随机过程及其应用毕业论文答辩ppt
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《数学随机过程》课件
《数学随机过程》PPT课 件
欢迎大家来到今天的课程，本PPT课件将介绍数学随机过程的定义、分类、 特性、应用领域及实例，带您领略数学随机过程的魅力。
数学随机过程的定义
数学随机过程是描述随机变量随时间或空间的变化规律的数学模型。
数学随机过程的分类
离散时间随机过程
在离散时间点上定义的随机变量序列。
马尔可夫过程
用于模拟金融资产的价格变化。
用于预测天气变化及气象灾害 风险。
交通流量
用于优化交通规划及道路设计。
数学随机过程的实例
泊松过程
用于描述随机事件的到达 过程，如电话呼叫的到达。
随机游走
用于模拟股票价格随机波 动。
排队论
用于研究服务系统中顾客 达到、等待和离开的规律。
总结和要点
数学随机过程是一种重要的数学工具，可以描述和分析不确定性的变化。
具有马尔可夫性质的随机过程。
连续时间随机过程
在连续时间上定义的随机变量函数。
布朗运动
具有连续、平稳、独立增量的随机过程。
数学随机过程的特性
1
随机性
随机过程的未来状态是不确定的。
2
独立增量
过程在不同时间间隔上的增量是相互独立的。
3
平稳性
统计特性在时间上保持不变。数学随机过程的应用领域
金融市场
天气预报
欢迎大家来到今天的课程，本PPT课件将介绍数学随机过程的定义、分类、 特性、应用领域及实例，带您领略数学随机过程的魅力。
数学随机过程的定义
数学随机过程是描述随机变量随时间或空间的变化规律的数学模型。
数学随机过程的分类
离散时间随机过程
在离散时间点上定义的随机变量序列。
马尔可夫过程
用于模拟金融资产的价格变化。
用于预测天气变化及气象灾害 风险。
交通流量
用于优化交通规划及道路设计。
数学随机过程的实例
泊松过程
用于描述随机事件的到达 过程，如电话呼叫的到达。
随机游走
用于模拟股票价格随机波 动。
排队论
用于研究服务系统中顾客 达到、等待和离开的规律。
总结和要点
数学随机过程是一种重要的数学工具，可以描述和分析不确定性的变化。
具有马尔可夫性质的随机过程。
连续时间随机过程
在连续时间上定义的随机变量函数。
布朗运动
具有连续、平稳、独立增量的随机过程。
数学随机过程的特性
1
随机性
随机过程的未来状态是不确定的。
2
独立增量
过程在不同时间间隔上的增量是相互独立的。
3
平稳性
统计特性在时间上保持不变。数学随机过程的应用领域
金融市场
天气预报
随机过程论(第3版)PPT完整全套教学课件
在独立增量过程中有一类很重要的特例一稳定过程，它满足条件:存在a>0(a称为此稳定 过程的阶)，使对∀c>0恒有
04 马 氏 过 程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。 特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明 当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是 这就可得到 于是
Gauss 系
命题1.8
于是 这就可得到 于是 这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是 这就可得到 而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念 、 简 单 性 质 与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含 证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令 由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在 由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理
04 马 氏 过 程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。 特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明 当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是 这就可得到 于是
Gauss 系
命题1.8
于是 这就可得到 于是 这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是 这就可得到 而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念 、 简 单 性 质 与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含 证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令 由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在 由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理
《随机过程及其应用》PPT课件
• 我们称这个极限limP(x(n)=0)＝ 为{x(n),n 0} 的绝灭概率，显然 0 1 • 定理2.5设{x(n),n 0}是一个初始状态为1的以 f(s)=p(0)+p(1)s+…为本原母函数的分枝过程。 为其绝灭概率，则 • (1) =f( ) =1 • (2)当 1,p(1)<1时有 • (3)当1< 时, 是s=f(s)在[0,1)内的唯一解
• 所以对于一个取非负整数值的随机变量x,只要 知道了它的母函数其分布也就完全知道了。 • 二、分枝过程 • • • • 设有一个反应堆，最初有n(0)个质点，由于质 点之间的相互碰撞或其它射线的轰击，每隔一 单位时间，一个质点可分离成k个质点 （k=0,1,2…)并设 • （1）这些质点的分离情况是相互独立的，具 有共同分布 • （2）质点的分离情况与其年龄无关
k
(5) 2 (1) n(0) 2 , 2 f " (1) f ' (1) ( f ' (1))2 (6) 当 1时, 2 (n) n(0) 2 n ( n 1) /( 2 ) 2 2 当 = 1时， (n) n0 n 从定理2.4可知，只要f(s)已知，则{X(n),n 0} 的一切信息都知道了。 对于某一时刻n,若x(n)=0,则该过程就灭绝了。 下面来讨论过程灭绝的概率 • 因为{X(n)=0} {x(n+1) =0} • 所以0 P(x(n)=0) P(x(n+1)=0)1,即 {P(x(n)=0),n=1,2,…}是一个单调有界序列，故 其极限一定存在。 • • • • • •
• Z(n+1,i)表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻 (n+1)时刻分离出的质点数。 • X(n)表示n时刻反应堆中的质点数，则有 • X(0)=n(0) • X(1)=Z(1,1)+Z(1,2)＋…+Z(1,n(0)) • X(2)=Z(2,1)+Z(2,2)+…Z(2,x(1)） • ……………. • X(n+1)=Z(n+1,1)+Z(n+1,2)+…+Z(n+1),x(n)) • 上面的假设（1）、（2）说明{z(n+1,i),i 1,n 0}是一族相互独立具有共同分布的取非负整数 的随机变量。令其共同分布为p(k)=P(z(n,i)=k)
刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件6b剖析
协方差函数 CX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t)
min( s,t) s , (s t)
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A
发生的次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
6.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
fT
(t )
et
(t)k 1 ,
(k 1)!
t
0
0 ,
t 0
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P( X
k)
n kpkqnkE( X ) np, D( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim P( X k ) ke
n
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而 取各个值的概率为
《随机过程——计算与应用》课件随机过程引论课件4
称 Z (t) E Zt 2
为复随机过程Z的均方值函数.
对任意的s,t T , 称 RZ (s,t) E[ZsZt ]
为复随机过程Z的相关函数.
称 CZ (s,t) Cov(Zs , Zt ) E[(Zs mZ (s))(Zt mZ (t))]
为复随机过程Z的协方差函数.
由以上定义可得
则称之为该二维随机过程的互相关函数,记 RXY (s, t).
若 Cov( X s ,Yt ) E[(X s mX (s))(Yt mY (t))] 存在
则称之为该二维随机过程的互协方差函数,记 CXY (s, t).
互协方差函数可以定义两个过程的相关性 设有随机过程X={Xt, t∈T}和Y={Yt, t∈T}, 对任意 的 s,t∈T, 若
则称之为随机过程X的协方差函数.记为CX (s, t).
4. 相关函数
设 X {Xt , t T} 是一实值随机过程，对任意s,t∈T,
若
E[X s Xt ] 存在
则称之为随机过程X的(自)相关函数.记为 RX (s,t).
5. 均方值函数
设 X {Xt , t T} 是一实值随机过程，对任意3.10 设 X {Xt ,t [a,b]} 是正交增量过程, 且Xa 0 则
(1) RX (s,t) X (min( s,t)) s,t [a,b]
(2) X(t )是单调不减函数
两个随机过程的互相关函数与互协方差函数
设{Xt ,Yt ,t T}为二维随机过程,对任意s,t T,若 E[XsYt ] 存在
2
s,t
CX (s,t) RX (s,t) mX (s)mX (t)
RX (s,t)
a2 cos(t s),
《随机过程》课件
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
4
● 随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
● 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
于
均
值
所以 a(t
，) 的方偏差离等程于x度2均f。1方(
x值,
t与)d均x值平[a方(t之)]差2
，
它
表
示
随
机
过
程
在
时
刻
t
对
均方值
均值平方
8
● 相关函数
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。
13
● 2.2 各态历经性 ● 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随 机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本， 这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本 函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ● 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用 的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过 程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间 平均值来代替。 ● 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
《随机过程及其应用(第三版)》课件SJGC5-1
6
3. 严平稳过程的数字特征
(1)均值函数 m X ( t ) = E [ X ( t )]
=∫
2
+∞
−∞
xf ( x, t )dx = ∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = 常数= mX
均方值函数
2 (t) = E[X 2 (t)]= ψX
∫
+∞
−∞
x f (x, t)dx =
+∞ −∞ 2
2
∫
+∞
一 二 三
平稳过程 宽平稳过程 联合平稳过程
1
一
平稳过程
为一随机过程 若对任
1. 严平稳过程定义
定义1.1 设{X (t) ,t 意整数n 任意的
t1 , t 2 , L , t n ∈ T ,
即
t1 + ε, t2 + ε ,L, tn + ε ∈T
其n维分布函数相等
F , xn,t1,t2,L ,tn) = F(x1, x2,L , xn,t1 +ε,t2 +ε,L ,tn +ε) n(x 1, x2,L
[
]
[
] [
]
14
2 ) R X ( −τ ) = R X (τ )
பைடு நூலகம்
因为R X (τ ) = E X (t ) X (t + τ ) = E X (t )X (t + τ )
= E X (t + τ ) X (t ) = E ( X ( s ) X ( s − τ )] = R X ( −τ )
[
CX (t1 , t2 ) = Cov( X (t), X (t2 )) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t 2 ) = RX (t2 − t1 ) − mX mX = CX (t2 − t1 )
3. 严平稳过程的数字特征
(1)均值函数 m X ( t ) = E [ X ( t )]
=∫
2
+∞
−∞
xf ( x, t )dx = ∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = 常数= mX
均方值函数
2 (t) = E[X 2 (t)]= ψX
∫
+∞
−∞
x f (x, t)dx =
+∞ −∞ 2
2
∫
+∞
一 二 三
平稳过程 宽平稳过程 联合平稳过程
1
一
平稳过程
为一随机过程 若对任
1. 严平稳过程定义
定义1.1 设{X (t) ,t 意整数n 任意的
t1 , t 2 , L , t n ∈ T ,
即
t1 + ε, t2 + ε ,L, tn + ε ∈T
其n维分布函数相等
F , xn,t1,t2,L ,tn) = F(x1, x2,L , xn,t1 +ε,t2 +ε,L ,tn +ε) n(x 1, x2,L
[
]
[
] [
]
14
2 ) R X ( −τ ) = R X (τ )
பைடு நூலகம்
因为R X (τ ) = E X (t ) X (t + τ ) = E X (t )X (t + τ )
= E X (t + τ ) X (t ) = E ( X ( s ) X ( s − τ )] = R X ( −τ )
[
CX (t1 , t2 ) = Cov( X (t), X (t2 )) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t 2 ) = RX (t2 − t1 ) − mX mX = CX (t2 − t1 )
《应用随机过程》课件
随机过程作为一种强大的数学工具，能够应用于各个领域，为解决实际问题 提供了有力支持。
希望本课程能够为您的学习和职业发展带来启发和帮助！谢谢大家！
随机过程在传输信号、网络拥塞控制和信道建 模等方面具有广泛应用。
随机过程的模拟和分析
模拟
利用数值方法和计算机模拟生成随机过程的样本路径，用于验证和测试理论模型。
分析
通过概率论和统计学方法分析随机过程的特性和统计规律，为实际问题提供解决方案。
总结
通过本课程的学习，我们深入了解了随机过程的基本概念、分类、特性、应 用以及模拟和分析方法。
马尔可夫性
随机过程的未来值只与当前值相关， 与过去值无关，便于建模和计算。
随机过程的应用
金融领域
随机过程在股票市场预测和衍生品定价等方面 发挥重要作用。
数据分析
随机过程的工具和方法用于分析和建模时间序 列数据，揭示隐藏的统计规律。
排队系统
随机过程可用于优化排队系统的性能，提高服 务质量和效率。
通信网络
连续时间
随机变量在连续的 时间区间内变化， 例如布朗运动和泊 松过程。
时齐
随机过程的统计特 性在时间上是不变 的，例如平稳随机 过程。
非时齐
随机过程的统计特 性随时间变化，例 如非平稳随机过程。
随机过程的特性
1
平稳性
2
随机过程的统计特性在时间上保持不
变，具有一定的预测性。
3
随机性
随机过程的未来值是随机的，无法精 确预测。
《应用随机过程》PPT课件
课程介绍 什么是随机过程 随机过程的分类 随机过程的特性 随机过程的应用 随机过程的模拟和分析 总结
课程介绍
欢迎大家来到《应用随机过程》课程！本课程将带领您深入了解随机过程的 理论和应用，为您打开了一扇探索机会与挑战的大门。
希望本课程能够为您的学习和职业发展带来启发和帮助！谢谢大家！
随机过程在传输信号、网络拥塞控制和信道建 模等方面具有广泛应用。
随机过程的模拟和分析
模拟
利用数值方法和计算机模拟生成随机过程的样本路径，用于验证和测试理论模型。
分析
通过概率论和统计学方法分析随机过程的特性和统计规律，为实际问题提供解决方案。
总结
通过本课程的学习，我们深入了解了随机过程的基本概念、分类、特性、应 用以及模拟和分析方法。
马尔可夫性
随机过程的未来值只与当前值相关， 与过去值无关，便于建模和计算。
随机过程的应用
金融领域
随机过程在股票市场预测和衍生品定价等方面 发挥重要作用。
数据分析
随机过程的工具和方法用于分析和建模时间序 列数据，揭示隐藏的统计规律。
排队系统
随机过程可用于优化排队系统的性能，提高服 务质量和效率。
通信网络
连续时间
随机变量在连续的 时间区间内变化， 例如布朗运动和泊 松过程。
时齐
随机过程的统计特 性在时间上是不变 的，例如平稳随机 过程。
非时齐
随机过程的统计特 性随时间变化，例 如非平稳随机过程。
随机过程的特性
1
平稳性
2
随机过程的统计特性在时间上保持不
变，具有一定的预测性。
3
随机性
随机过程的未来值是随机的，无法精 确预测。
《应用随机过程》PPT课件
课程介绍 什么是随机过程 随机过程的分类 随机过程的特性 随机过程的应用 随机过程的模拟和分析 总结
课程介绍
欢迎大家来到《应用随机过程》课程！本课程将带领您深入了解随机过程的 理论和应用，为您打开了一扇探索机会与挑战的大门。
《随机过程》课件
马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
《随机过程及其应用》课件
随机过程及其应用
本课程将介绍随机过程的定义、基本概念、分类及应用领域；常见的随机过 程模型，包括马尔可夫链、泊松过程、随机游走以及布朗运动；随机过程的 分析方法，如平稳性、概率密度函数、自相关函数、谱表示和功率谱密度； 随机过程在工程和科学中的具体应用，如通信系统中的调制与解调，金融等。
定义与基本概念
泊松过程
定义
单位时间或单位区间内发生某些 事件的次数是一个随机变量，其 符合泊松分布
应用
模拟等待队列，生产过程中的故 障数目，电话交换机的接听情况 等
举例
喜剧演员的笑声、体育场观众掌 声等
随机游走
1
定义
在时刻t，位移Δx与时间间隔Δt有关，但方向与时间无关
2
应用
金融领域中预测趋势、股票价格演化、计算机网络中的流量控制等
历史沿革
由英国植物学家Robert Brown首次观察到花粉颗 粒、孢子在水中的Brown运动而得名
2 离散 vs 连续
离散随机过程在有限个时间点处取值，连续 随机过程可在任何时间点取值
3 平稳 vs 非平稳
4 高斯 vs 非高斯
平稳的随机过程的概率特性不会随时间而改变
高斯随机过程的每个线性形式都服从高斯分布
应用领域
1
通信系统
随机过程是调制和解调技术的基础；脉冲调制系统、正交调制系统等均需要应用 随机过程
什么是随机过程？
随机变量在时间轴上的演化过程
随机变量 vs 随机过程
随机过程 vs 随机场
随机变量是单个事件的概率分布， 随机过程是一组相关事件概率分 布
随机场是多维随机变量，随机过 程是一维或多维随机变量的集合
分类与特性
1 时域 vs 频域
本课程将介绍随机过程的定义、基本概念、分类及应用领域；常见的随机过 程模型，包括马尔可夫链、泊松过程、随机游走以及布朗运动；随机过程的 分析方法，如平稳性、概率密度函数、自相关函数、谱表示和功率谱密度； 随机过程在工程和科学中的具体应用，如通信系统中的调制与解调，金融等。
定义与基本概念
泊松过程
定义
单位时间或单位区间内发生某些 事件的次数是一个随机变量，其 符合泊松分布
应用
模拟等待队列，生产过程中的故 障数目，电话交换机的接听情况 等
举例
喜剧演员的笑声、体育场观众掌 声等
随机游走
1
定义
在时刻t，位移Δx与时间间隔Δt有关，但方向与时间无关
2
应用
金融领域中预测趋势、股票价格演化、计算机网络中的流量控制等
历史沿革
由英国植物学家Robert Brown首次观察到花粉颗 粒、孢子在水中的Brown运动而得名
2 离散 vs 连续
离散随机过程在有限个时间点处取值，连续 随机过程可在任何时间点取值
3 平稳 vs 非平稳
4 高斯 vs 非高斯
平稳的随机过程的概率特性不会随时间而改变
高斯随机过程的每个线性形式都服从高斯分布
应用领域
1
通信系统
随机过程是调制和解调技术的基础；脉冲调制系统、正交调制系统等均需要应用 随机过程
什么是随机过程？
随机变量在时间轴上的演化过程
随机变量 vs 随机过程
随机过程 vs 随机场
随机变量是单个事件的概率分布， 随机过程是一组相关事件概率分 布
随机场是多维随机变量，随机过 程是一维或多维随机变量的集合
分类与特性
1 时域 vs 频域
4 刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件
4 平稳随机过程
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1
均值各态历经的充要条件
[定理] 设 { X (t), < t < } 是均方连续的平稳过程，
则它的均值具有各态历经性的充要条件为
T 12 2 lim 1 [ R ( ) m d 0 X X] 2 T T 2 T 2 T
R ( ) R ( ) X X
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1
均值各态历经的充要条件
[定理] 设 { X (t), < t < } 是均方连续的平稳过程，
则它的均值具有各态历经性的充要条件为
T 12 2 lim 1 [ R ( ) m d 0 X X] 2 T T 2 T 2 T
R ( ) R ( ) X X
《随机过程——计算与应用》课件随机过程引论课件3
4
2
解：
t 3 时， 4
Xt
V
cos 3 4
2V 2
由于函数 x 2 V 的反函数为 2
V h( x ) 2x, 其导数为 h( x ) 2,
3
利用随机变量的函数的概率密度计算公式，得
f
3 4
(
x)
fV
(h(x)) 0
h(
x)
0 h(x) 1 其它
2
0
0 2x 1 其它
则利用特征函数性质： (k) (0) jk EXk
得 EX (0)
j
EX
2
(0)
j2
2
DX EX 2 (EX )2
补例4. 设X1 , X 2 ,
,
X
相互独立，且
n
Xk服从正态分布：N（k，k2）,k =1,2, ,n
n
用特征函数求随机变量Y= Xk的概率分布
k=1
解：由题意Xk
练习题
1.利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程
Xt
cost ,出现正面
2t ,
出现反面
0 t
出现正面与反面的概率相等.
2.利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程
Xt
cost ,出现正面
2t ,
出现反面
0 t
⑴ 求Xt的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x).
⑵ 求Xt的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
为随机过程X的有限维特征函数族.
关于随机变量的特征函数的回顾 定义 设随机变量X的分布函数F(x),则称
(u) E[e juX ]
u
为随机变量X的特征函数.
特征函数的几点说明 (1) 特征函数总是存在的.
5a 刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件
( t t ) 1 2
输出与输入的互相关函数
R ( t ,t )E [ Y ( t )X ( t ) ]E X ( t u ) h ( u )X ( t ) d u YX 1 2 1 2 1 2
[X ( t u )X ( t ) ] h ( u ) d u 1 2 E
1 2 X 1 2
当输入过程 X (t) 为自相关平稳时，
R ( ) ( u v ) h ( u ) h ( v ) d u d v Y X R
R ( ) h ( ) h ( ) , X
5
平稳过程通过线性系统的分析
线性时不变系统
系统：
y ( t ) L [ x ( t )]
线性系统：
L [ a x ( t ) a x ( t )] a L [ x ( t )] a L [ x ( t )] 1 1 2 2 1 1 2 2 a y ( t ) a y ( t ) 1 1 2 2
2
因为 R ( ) R ( )h ( )h ( ) Y X 故s ) sX( )H ( )H ( ) Y( 2 H ( ) s ( ) X
[例2] 如图RC电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关
h ( t ) 0 ,当 t 0
h (t)d t
随机过程通过线性系统的输出
设线性系统的单位脉冲响应为 h (t) ，当输入一个随机 过程 X (t) 时，其输出随机过程 Y (t) 为
Y ( t ) X ( t ) h ( t ) ( t ) h ( ) d X
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S
相关概念
随机过程的概念
概念解释 随机过程概念的解释
随机过程例题
几种重要的随机过程
1.正态过程（高斯过程） 2.独立过程 3.独立增量过程 4.维纳过程 5.泊松过程 6.马尔科夫过程
参考文献
[1] 李ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平，基础概率论（第三版）[M].北 京：高等教育出版社.2005.
[2] 沈京一,应用数学基础—概率论与数理统 计[M].北京：高等教育出版社.2006.
随机过程及其应用毕业论文答辩ppt
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背景
概率论和随机过程有悠久的历史，它 的起源与博弈问题有关。随机过程论与 其他数学分支如位势论、微分方程、力 学及复变函数论等有密切的联系 。
意义
随机过程是现代公理化概率论的重要分 支。 随机过程的研究对象为随时间变化的 随机现象，即随时间不断变化的随机变量 ，通常被视为概率论的动态部分。
[3] 戴朝寿,数理统计简明教程[M].北京：高 等教育出版社.2009.
[4] 陆大金,随机过程及其应用[M].清华大学 出版社.北京：2006.
[5] 张德平，叶尔骅，概率论与随机变量 [M].科学出版社.北京：2005.
致谢
大学本科的学习生活即将结束。在此 ，我要感谢所有曾经教导过我的老师和关 心过我的同学，他们在我成长过程中给予 了我很大的帮助。本文能够顺利完成，要 特别感谢我的指导老师代金华老师，感谢 各位老师的关心和帮助。