化工传递过程基础2
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（1）速度分布：不可压缩流体作稳态二维流动时，根据实验测定层流边界层内 速度分布与抛物线形状相似，即：
其中系数ai由相应的边界条件确定，见87-89页。
•
设速度分布方程式为： 根据边界条件：① ② ③ ④
得层流边界层内速度分布方程式：
•
（2）边界层厚度：将边界层内速度分布方程代入Karman边界层动量方程式中
3、应用 边界层理论为许多试验所证实，一些复杂的传递现象可获得解决。
4、边界层的形成和发展 形成：壁面的粘附作用；流体具有粘性。
发展：边界层在一定距离内变化，然后趋于稳定。
•
在发展过程，边界层内的流动可能由层流转化为湍流，即由层流边界层转
为湍流边界层，但在靠近壁面处仍然存在一层层流内层。开始转变的距离称 为临界距离xc ，转变点取决于临界Rec =5×105 。
方法：对Prandtl边界层方程从y=0到y=δ进行积分，然后根据速度分布求解。
•
Prandtl边界层方程式左侧积分： 其中：①
② ③
•
Prandtl边界层方程式右侧积分：
因此 Karman边界层积分动量方程式：
若已知ux～y的关系，通过对Karman边界层动量方程式积分，可得速度分布等。
2、流体沿平版壁面流动时层流边界层的近似解
内部粘性力的作用，流速将从壁面处的0逐渐
增加到u0。即在整个流层中，沿垂直于流动方 向产生了速度梯度。
ux
δ
2、提出论点 Prandtl提出的Fra Baidu bibliotek点是：假定
ux
速度梯度全部集中在紧靠壁面的一薄层流体中，
该薄层称为边界层，在边界层以外流速不再变化。为此将流动划分为两个区域：
边界层（粘性效应起作用，存在明显速度梯度的区域）和主流区。
当 x=0 时，δ=0，故 c1 =0
•
（3）曳力系数CD：设平壁宽度b，长度L，流体受到的总阻力为：
其它情况下的速度分布、边界层厚度、曳力系数见表4-2中。
•
第四节 边界层分离
当流体绕过圆柱或球体等流动时，Re很小时阻力由粘性力引起； Re较大时摩擦阻力和形体阻力都有影响，而形体阻力取决于边界层分离。 1、现象分析 流体流过平行置于流场中的薄平板时，沿流动方向边界层外
•
因此根据数量级分析得出的 Prandtl边界层方程式为：
以及连续性方程式 ：
满足的边界条件：① y =0 ，ux = 0 ， uy = 0 ； ② y =∞（δ），ux = u0
2、Prandtl边界层方程式的数学解
将
代入到边界层方程式得：
Blasuis采用相似变换法将其转变为常微分方程，进行积分求解。 （1）寻找变量 通过相似变换
•
1、Prandtl边界层方程式的推导
采用数量级分析法：当流体流动的Re很大时，δ＜＜x，甚至可以忽略不计 。
因此对式中各项进行数量级分析，使方程式简化。（采用O代表数量级） （1）取x为距离的标准数量级，用O（1）表示，记 x=O（1）； （2）取u0为速度的标准数量级，用O（1）表示，记 u0=O（1）及 ux=O（1）
u0 y
u0
xc
u0
ux 层流边界层
过渡区
湍流边界层
x
在管内流动时，管内壁面形成边界层，而且逐渐加厚，在离进口某一段距
离Le处边界层在管中心汇合，此后的流动称为充分发展了的流动。从管入口 到汇合处的距离称为进口段长度，以Le表示，用于流体物理量的测量时，要 求测点超过Le才结果准确。层流时Le=0.05d×Re；湍流时Le＞50d。
化工传递过程基础2
2020年6月3日星期三
第五章 边界层流动
N—S方程式反映了流体流动规律，但其解只在某些特殊情况下才能获得，
对很小Re的爬流结果正确，而对Re很大的势流导致错误的结果，对此1904年
Prandtl提出边界层学说后才得以解释。
y
u0
第一节 边界层的概念
1、流动现象 当流体遇到壁面时，由于流体
；
（3）取δ的数量级为O（δ），记 δ=O（δ）及y=O（δ） ；
（4）由二维连续性方程式
知：
（5）其余数量级：
•
根据以上讨论，对Naver—Stokes方程式中各项数量级之间的关系标注为：
（1）（1）（δ）（1/δ） （1） （δ2） （1） （1/δ2）
由于：
因此方程式简化为：
同理：
（1）（δ） （δ）（1） （δ） （δ2）（δ） （1/δ） 由此数量级分析可得到的结论是： ①第二个方程式与第一个方程式相比，可以略去； ②
用无因次变量代替x、y：
•
过程：①通过因次分析，引入变量 经分析 以质量M、时间θ及 x、y、z方向上的长度Lx ，Ly ，Lz为基本因次，代入： 根据因次一致性原则，解得：
•
即： 式中： ②引入流函数ψ，找出ψ与
的关系：
•
（2）引入变量
和ψ，对各项进行变换：
•
（3）代入到
得： （4）解方程式：Blasuis应用级数衔接法，在η=0附近按Taler级数将f（η）展
u0
Le
umax
Le
•
湍流核心
5、边界层厚度的定义
一般取流速达到u0 的99%处距离壁面的垂直距离（y方向）为边界层厚度δ，即
：
δ虽然很小，但对流体的流动阻力，传
热、
传质过程的速率有重要影响，其大小
与
流体流动时的湍动程度有关。
第二节 Prandtl边界层方程式
不可压缩流体沿壁面作稳态（层流边界层）流动时，可看作二维流动过程 ，若流动方向x，与壁面垂直方向y，则Naver—Stokes方程式及连续性方程式 为：
开，方程的边界条件为： ①
②
③
•
在η=0附近按Taler级数将f（η）展开：
由边界条件②：y=0，η=0，f（0）=0， 由边界条件①：y=0，η=0，f ‘（0）=0，
代入并且整理：
∴ c0 = 0 ∴ c1 = 0
•
为使上式成立，各项系数等于零，即：
c3 = 0 ， c4 = 0 ， c6 = 0 ， c7 = 0 ， ∴ 式中：A0 =1，A1 =1，A2 =11，……，c2 由η→∞时的边界条件确定，其
求解结果为：
实际计算时可通过查取表4-1进行。
•
3、Prandtl边界层方程式的应用
（1）边界层中的速度分布ux ，uy：
（2）边界层厚度δ： （3）曳力系数CD：设平壁宽度b，长度L，流体受到的总阻力为：
•
其中：
第三节 Karman边界层积分动量方程式
1、 Karman边界层积分动量方程式的推导
的速度、压力保持不变，即dp/dx=0；但当流过曲面时，边界层外的流速 、压力沿流动方向发生不断变化，由Benulii方程式：
其中系数ai由相应的边界条件确定，见87-89页。
•
设速度分布方程式为： 根据边界条件：① ② ③ ④
得层流边界层内速度分布方程式：
•
（2）边界层厚度：将边界层内速度分布方程代入Karman边界层动量方程式中
3、应用 边界层理论为许多试验所证实，一些复杂的传递现象可获得解决。
4、边界层的形成和发展 形成：壁面的粘附作用；流体具有粘性。
发展：边界层在一定距离内变化，然后趋于稳定。
•
在发展过程，边界层内的流动可能由层流转化为湍流，即由层流边界层转
为湍流边界层，但在靠近壁面处仍然存在一层层流内层。开始转变的距离称 为临界距离xc ，转变点取决于临界Rec =5×105 。
方法：对Prandtl边界层方程从y=0到y=δ进行积分，然后根据速度分布求解。
•
Prandtl边界层方程式左侧积分： 其中：①
② ③
•
Prandtl边界层方程式右侧积分：
因此 Karman边界层积分动量方程式：
若已知ux～y的关系，通过对Karman边界层动量方程式积分，可得速度分布等。
2、流体沿平版壁面流动时层流边界层的近似解
内部粘性力的作用，流速将从壁面处的0逐渐
增加到u0。即在整个流层中，沿垂直于流动方 向产生了速度梯度。
ux
δ
2、提出论点 Prandtl提出的Fra Baidu bibliotek点是：假定
ux
速度梯度全部集中在紧靠壁面的一薄层流体中，
该薄层称为边界层，在边界层以外流速不再变化。为此将流动划分为两个区域：
边界层（粘性效应起作用，存在明显速度梯度的区域）和主流区。
当 x=0 时，δ=0，故 c1 =0
•
（3）曳力系数CD：设平壁宽度b，长度L，流体受到的总阻力为：
其它情况下的速度分布、边界层厚度、曳力系数见表4-2中。
•
第四节 边界层分离
当流体绕过圆柱或球体等流动时，Re很小时阻力由粘性力引起； Re较大时摩擦阻力和形体阻力都有影响，而形体阻力取决于边界层分离。 1、现象分析 流体流过平行置于流场中的薄平板时，沿流动方向边界层外
•
因此根据数量级分析得出的 Prandtl边界层方程式为：
以及连续性方程式 ：
满足的边界条件：① y =0 ，ux = 0 ， uy = 0 ； ② y =∞（δ），ux = u0
2、Prandtl边界层方程式的数学解
将
代入到边界层方程式得：
Blasuis采用相似变换法将其转变为常微分方程，进行积分求解。 （1）寻找变量 通过相似变换
•
1、Prandtl边界层方程式的推导
采用数量级分析法：当流体流动的Re很大时，δ＜＜x，甚至可以忽略不计 。
因此对式中各项进行数量级分析，使方程式简化。（采用O代表数量级） （1）取x为距离的标准数量级，用O（1）表示，记 x=O（1）； （2）取u0为速度的标准数量级，用O（1）表示，记 u0=O（1）及 ux=O（1）
u0 y
u0
xc
u0
ux 层流边界层
过渡区
湍流边界层
x
在管内流动时，管内壁面形成边界层，而且逐渐加厚，在离进口某一段距
离Le处边界层在管中心汇合，此后的流动称为充分发展了的流动。从管入口 到汇合处的距离称为进口段长度，以Le表示，用于流体物理量的测量时，要 求测点超过Le才结果准确。层流时Le=0.05d×Re；湍流时Le＞50d。
化工传递过程基础2
2020年6月3日星期三
第五章 边界层流动
N—S方程式反映了流体流动规律，但其解只在某些特殊情况下才能获得，
对很小Re的爬流结果正确，而对Re很大的势流导致错误的结果，对此1904年
Prandtl提出边界层学说后才得以解释。
y
u0
第一节 边界层的概念
1、流动现象 当流体遇到壁面时，由于流体
；
（3）取δ的数量级为O（δ），记 δ=O（δ）及y=O（δ） ；
（4）由二维连续性方程式
知：
（5）其余数量级：
•
根据以上讨论，对Naver—Stokes方程式中各项数量级之间的关系标注为：
（1）（1）（δ）（1/δ） （1） （δ2） （1） （1/δ2）
由于：
因此方程式简化为：
同理：
（1）（δ） （δ）（1） （δ） （δ2）（δ） （1/δ） 由此数量级分析可得到的结论是： ①第二个方程式与第一个方程式相比，可以略去； ②
用无因次变量代替x、y：
•
过程：①通过因次分析，引入变量 经分析 以质量M、时间θ及 x、y、z方向上的长度Lx ，Ly ，Lz为基本因次，代入： 根据因次一致性原则，解得：
•
即： 式中： ②引入流函数ψ，找出ψ与
的关系：
•
（2）引入变量
和ψ，对各项进行变换：
•
（3）代入到
得： （4）解方程式：Blasuis应用级数衔接法，在η=0附近按Taler级数将f（η）展
u0
Le
umax
Le
•
湍流核心
5、边界层厚度的定义
一般取流速达到u0 的99%处距离壁面的垂直距离（y方向）为边界层厚度δ，即
：
δ虽然很小，但对流体的流动阻力，传
热、
传质过程的速率有重要影响，其大小
与
流体流动时的湍动程度有关。
第二节 Prandtl边界层方程式
不可压缩流体沿壁面作稳态（层流边界层）流动时，可看作二维流动过程 ，若流动方向x，与壁面垂直方向y，则Naver—Stokes方程式及连续性方程式 为：
开，方程的边界条件为： ①
②
③
•
在η=0附近按Taler级数将f（η）展开：
由边界条件②：y=0，η=0，f（0）=0， 由边界条件①：y=0，η=0，f ‘（0）=0，
代入并且整理：
∴ c0 = 0 ∴ c1 = 0
•
为使上式成立，各项系数等于零，即：
c3 = 0 ， c4 = 0 ， c6 = 0 ， c7 = 0 ， ∴ 式中：A0 =1，A1 =1，A2 =11，……，c2 由η→∞时的边界条件确定，其
求解结果为：
实际计算时可通过查取表4-1进行。
•
3、Prandtl边界层方程式的应用
（1）边界层中的速度分布ux ，uy：
（2）边界层厚度δ： （3）曳力系数CD：设平壁宽度b，长度L，流体受到的总阻力为：
•
其中：
第三节 Karman边界层积分动量方程式
1、 Karman边界层积分动量方程式的推导
的速度、压力保持不变，即dp/dx=0；但当流过曲面时，边界层外的流速 、压力沿流动方向发生不断变化，由Benulii方程式：