周期序列的傅里叶级数

~ n bx ~ n aDFS x ~ n bDFS x ~ n DFS ax 1 2 1 2
2. 序列循环移位 时域移位:
2 jk m ~ ~ ~ ~ x n X k x n m e N X k





~ n m与x ~[n ( m pN )]相同 如果|m|＞N，则 x ~ n m与x ~ ( n)相同 如果|m|=rN，则 x
5.2 离散傅里叶级数
~ ( n) ，周期为N 研究对象：离散周期信号 x
一 正交信号集
{e
jk
2 n N , k 0,1,2,..., N 1}, 2 0
有限项(N项) N为周期
N
1. 为什么只有N项？
因为e
jk 2 n N 以N为周期
2. 是否两两正交？
N 1 j 2 2 2 N 1 kn j rn j ( k r )n N , N N e e N e 0, n 0 n 0
k r lN k r lN
二 离散时间傅里叶级数系数的确定
~ n x
N 1 n 0 N 1 k 0

2 2 kn j rn N N ak e ，两边同乘以 e , 并在一个周期内对 n求和，得： j 2 2 2 2 rn N 1 N 1 j kn j rn N 1 N 1 j ( k r )n N ak e N e N ak e N Nar n 0 k 0 k 0 n 0
频域移位:
2 j qn ~ ~ ~ ~ N x n X k e x n X kq





3. 对称性 ~ ~ ~ ~ n X ~ n X ~ n X k x k x k (1) x
~ ~ ~ n为实序列 X k X k ( 2) x
N 1
jk
2 n N
f (t )

连续时间FS ①表示方法：时域 t，频域 kΩ ② 求和限： -∞~ ∞
k
Fk e jkt
离散时间FS 时域 n，频域 k 一个周期
③
时域周期T， 频谱离散谱
时域周期N， 频谱即离散又周期,周期为N
例： 求如图所示离散周期矩形脉冲序列的离散傅里叶级数， 并画出N=10，N1=2时的频谱图。
k sa ~ 2 带入N 10，N1 2得：X ( k ) 5 k sa 10

三 DFS的性质
~ ~ k 的周期也为N。 x n 的周期为 N ，则 X 0. 周期性
~ n和x ~ n都是周期为N的离散时间周期序列 1 . 线性 x 1 2
j 2 2 N 1 kn j kn ~ ~ ~ N N ，令X ( k ) Nak 得：X ( k ) x ne n 0
~ n e x
j
ak
1 ~ ne x N n 0
j
N 1

上式两边同乘以 e
N 1 k 0
2 km N , 并在一个周期内对 k求和，得： N 1 N 1 k 0 n 0
第五章 离散时间信号与系统频域分析
5.1 引言
复习：Ch4：连续时间信号频域分析
①周期信号的傅里叶级数；②非周期信号的傅里叶变换 ③周期信号的傅里叶变换；④系统的频域分析
本章：离散时间信号频域分析
离散傅里叶级数(Discrete-Fourier-Series,DFS) 离散时间傅里叶变换(Discrete-Time-Fourier-Translate,DTFT) 离散系统的频域分析
~ X k e
j
2 km N


~ ( n) e x
j
2 k ( m n) N

N 1 n 0

N 1 j 2 k ( m n) ~ ( n) x e N k 0

~ ( n) Nx
~ n 1 x N
N 1 k 0
j kn ~ N X k e
即实序列的DFS系数为共轭对称序列， 实部为偶函数，虚部奇函数；模为偶函数，相角为奇函数
4. 周期卷积 Ch3中卷积和的定义： x1 ( n) * x 2 ( n) 本章中，周期卷积的定义：
~ n和x ~ n x 1 2
~ ( n) * x ~ ( n) x 1 2
k
x (k ) x
2
二 离散时间傅里叶级数系数的确定
~ X k
N 1
nn N 0

~ ne x
jk
2 n N
~ ~ n] 正变换 X k DFS[ x ~ ~ n IDFS[ X k ] 反变换 x
~ ~ n 1 x X k e Nk N k 0
5. Parseval定理
1 N
n N

~ ( n) 2 x
k N
ak
2
1 … …
-N
-N1 0 N1
N
n
DrawDFS.m
~ 解：X ( k )
~ ( n) e x
n N 2

N 2
j
2 kn N

n N 1
e
N1
j
2 kn N
, 令l n N 1 1 e
j 2 k ( 2 N 1 1) N j 2 k N
e
1

2
(n k )
周期都为N，则
m N
~ ( m) x ~ ( n m) 称为周期卷积 x 1 2
特点：只在一个周期求和，周期仍为N。
~ ~ ~ ~ x1 ( n) * x2 ( n) X 1 ( k ) X 2 ( k )
~ ~ ~ ( n) x ~ ( n) 1 X x ( k ) * X 1 2 1 2 (k ) N
l 0
2 N1
2 j k ( l N1 ) N
e
2 j kN1 N
e
l 0
2 N1
2 j kl N
e
2 j kN 1 N

1 e
分子分母同乘以 e
j
2 k N 2
sin
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，再利用欧拉公式可以 化简为
2 k 2 N 1 1 N 2 2 k sin N 2