画图巧解行程问题

画图巧解行程问题

［题目］甲、乙两列火车从两地相对开出，5小时后在距离中点40千米处相遇。已知快车每小时行60千米，慢车每小时行多少千米？

［分析与解］此题的一般思路是先求出两地的路程，然后求出速度和，最后求慢车的速度。但是快车越过了中点40千米，很容易理解错误!可是如果画图可能解答方法就会很容易，大家试着把题意用线段图表示出来。

（答案两天后公布，请先想想，也可展示自己的巧思妙解）

答案:

［一般解法］已知两车5小时相遇和快车每小时行60千米，则相遇时快车行驶的路程是：60×5＝300（千米）；又知相遇点距中点40千米，肯定是快车越过了中点40千米，因此可以求出全程的长度是：（300－40）×2＝5 20（千米），由此可知慢车每小时行驶的路程是：520÷5－60＝44（千米）。综合算式是：（300－40）×2÷5－60＝44（千米）。

［巧妙解法］根据题意可画图如下：

观察上图，用粗线表示慢车所行的路程，用细线表示快车所行的路程，由“在距离中点40千米处相遇”可知，相遇时快车比慢车多行了（40×2）80千米，由此就可以求出快车每小时比慢车多行驶的路程是：80÷5＝16（千米），由此可知慢车每小时行驶的路程是：60－16＝44（千米）。综合算式是：60－40×2÷5＝44（千米）。

行程问题万能解法：“三个量，三个关系”

行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：

这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)

三个关系：1. 简单行程：路程 = 速度×时间

2. 相遇问题：路程和 = 速度和×时间

3. 追击问题：路程差 = 速度差×时间

牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

如“多人行程问题”，实际最常见的是“三人行程”

例1：有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？

分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）

第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）

第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）

我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！