信号处理习题

《信号处理》习题
第一章 Z －Transform and Digital Filter
1．已知)()2
1
()(n u n x n -=，求其z 变换反收敛域
2．已知21 ,8
1431211)(2
11
>++-=---z z z z z X ，请用部分分式法或留数法求其反变换x (n )。

3．已知∑∞
-∞
=-=
=m m n y m x n y n x n w )()()(*)()(，式中，x (n )、y (n )和w (n )的Z 变换分别以
X (z )、Y (z )和W (z )表示。

求证：W (z )=X (z ).Y (z )。

4．已知数字信号 , , 1 , 0
, )(a b n a n b n x n n <⎩⎨⎧-≤-≥=求其z 变换X (z )和收敛域。

5．已知一线性非移变离散稳定系统的差分方程为：
)2(8
1
)1(43)1(31)()(---+-+
=n y n y n x n x n y 试求：
1） 传递函数H (z )的表达式； 2） 画出该系统的信号流图；
3） 画出该系统的脉冲响应h (n )，试问该系统若作为数字滤波器，是IIR 还是
FIR 滤波器？
第二章 Hilbert Transform
1．在2.1节我们已经看到，单位圆外部的z 变换完全由其在单位圆上的虚部值和h(0)值确定。

(a) 试由)()0()()()(0n h n u n h n h δ+=+，导出⎰+-+=
c l h dv v v z v z v H z H )0()()
)((21)(π，|z |>1。

(b) 当
1
)0( cos 21sin )(2
=-+-=h e H jw l ωααω
α时，试利用(a)的导出求H (z )。

2．利用)]([jw e e H R 推导H (z )在单位圆之上的积分表示式，条件是h (n )为一个稳定的实序列，n >0时，h (n )=0。

3．研究一个z 变换为的非最小相位因果信号x (n )。

X (z )的零点是Z k ，k =1, 2, …, M , 并且|Z 1|<|Z 2|< … <|Z M |。

我们建议把序列x (n )予以指数加权，求得一个最小相位的新序列
y (n )，即
)()(n x n y n α=
试问α应该如何选择才能使y (n )是最小相位的？ 4．试证明下面两种说法的正确性：
(a) 两个最小相位序列之卷积仍是最小相位序列。

(b) 两个最小相位序列之和未必是最小相位序列。

（举一例来说明最小相位序列和非
最小相位序列都可由两个最小相位序列之和组成。

）
5．令h min (n )表示z 变换为H min (z )的最小相位序列。

如果h (n )是一个非最小相位的因果序列，其傅立叶变换的幅度等于| H min (e jw )|，试证明： |)0(||)0(|min h h < （提示：利用初值定理）
6．序列x (n )的偶部定义为：2
)
()()(n x n x n x e -+=
，假设x (n )是一个有限时宽实序列，定义为n <0和n ≧N 时，x (n )=0。

令x (k )表示x (n )的N 点离散傅立叶变换。

（提示：
)]1(,0()(),1,0()(--∈--∈N n x N n x ），则x e (n )的长度为2N -1）
(a) x e (n )的离散傅立叶变换是否等于R e [X (k )]？ (b) 试求出以x (n )表示的R e [X (k )]的离散傅立叶反变换。

7．研究一个复序列)(ˆ)()( ),(n x
j n x n z n z +=，其中x (n )和)(ˆn x 是实序列。

序列z (n )的z 变换Z (z )在单位圆的下半部分为零。

即πωπ2≤≤时，Z (e jw )=0。

z (n )的实部为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧±=-==其它 , 02 , 4
1
0 , 21
)(n n n x
试求Z (e jw )的实部和虚部。

第三章 Discrete Random Signals
1．令x (n )和y (n )是不相关的随机信号，试证：若
)()()(n y n x n w +=
则 y x w m m m +=
和
2
22y
x w σσσ+= 2．研究一个随机过程，它的取样序列x (n )的形式为
)cos()(0θ+=n w n x
式中θ是一个均匀分布的随机变量，其概率密度函数如图3.1所示。

试计算它的均值和自相关序列),(n m xx φ。

这个随机过程是否为广义平稳过程？
图3.1
3．一个如图3.2所示的单位冲激响应为
⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0
, 00 , )2/(sin 2)(2n n n n n h ππ 的理想希尔伯特变换器，受到时域离散随机信号x r (n )的激励。

图3.2
(a) 求自相关序列)(m i i x x φ的表示式。

(b) 求互相关序列)(m i r x x φ的表示式。

证明这时)()(m m i r i r x x x x --=φφ。

(c) 求如下复解析信号的自相关序列：)()()(n jx n x n x i r +=。

(d) 求上述复解析信号的功率谱。

4．令x (n )是白色随机序列，其均值为零、方差为2
x σ。

设有一个级联系统，由两个线性
时域离散系统按图3.3的形式构成， x (n )是它的输入。

(a) ∑∞
==0
21
22)(k x
y
k h
σσ是否正确？
(b) ∑∞
==0
22
22
)(k y
w k h
σ
σ是否正确？
(c) 令)()(1n u a n h n =和)()(2n u b n h n =。

试确定图3.3的整个系统的单位取样响应，并
由此求出2
w σ。

如果你认为(b)是正确的，那么它与(c)的答案是否一致？
图3.3
θ
)(0θP
第四章 Homomorphic Signal Processing
1．如下表的每一个系统变换都是同态的，各输入运算业已指明。

请确定各输出运算。

2．试确定下列哪几个系统不能构成以乘法为输入、输出运算的同态系统：
(a) y (n )=3 x (n )。

(b) y (n )= x 2(n )。

(c) y (n )= x (n )/ x (n -1)。

3．研究一类以卷积为输入和输出的同态系统。

试证明若输入x (n )=)(n δ，则输出y (n )=)(n δ。

4．x 1(n )和x 2(n )表示两个序列，)(ˆ1n x 和)(ˆ2n x 表示它们的复倒谱。

若)()(*)(21n n x n x δ=，试确定)(ˆ1n x
和)(ˆ2n x 之间的关系 5．设x (n )表示一个最大相位序列，)(ˆ1n x
表示它的复倒谱。

证明)]0(log[)0(ˆx x =。

6．当x (n )为最小相位型时，下式表示了x (n )和)(ˆn x
之间的递推关系，请利用该递推式计算序列)()(n u a n x n =的复倒谱。

递推式为：⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>--=<=∑-=100 , )0()
()(ˆ)0()(0 , )]0(lg[0 , 0)(ˆn k n x k n x k x n
k x n x n x n n x
第五章 Power Spectrum Estimation 上机
（一）设输入音频信号)2cos()(ft t X a π=，取f =1KHz ，f s =20KHz ，N =128，W (n )为三角
窗序列。

用计算机求出功率谱估值)(ˆk P xx 及不分段的)(k B w xx ，打印出曲线图、列出程序（注明所用语言）。

测量流程图为：
注：K1断开，K2合上得)(k B w xx ；K1合上，K2断开得)(ˆk P xx
用计算机求)(ˆk P
及)(k B w 时的编程流程图如下（供参考）。

（二） 如有兴趣，对上题求分段的)(k B w
xx 。

用2:1覆盖分段，设各段的长度M =32。

请
画出测量流程图、计算机流程图，打印出)(k B w xx 曲线图。

第六章：案例分析
请完成案例分析：就你所从事的专业方向，举出信号处理技术的应用实例。

要求：（1）给出案例题目；（2）原理分析（500字以上）；（3）给出实现框图和实验结果（附程序代码）。