里有菊花51枝，百合花25枝，如果用7枝菊花、4枝百合花扎成一束，这些花最多可以扎成（）束这样的花束．A．7B．6C．8考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：（1）根据题干，7枝菊花扎成一束，要求可以扎几束菊花，根据除法的意义，只要求出51里面有多少个7，即可解答；（2）4枝百合扎成一束，要求最多扎几束，根据除法的意义，只要求出25里面最多有几个4，即可解答；根据上面（1）（2）求出的结果，取二个答案的最小值，即可解答．解答：解：51÷7=7（束）…2（朵），25÷4=6（束）…1（朵），答：这些花最多可以扎成6束这样的花束．故选：B．点评：完成本题要注意，由于剩下的2朵菊花、1朵百合花都不能扎成一束花了，所以只能扎6束．15．一张长30厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可分成（）A．12个B．15个C．9个考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：要想使分成的小正方形个数最少，那么要使小正方形的边长最大，由此只要求得小正方形的边长最大是多少，也就是求得30和18的最大公因数是多少，由此即可求出小正方形的最大边长，进而求得分得的小正方形的个数．解答：解：30和18的最大公因数是6，所以小正方形的边长为6厘米，（18÷6）×（30÷6），=3×5，=15（个），故选：B．点评：根据题干得出，当小正方形边长最长时分得的小正方形个数最少，最长边长就是这两个数的最大公因数，这是解决本题的关键．二．填空题（共9小题）16．小华、小明和小芳都去参加游泳训练．小华每4天去一次，小明每6天去一次，小芳每8天去一次．7月10日三人都去参加了游泳训练，下一次一起参加训练是8月3日．考点：公因数和公倍数应用题；日期和时间的推算．专题：约数倍数应用题．分析：因为4，6，8的最小公倍数是24，所以下一次就是24天后一起去的，据此解决即可．解答：解：因为4，6，8的最小公倍数是24，7月份有31天，7月10日一起去的，本月还有21天，24天后就是8月3日．所以下次一起去参加训练是：8月3日．故答案为：8，3．点评：本题考查最小公倍数问题，注意最小公倍数的找法．17．一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余全部不及格，参加考试的同学有八十多名，得优的同学有14名．考点：公因数和公倍数应用题．分析：根据“参加的学生中得优，得良，得中”，因为人数必须是整数，所以确定参加考试的学生人数一定得是6、3和7的倍数，再根据“参加考试的同学有八十多名”，可确定这三个数的最小公倍数符合题意，再求出得优人数占的分率，进而求出得优的具体人数即可．解答：解：因为6、3和7的最小公倍数是42，参加考试的同学有八十多名，所以参加考试的学生人数是42×2=84，得优的学生人数：84×=14（名）；答：得优的同学有14名．故答案为：14．点评：解决此题关键是根据人数必须是整数，把实际问题转化成是求三个分数分母的最小公倍数，从而问题得解．18．一篮小球，3个3个的数，余2个，4个4个数，余3个，5个5个数，余4个，这篮小球最少是有59个．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：“3个3个的数，余2个，4个4个数，余3个，5个5个数，余4个余数相同”，可以看做“3个3个的数，差1个，4个4个数，差1个，5个5个数，差1个”只要求出3、4和5的最小公倍数，然后再减去1，即可得解．解答：解：3、4、5互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，60﹣1=59（个），答：这篮小球最少是有59个；故答案为：59．点评：灵活应用同余定理和求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．19．一间长35分米宽28分米的客房地面要铺正方形地砖，需选边长为7分米的方砖才能既整洁又节约．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：要使方砖才能既整洁又节约，那么就要没有剩余，也就是方砖的边长应是房间长和宽的最大公因数，由此求解即可．解答：解：35=5×728=2×2×735和28的最大公因数是7所以需选边长为7分米的方砖才能既整洁又节约．故答案为：7．点评：解决本题关键是正确的求出长方形房间长和宽的最大公因数．20．笑笑有一些书，分别平均分给5人、6人、7人后，都剩下4本，这些书至少有214本．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：已知这摞书分别平均分给5人、6人、7人后，都剩下3本，求这摞书的最小数量，可以求5、6、7的最小公倍数，然后再加上4，即可得解．解答：解：因为5、6、7互质，它们的最小公倍数是：5×6×7=210，210+4=214（本）；答：这摞书至少有214本．故答案为：214．点评：余数相等，求出最小公倍数，再加上余数，即可求出总数．即为同余问题．21．有一包糖果数量在100～150之间，无论是分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完，这包糖果有120块．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：糖果数量在100～150之间，即求100～150之间8、10两个数的公倍数，由此解答即可．解答：解：8=2×2×210=2×5所以8和10的最小公倍数是2×2×5=40；40×2=8040×3=120答：糖果数量在100～150之间，这包糖果有120块，故答案为：120．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．22．有一堆糖块，在80～100块之间，不论分给8个人还是10个人，都多7块．这堆糖有87块．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意可知，从这堆糖的块数就是8和10的公倍数加7，所以先求出8和10的最小公倍数，再根据“在80～100块之间”来确定数值．解答：解：8=2×2×210=2×52×2×2×5=4040×2+7=87（块）答：这堆糖有87块．故答案为：87．点评：此题主要考查两个数的最小公倍数的求法及其应用，注意根据实际情况解决实际问题．23．小王和小张经常去图书馆看书，小王每隔6天去一次，小张每隔8天去一次．5月1日两人同时在图书馆，5月25日他们在图书馆再次相遇．考点：公因数和公倍数应用题；日期和时间的推算．专题：约数倍数应用题．分析：由题意可知：要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出6和8的最小公倍，因为6和8的最小公倍数是24，即5月1日再经24天两人都到图书馆，此题可解．解答：解：6=2×3，8=2×2×2，6与8的最小公倍数是2×2×3=24，即再经24天两人都到图书馆，5月1日+24日=5月25日；答：5月25日他们在图书馆再次相遇．故答案为：5月25日．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．24．（2014•贵州模拟）把两根长分别是24厘米和36厘米的木料，平均锯成若干段，每段最长12厘米，要锯3次．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：每根木料最长的长度应是36厘米和24厘米的最大公因数，先把36和24进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；然后分别求出两根木料分成的次数，进而把两根木料分成的次数相加即可．解答：解：36=2×2×3×3，24=2×2×2×3，所以36和24的最大公因数是：2×2×3=12，即每段木料最长的长度应是12厘米；（36÷12）﹣1+（24÷12）﹣1=3﹣1+2﹣1=3（次）答：每段最长12厘米，要锯3次．故答案为：12，3．点评：此题考查了求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答．三．解答题（共4小题）25．一条公路由A经B到C．已知A、B相距300米，B、C相距200米．现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？考点：公因数和公倍数应用题；植树问题．专题：约数倍数应用题．分析：这是一个求最大公约数的问题，设AB的中点为E，那么EB=300÷2=150米，设BC 的中点为D，那么BD=200÷2=100米．求出E到D之间相邻两树间最大的距离，那么这个距离也就是整条路相邻两棵树之间的最大距离．即求出150和100两个数的最大公约数即可．解答：解：AB的中点为E，那么EB=300÷2=150米，设BC的中点为D，那么BD=200÷2=100米．150=2×3×5×5；100=2×2×5×5；所以150和100的最大公约数是：2×5×5=50．答：两树间距离最多有50米．点评：把本题转化为求150和100这两个数的最大公约数是解题关键．26．2014年世界园艺博览会在青岛举行，实验小学准备举办艺术节，迎接园艺博览会的到来．瞧，合唱队正在排练，队员们如果18人站一排，则余2人，如果24人站一排，则余2人，这个合唱队至少有多少人？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：本题实质上是求18、24的最小公倍数，求最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．因为余2人，因此，用最小公倍数加上2即可，都由此解决问题即可．解答：解：18=2×3×3，24=2×2×2×3，所以18、24的最小公倍数是2×2×2×3×3=7272+2=74（人）答：这个合唱队至少有74人．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．27．把55瓶雪碧和31瓶可乐平均分给同样多个小组，都正好缺1瓶．这些饮料最多可分给几个小组？若分别再买一瓶，每个小组分得两种饮料各多少瓶？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由题意可知：把55瓶雪碧和31瓶可乐平均分给同样多个小组，都正好缺1瓶．所以55+1=56，31+1=32，根据求两个数的公因数的方法，求出56和32的公因数，即可求出这些饮料最多可分给几个小组，进而求出每个小组分得两种饮料各多少瓶．据此解答．解答：解：55+1=56，31+1=32，56和32的公因数有：1、2、4、8，其中最大公因数是8，所以这些饮料最多可分给8个小组．56÷8=7（瓶），32÷8=4（瓶），答：这些饮料最多可分给8个小组，每个小组分得雪碧7瓶、可乐4瓶．点评：此题考查的目的是理解掌握公因数的意义，以及求两个数的最大公因数的方法及应用．28．有一批作业本，平均分给3个，4个人，5个人都可以，正好没有剩余，这批作业本至少有多少本？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由题意可知，这批作业本的数量一定是3、4、5的公倍数，先求出3、4、5的最小公倍数是60，由于数量最少，最小公倍数就是这批作业本的最少数，由此得解．解答：解：因为3、4、5的最小公倍数是60，所以这批作业本至少有60本．答：这批作业本至少有60本．点评：此题解答的关键是通过题意，进行分析，得出实际上是求这三个数的最小公倍数，用求最小公倍数的方法即可得出．B档（提升精练）一．选择题（共15小题）1．星期五，小梅、小军和小芳三个同学在图书馆相会．从这天开始，他们就按这个规律去图书馆，那么三人下一次在图书馆相会时是（）A．星期二B．星期四C．星期三考点：公因数和公倍数应用题；日期和时间的推算．专题：约数倍数应用题．分析：要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出他们再次都到图书馆所需要的天数，小梅隔1天来一次，也就是2天来一次，小军隔2天来一次，也就是3天来一次，小芳隔3天来一次，也就是4天来一次，因为4是2的倍数，所以求3，4的最小公倍数即可，3和4的最小公倍数是12；所以上次他们在星期五在图书馆相遇，再过12日他俩就都到图书馆，即经过1周多5天，也就是下一次都到图书馆是星期六；据此解答．解答：解：因为4是2的倍数，所以求3，4的最小公倍数，因为3和4是互质数，所以3和4的最小公倍数是：3×4=12；也就是说他俩再过12日就能都到图书馆，上次他们在星期五在图书馆相遇，再过12日他俩就都到图书馆，即经过1周多5天，也就是下一次都到图书馆是星期三；因为管理员闭馆，次日再来，所以星期四来．答：下次他们在图书馆相遇时在星期四．故应选：B．点评：此题考查用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题．2．五年级一班有42人，二班有48人．各班分组参加植树活动，如果两个班每组人数必须相同，那么每组最多的人数应该是42和48的（）A．公因数B．最大公因数C．最小公倍数考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：要求两个班每组的人数必须相同，就是每组的人数是42和48的公因数，要求每组最多有多少人，就是每组的人数是42和48的最大公因数，据此解答．解答：解：42=2×3×7，48=2×2×2×2×3，所以42和48的最大公因数是：2×3=6；答：每组最多有6人．故选：B．点评：解答本题关键是理解：要求两个班每组的人数必须相同，就是每组的人数是42和48的公因数．3．某班学生做操时，排成6人一行或者排成7人一行都正好排完，这个班最少有（）人．A．18 B．21 C．42 D．84考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：求这个班至少有多少人，即求6、7这两个数的最小公倍数，因为6和7互质，因此最小公倍数为6×7=42，由此解答即可．解答：解：6×7=42（人）答：这个班最少有42人．故选：C．。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际问
题。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题
引言
最大公因数的应用
最大公因数是指两个或多个数中最大的能够整除所有给定数的数。
利用最大公因数，我们可以解决一些与分数运算相关的实际问题。
例子1：比例和分数化简
假设我们要将一个比例化简为最简形式，可以利用最大公因数来实现。
首先，我们找到比例的所有分子和分母的最大公因数，然后将分子和分母都除以最大公因数，即可得到最简形式的比例。
例子2：分数加减运算
在进行分数加减运算时，我们需要找到分母的最小公倍数。
通
过求最小公倍数，我们可以将多个分数的分母统一，从而方便进行
加减运算。
最小公倍数的应用
最小公倍数是指两个或多个数中最小的能够被给定数整除的数。
利用最小公倍数，我们可以解决一些与时间、周期等概念相关的实
际问题。
例子3：两辆车同时从不同地点出发
假设有两辆车A和车B同时从不同地点出发，车A每隔10分
钟发一次车，车B每隔15分钟发一次车。
我们希望知道，多长时
间后两辆车再次同时发车。
为了解决这个问题，我们可以求出车A
和车B发车时间的最小公倍数，即为两辆车再次同时发车的时间间隔。
例子4：周期性事件的规律性
有些事件具有周期性，比如月相变化、潮汐变化等。
通过求最
小公倍数，我们可以确定这些事件的周期，以便更好地预测和规划。
结论
最大公因数和最小公倍数在解决实际问题中起着重要的作用。
通过合理运用最大公因数和最小公倍数的概念，我们可以简化问题、统一数据，从而更好地解决实际应用中的复杂数学问题。
五年级数学公倍数和公因数试题
五年级数学公倍数和公因数试题1.（3分）A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公因数是。
【答案】6【解析】【考点】求几个数的最大公因数的方法。
分析：根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，据此得解。
解答：A=2×3×7，B=2×5×3，所以A和B的最大公因数是2×3=6；点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。
2.（3分）一个奇数与一个偶数的乘积一定是（）。
A．奇数B．偶数C．合数D．素数【答案】B【解析】【考点】奇数与偶数的初步认识。
分析：根据奇数与偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；据出解答。
解答：奇数×偶数=偶数；所以，一个奇数和一个偶数的积一定是偶数。
点评：此题考查的目的是使学生理解和掌握偶数与奇数的意义。
3.有一车饮料，如果5箱一数，剩1箱；如果7箱一数，也剩1箱。
这车饮料至少有多少箱？【答案】36箱【解析】【考点】公因数和公倍数应用题。
分析：由“如果每次搬5箱还剩1箱，如果每次搬7箱还剩1箱．”可知，求出5、7的最小公倍数再加上一箱即可。
解答：因为5和7互质，所以它们的最小公倍数是：5×7=35；35+1=36（箱）；答：这车饮料至少有36箱。
点评：此题考查用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题，关键求出最小公倍数加上剩下的一箱即可。
4. 9和12的公约数有个，它们的最小公倍数是．【答案】2，36【解析】分析：根据公约数和最小公倍数的意义分别求出它们的公约数和公倍数找出最小的，据此解答．解答：9的约数有：1，3，9，12的约数有：1，2，3，4，6，12，9和12的公约数有：1，3．一共2个；9的倍数有：9，18，27，36，45，54，63，72，81…，12的倍数有：12，24，36，48，60，72…，9和12的公倍数有：36，72…，它们的最小公倍数是36；【考点】因数、公因数和最大公因数；求几个数的最小公倍数的方法．5. 1、2、3、7都是42的因数．．（判断对错）【答案】√．【解析】根据因数与倍数的意义，42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，由此可知，1、2、3、7都是42的因数．解答：解：42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，故1、2、3、7都是42的因数．故答案为：√．点评：本题主要是考查因数与倍数的意义．一个数没有公因数，只有两个或两个以上的数才能有公因数．6. 7的倍数都是合数．．（判断对错）【答案】×．【解析】根据一个数的倍数和合数的特点进行解答：一个数的最小倍数是它本身，一个数的倍数的个数是无数个；一个数除了1和它本身之外还有其它因数的数是合数．解答：解：7的最小倍数是7，而7除了1和和它本身7之外没有其它因数，所以7是质数，不是合数．所以“7的倍数都是合数”这个说法是错误的．故答案为：×．点评：解决本题的关键是不能忘记考虑到7本身是质数．7. a、b是两个自然数，且a=3b，那么a、b的最大公因数是，最小公倍数是．【答案】b，a【解析】a、b是两个自然数，且a=3b，说明a是b的整数倍，进而根据当两个数为倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；由此解答问题即可．解答：解：因为a、b是两个自然数，且a=3b可知a是b的整数倍，所以a、b的最大公因数是b，最小公倍数是a．故答案为：b，a．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．8. A=2×3×5，B=2×5×7，A和B的最大公约数是，最小公倍数是．【答案】10，210．【解析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．解答：解：A=2×3×5，B=2×5×7，A和B的最大公约数是2×5=10A和B的最小公倍数是2×3×5×7=210．故答案为：10，210．点评：此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．9.一个三位数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是最小的奇数，个位上是2和3的倍数，这个数是．【答案】116．【解析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数叫合数；百位上既不是质数也不是合数的数，是1，十位上是最小的奇数是1，个位上是2和3的倍数是6；由此解答即可．解答：解：由分析可知：该三位数百位上是1，十位上是1，个位上是6，所以这个数是116；故答案为：116．点评：本题关健是要明白质数、合数、奇数的定义．10.把下列各数写成两个质数和的形式24= + = +30= + = + ．【答案】11.13；7，17；13，17；11，19．【解析】首先要明确质数的定义，即一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其它自然数（0除外）整除，那么它就叫做质数（也叫素数）．解答：解：24=11+13=7+1730=13+17=11+19．故答案为：11.13；7，17；13，17；11，19．点评：此题考查了合数与质数，明确质数的定义，是解答此题的关键．。
用最大公因数和最小公倍数解决问题
答：每包有8个梨。有6个糖果。有5个饼干。
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●通过用最小公倍数解题的应用题：
当题目问「至少...」、「最少在几.. 〈单位〉后,会再...一次〈也可换成碰 到〉」或是「下次同时碰到的时候,是 什么时候」之类.
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西瓜堆数：24÷12=2（堆） 木瓜堆数：36÷12=3（堆）
答：每小堆最多12个。这时候西瓜分成2小堆。 木瓜分成3小堆。
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(5)甲、乙两队学生，甲队有121人，乙队有 143人，各分成若干组，各组人数要相等，则 每组最多有几人？这时候甲队可分成多少组？ 乙队可分成多少组？
121和143的最大公因数是：11
甲队学生：121÷11=11（组） 乙队学生：143÷11=13（组）
答：每组最多有11人。这时候甲队可分 成11组。乙队可分成13组。
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(6)今有梨320个、糖果240个、饼干200个，将这 些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最 多，则每包有多少个梨？有多少个糖果？有多少 个饼干？
320、240和200的最大公因数是：40
36、60的最大公因数是：12
60÷12=5（个）
36÷12=3（个）
3＜5
答：正与一堆木瓜，分别为24个与36 个，将其各分成若干小堆，各小堆的个数要相 等，则每小堆最多几个？这时候西瓜分成多少小 堆？木瓜分成多少小堆？
24和36的最大公因数是：12
1、利用每一小块长6公分，宽4公分的长 方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图 案。问：拼成的正方形的边长可能是多 少？ 6和4的公倍数有：12、24 、36… …
答：拼成的正方形的边长可能是12、24 、36… … 。
公因数与公倍数(综合练习)
公因数和公倍数问题1、（1）既是30的因数，又是45的因数的数共有几个？其中最大的数是多少？（2）既是30的倍数，又是45的倍数的数，最小是多少？想：（1）既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数，其中最大的就是30和45的最大公因数；（2）既是30的倍数，又是45的倍数的数就是30和45的公倍数，其中最小的数就是30和45的最小公倍数。
解：（1）30和45的公因数有：1，3，5，15共四个，其中最大的是15；（2）30和45的公倍数有：90，180，270等等，其中最小是90。
试一试：1、既是28的因数，又是42的因数的数有几个？其中最大的数是多少？2、既是30的倍数，又是45的倍数，还是75的倍数的数，最小是多少？问题2、三个连续自然数的最小公倍数是168，那这三个连续自然数的和是多少？解析：要求三个连续自然数的和，就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最小公倍数是168，可先把168分解质因数168＝2×2×2×3×7，根据168的质因数的情况可以肯定其中一个是7，（为什么不可能是14）因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任两个数公因数都是1，故这三个连续自然数只能是6、7和8。
（经检验正确）它们的和是6＋7＋8＝21。
答：这三个连续自然数是6、7、8。
它们的和是21。
试一试：1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几？2、四个连续自然数的最小公倍数是504，那么这四个自然数的和是多少？3、三个连续自然数的和是27，这三个连续自然数的最小公倍数是多少？问题3、有一种长60厘米，宽45厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形？想：用长60厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数，也是45的倍数，也就是60和45的公倍数，因此正方形的边长是180厘米，由此容易求得一共用的地砖块数。
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因为12和30的最大公因数是2X3=6， 所以这个正方形的边长最大是6厘米.
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一、用公因数知识解决生活问题
2.将一张长75厘米，宽60厘米的硬纸板剪成几个同样大小的 正方形且没有剩余，并且剪成的正方形的面积最大，这个正 方形的边长最大是多少厘米？一共可以剪几个这样的正方形？
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一、用公因数知识解决生活问题
4.用96朵红玫瑰和72朵白玫瑰做成花束。如果每个花束里 红玫瑰和白玫瑰的朵数相同且没有剩余，最多可以做多少 个花束？每个花束里最少要有几朵玫瑰？
每个花束里红玫瑰和白玫瑰的朵数相同，又要求花 束的个数最多，所以花束的个数应该是96和72的最大公因数。
96和72的最大公因数是24 96÷24+72÷24=7（朵） 答：最多可以做24个花束，每个花束里最少要有7朵玫瑰。
3、5、7的最小公倍数是105 105-1=104（个） 答：这筐苹果最少有104个。
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二、用公倍数知识解决生活问题
变一变：一盒巧克力，7粒7粒地数，还余4粒，5粒5粒 地数又少3粒，3粒3粒地数正好数完。这盒巧克力至少 有多少粒？
由题意可知，如果巧克力再多3粒，正好是7、5、 3的倍数，所以这盒巧克力至少的粒数就是用7、5、3的 最小公倍数再减3。
6和8的最小公倍数是24，
所以再次相遇应是8月25日。
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二、用公倍数知识解决生活问题
2.一筐苹果，如果3个3个地数，最后余2个，如果5个5 个地数，最后余4个，如果7个7个地数，最后余6个。 这筐苹果最少有多少个？
由题意可知，假设再添上1个苹果，则余下的苹 果数分别是3、5、7，就正好再数一次，正好数完，也 就是总数加1后是3、5、7的最小公倍数。
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一、用公因数知识解决生活问题
3.将一张长1.36米，宽0.8米的长方形纸，裁成一样大小的 正方形纸片，使它们的面积尽可能大且没有剩余，可以裁出 多少张正方形纸片？
1.36米=136厘米，0.8米=80厘米。
136和80的最大公因数是8
（136÷8）X(80÷8)=170(张） 答：可以裁出170张正方形纸片。
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二、用公倍数知识解决生活问题
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二、用公倍数知识解决生活问题
1.暑假中，小明和小红去参加书法训练，8月1日两人同 时参加训练后，小明每6天去一次，小红每8天去一次， 那么几月几日两人才能再次相遇？
由题意可知，两个人要再次相遇，相隔的天数 应是6的倍数，也是8的倍数，那么相隔的天数应是6和8 的最小公倍数。
剪同样大小的正方形且没有剩余，则正方形的边长是长和宽的公 因数，要使面积最大，那么正方形的边长应该是长和宽的最大公因数。
3
75
60
5 25
20
÷
5
4
这个正方形的边长最大是3X5=15（厘米）
(70÷15) X (60÷1 = 20(个） 答：这个正方形的边长5)最大是15厘米，一共可以剪20个这样 的正方形。
7X5X3-3=102（粒）
答：这盒巧克力至少有102粒。
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Байду номын сангаас
公因数公倍数的实际问题
一、用公因数知识解决生活问题 二、用公倍数知识解决生活问题
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一、用公因数知识解决生活问题
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一、用公因数知识解决生活问题
1.一张长30cm、宽12cm的长方形纸，剪成大小相 等的正方形且没有剩余，这个正方形的边长最大 是多少厘米？
剪同样大小的正方形且没有剩余，则正方形的边长是 长和宽的公因数，要使面积最大，那么正方形的边长应该是 长和宽的最大公因数。