第8章 系统的状态变量分析

)
b2
x2
(t0
)
则g1(t0 ), g2 (t0 )也可作为系统在t0时刻的状态。
8.1 系统的状态空间描述 （2） 状态变量：
表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
则系统的状态变量——任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
8.1 系统的状态空间描述 （3） 状态矢量、状态空间：
状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(t) 称状态矢量。
x1(t)
X
(t
)
x2
(t
)
xn (t)
状态空间：状态矢量X(t) 所在的空间称状态空间。
8.1 系统的状态空间描述
2、状态方程和输出方程：
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
8.1 系统的状态空间描述
8.1 系统的状态空间描述
一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程： 1、状态变量： （1）初始状态：设初始时刻为t0
t0时刻的状态通常指电容元件上电压uc(t0)和电 感元件上电流iL(t0)。n阶系统有n个初始状态。 初始状态的一般定义： 系统在t0时刻的状态是最少数目的一组数。知道 了这组数和区间[t0 ，t]上的输入，就可以完全确 定系统在t时刻的输出。 表示：n阶系统的初始状态表示为：
iC (t) uL (t)
8.1 系统的状态空间描述
由KCL和KVL得：
iC
C
duC dt
1 R ( f1 uC ) iL
uL uC f2
y1
1 R
x1
x2
1 R
f1
y2 x1 f2
上式称图示RLC系统的输出方程，其矩阵形式为：
y1 y2
1 R
1
1
0
x1 x2
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
xn T
f f1 f2
f p T
A a ij nn , B bij np
则 X AX Bf
8.1 系统的状态空间描述
（2）输出方程：
例：
R
iC
f1 (t )
C
iL
L
uL
uC
f2 (t)
系统的输入：f1(t), f2 (t) 系统的状态：uC (t),iL (t)
系统输出： yy21((tt))
引言
2、系统状态方程的解
A.连续系统状态方程、输出方程的解： （1）时域解 （2）s 域解
B.离散系统状态方程、输出方程的解： （1）时域解 （2）z 域解
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
表示：对n阶系统，状态变量表示为：
x1(k) , x2 (k) ,
, xn (k) 。
状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(k) 称状态矢量。
x1(k)
X
(k
)
x2
(k
)
xn (k)
8.1 系统的状态空间描述 2、状态方程和输出方程：
例1. 设系统的方程为
y(k) a1 y(k 1) a0 y(k 2) b0 f (k)
y
2
c21x1
c22 x2
c2n xn
d 21
f1
d 22
f2
d2
p
f
p
yq cq1x1 cq2 x2 cqn xn dq1 f1 dq2 f2 dqp f p
8.1 系统的状态空间描述
矩阵形式：
y1 c11
y2
c21
c12 c22
c1n
c2n
x1
x2
a21
a22
xn an1 an2
8.1 系统的状态空间描述
a1n a2n
x1 x2
b11 b21
b12 b22
ann xn bn1 bn2
b1 p b2 p
f1 f2
bnp f p
令 X x1 x2
xn T , X x1 x2
x1 x2
(k (k
1) 1)
0 a0
1 x1(k)
a1
x2
(k
)
0
b0
f
(k)
y(k) a0
a1
x1 x2
(k ) (k )
b0
f
(k
)
8.1 系统的状态空间描述
离散系统状态方程、输出方程的一般形式：
状态方程：描述系统状态与输入关系的一阶前向差分 方程组。
一般形式：n阶系统，p个输入。
设 x1(k) y(k 2) , x2 (k) y(k 1)
则有
x1 (k x2 (k
1) 1)
x2 (k) a0 x1(k
)
a1x2
(k
)
b0
f
(k
)
——①
y(k) a1x2 (k) a0x1(k) b0 f (k)
——②
8.1 系统的状态空间描述
①式称系统的状态方程；②式称系统的输出方程。 矩阵形式：
iL1
L1 R1
US
R iL 2 L2
iS
C uC
选 （1）iL1、uC
（2）iL2、uC
iL1 L1
iL3
iL 2
L3
L2
选 （1）iL1、iL2 或 （2）iL1、iL3 或 （3）iL2、iL3
8.2 状态方程的建立
（2）直观编写法步骤:
例：
iL1 uL1 L1
uC iC a
iL 2
y2
Rx1 Rx2 x3 f2 uab ic R f2 Cx3R
f2
Rx1 Rx2 f2
8.2 状态方程的建立
y1 y2
R
R
R R
1 0
x1 x2 x3
0 0
1 f1
1
f2
2、由系统微分方程编写状态方程：
例1：已知系统方程为
y''' (t) a2 y'' (t) a1 y' (t) a0 y(t) b0 f (t)
例：
R1
R2
iL
选择 uC1、uC2、iL
U S C1
uC1
C2
uC 2
L 为状态变量
uC1
C1
US
C2
R1 iL
L uC 2
选 （1）uC1、iL
R2
（2）uC 2、iL
uC2
C2
C1
uC1
C3
uC 3
8.2 状态方程的建立
选 （1）uC1、uC2 或 （2）uC1、uC3 或 （3）uC2、uC3
（1）状态方程：
例：
R
iL
L
f1 (t )
iC
uL
uC
f2 (t)
C
系统的输入：f1(t), f2 (t) 系统的状态：uC (t),iL (t)
系统输出：
y1 (t ) y2 (t)
iC (t) uL (t)
8.1 系统的状态空间描述
由KCL和KVL得：
C
duC dt
1 R
(
f1
uC
列出系统的状态方程和输出方程。 解：
（1） 选择状态变量：令 x1 y , x2 y ', x3 y''
8.2 状态方程的建立
（2） 状态方程： x1 x2
yn
(k
)
cq1
cq 2
cqn
xn
(k
)
dq1
dq2
d
qp
f
p
Y (k)
C
X (k)
D
f (k)
Y (k) CX (k) Df (k)
8.2 状态方程的建立
8.2 状态方程的建立
一、连续系统状态方程的建立： 1、RLC系统状态方程的建立——直观编写法：
（1）状态变量的选择:
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
8.2 状态方程的建立
第二步: 关于Cx（3 电容电流）列KCL方程： Cx3 iC x1 x2
第三步: 消去除了状态变量和输入以外的其它变量，把 状态方程整理成标准形式：
x1
R L1
x1
R L1
x2
1 L1
x3
1 L1
f1
1 L1
f2
x2
R L2
x1
R L2
x2
1 L2
x3
1 L2
x1 x2
1 RC
0
0 1
L
f1 f2
8.1 系统的状态空间描述
状态方程：
描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组。
状态方程的一般形式：
设n阶系统的状态变量为：x1, x2 , xn.
系统有p个输入：f1, f2 , f p .
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2
第8章 系统的状态空间分析
第8章 系统的状态空间分析
8.1 状态变量与状态方程 8.2 连续系统状态方程的建立 8.3 离散系统状态方程的建立与模拟 8.4 连续系统状态方程的求解 8.5 离散系统状态方程的解
第8章 系统的状态变量分析
第8章 系统的状态变量分析
一、系统的状态变量分析法简介
1、系统的状态空间描述：
x1(k 1) a11
x2
(k
1)
a21
a12
a22
a1n
a2n
x1(k)
x2
(k
)
b11 b21
b12 b1p f1
b22
b2
p
f
2
xn
(k
1)
an1
an2
ann
xn
(k
)
bn1
bn2
bnp
f
p
X (k 1)
A
X (k)
B
f (k)
X (k 1) AX (k) Bf (k)
x2
d11 d21
d12 d22
d1 p d2 p
f1 f2
yq
cq1
cq 2
cqn
xn
dq1
dq2
dqp
f
p
令 Y y1 y2 yq T , C cij qn , D dij qp 则 Y CX Df
8.1 系统的状态空间描述
二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程： 1、状态变量：
)
iL
L diL dt
uC
f2
令 uC x1, iL x2
duc dt
•
x1 ,
diL dt
•
x2
8.1 系统的状态空间描述
x1
1 RC
x1
1 C
x2
1 RC
f1
x2
1 L
x1
1 L
f2
上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：
x1
x2
1 RC 1
L
1 C
0
x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
1 R 0
0
1
f1 f2
8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式： 设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
8.1 系统的状态空间描述
输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的 代数方程组。
一般形式： n阶系统，p个输入，q个输出。
y1(k) c11
y2
(k
)
c21
c12
c22
c1n
c2n
百度文库
x1(k)
x2
(k
)
d11 d21
d12 d 22
d1p f1
d
2
p
f
2
f2
x3
1 C
x1
1 C
x2
8.2 状态方程的建立
矩阵形式：
x1
x2
x3
R L1
R
L2
1
R L1 R L2 1
1 L1 1 L2
x1 x2 x3
1 L1
0
1 L1
1 f1
L2
f2
C C 0
0 0
列输出方程：
y1 uL2 L2 x2
x2
a21x1
a22 x2
xn an1x1 an2 x2
a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p
ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
矩阵形式：
x1 a11 a12