平面向量的线性运算公开课

的三角形法则.对于下列两个向量 a与b ，如何用三角形
法则求其和向量？
a a＋b b
b
a
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方 向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相
同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2
之间的关系如何？ 图1 M EO 图2 E O
思考3：若向量 a与b 同向，则向量 a＋b 的方向如何？若向
量 a与b 反向，则向量 a＋b 的方向如何？
a＋b与a和b 同向
a＋b 的方向与长度大的向量同向
思考4：考察下列各图， | a＋b | 与 | a |＋| b | 的大小关系如何？
| a＋b | 与 | a | －| b | 的大小关系如何？
a
B
b
C
a＋b
O
b a
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和 向量，其作图特点分别如何？ 三角形法则：首尾相接连端点；
平行四边形法则：起点相同连对角.
b， 例1.已知向量, a、 求作向量 a b.
作法1：在平面内取一点O，作OA a, AB b.则OB a b. 作法2：在平面内取一点O，作 OA a,OB 以 OA b. 、
C
a＋b b a
a b b
a
A B
a＋b a＋b
| a＋b || a | ＋| b | ， 当且仅当 a与b 同向时取等号； | a＋b ||| a | －| b || ， 当且仅当 a与b 反向时取等号.
思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意 a， b ∈R， 都有 a＋b b＋a. 那么向量的加法也满足交换律吗？如何检 验？
AB BC AC
C
A
B
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
思考4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向 量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫 做向量的加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加法
E
g
e
(1)a b (2)c d
的合成可以看作向量的加法.
向量加法的几何运算法则 思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
B
C
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
D
C
A
B
解：（1）如图所示, AD 表示船速,
（2）在RtABC中， AB 2, BC 5. 所以 AC
表示水速，以 AD、AB AB
为邻边做平行四边形ABCD，则 AC 表示船实际航行的速度.
AB BC 22 52 29 5.4
2
2
5 因为 tan CAB , 2 由计算器得CAB 68 .
F1
C
F1 F2 F F1 F2
F
F2
M
F
思考6：人在河中游泳，人的游速为 那么人在水中的实际速度 OC 与 何？
OA 水流速为 OB ，
OA 、OB 之间的关系如
B
O
A
C
思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平 行四边形法则.对于下列两个向量 a与b ，如何用平行四
边形法则求其和向量？
答:船实际行驶速度的大小为5.4km/h,方向与水流速度 间的夹角约为68°.
１.化简
(1) AB CD BC ________ AD
MN (2) MA BN AC CB ________

0 (3) AB BD CA DC ________




2.根据图示填空
O
a
a＋b b
B
A
例2
长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运
输.如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速
度向垂直对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）; （2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到度）.
其中正确的是
１.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平
行四边形法则作两个向量的和向量； ２.掌握向量的加法的交换律和结合律，并会用它们进行向 量计算； ３.通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，
增强学生的识图能力，为今后培养用数形结合的方法解题
奠定基础．
上海
台北
香港
b
上海
c
OB为邻边做平行四边形OACB,连接OC,则 OC OA OB
ab
b a O A
O
A
B
B
C
向量加法的代数运算性质
思考1：零向量 0 与任一向量 a 可以相加吗？ 规定：a＋0 0＋a a，
思考2：若向量 a与b 为相反向量，则 a＋b 等于什么？反之
成立吗？
a与b 为相反向量
ab0
B
b
a a＋b
C
ｂ
A
O
a
a＋b OA AC OC b ＋a OB BC OC
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b， c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也 满足结合律吗？如何检验？
abc
C
c
（a＋b）＋c (OA AB) BC OB BC OC a＋（b ＋c） OA (AB BC) OA AC OC
2.2.1
向量加法运算及其几何意义
回忆巩固
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是
什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是 如何反映的？什么叫零向量和单位向量？
小测验
(1) 若a b， b c， 则a c. (2) 若 a b ， 则a b. (3) 若a // b， b // c， 则a // c. (4) 单位向量都相等 .
台北
a
香港
由于大陆和台湾没有直航，因此王先生 春节回老家探亲，乘飞机要先从台北到香港， 再从香港到上海，则飞机的位移是多少?
C
1.位移
AB
BC
AC A
a
2.力的合成
B F1
F1 F2 F
a
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看，AC 可以认为 是 AB与BC的和，F可以认为是 F1与F2 的和，即位移、力