Z变换详细讲解
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n
1 1 X ( z) z n 3
1 收敛半径 z R x2 3 n 1 0 z 0
1
3
圆内为收敛域， 若 n0 则不包括z=0点
例：
1 (3) x(n) [u (n) u (n 8)] 3
（ 1）右边序列：只在n n1 区间内，有非零的有限值的序列
x ( n)
X ( z ) x ( n) z n
n n1
n1 n
lim
n
n n
x ( n) z
n
1
Rx1
圆外为 收敛域
j Im[ z ]
lim n x(n) Rx1 z z Rx1
极点为： z 1 z 1 . 5 z 2i
圆z 2
例：
1 (2) x(n) u (n 1) 3
1 n n m
n
左边序列
m
1 1 z m 1 3 1 z m j Im[ z ] 1 (3z ) 1 1 1 1 3 z m 0 z Rx2 3 n Re[ z ] n lim (3z ) 1
8 n
n
有限长序列
8 1 1 8 1 8 ( z ) 1 z ( 1 1 3 3) X ( z) z 1 7 1 1 3 1 z z ( z n 0 3 3)
z ( ) e
8 1 8 3
j 2 k
收敛域为除了 0 和
的整个
n
y (0) 1
而 y (0) 而 y (0) 1 1 c1 1 1 y z .s.r (n) (1 n)u (n) 完全响应：y(n)=1+(n+1)u(n) z.ir z.sr
本章要点(1) • Z变换的基本概念和基本性质 • 利用Z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频率响应 • 数字滤波器初步
*序列形式与双边Z变换的收敛域的关系 (p52.表 8－ 1） § 8.4-逆Z变换 一 .逆 Z变换 1.围线积分法(留数法）(p55-p56) 2.幂级数展开法(长除法）(p56-p58) 3.部分分式展开法(p58-60) 4.(p60-p61)三个逆Z变换表
（1）留数法
(从Z变换的定义表达式导出逆Z变换）
x ( n)
区间内，
有非零的有限值的序列
X ( z)
X ( z)
n 1
n x ( n ) z
n
n
n
x ( n) z
x ( n) z n
n 0
j Im[ z ]
圆内收敛
Rx2 Rx1
圆外收敛 有环状收敛域 没有收敛域
Rx2 Rx1 Rx2 Rx1
r m
(r ) z
(r m)
z
m
( p 63 : 位移性）
(m 0 z 0, ) (m 0, z 0)
(3) ZT [ (n 1)] z1 0 z (0 z )
n
n n ( n 1 ) z ( n 1 ) z n 0
n
§ 8.2.Z变换定义，典型序列的Z变换
*. 典型序列的Z变换(p375附录5）
• • • • • 单位样值序列 单位阶跃序列 斜变序列 指数序列 正弦余弦序列
(1) ZT [ (n)] (n) z
n 0
n 0
n
1 ( z 0)
n
(2) ZT [ ( n m)] ( n m) z
ZT [ cos 0 n] ZT [ (e
n n
j 0 n
e
j 0 n
) / 2]
z z ( )/2 j 0 j 0 z e z e z ( z cos 0 ) 2 2 z 2 z cos 0 ( z )
§ 8.3 Z变换的收敛域(p49) 一 .Z变换的收敛域 1.根据级数理论
. y(n) y(n 1) u(n) y (0) 1
解：＝；齐次解 1 yz.i.r (n) c 1
求z.i.r和z.s.r.
n
求z.s.r y (0) y (0) 1 y (0) u(0) y (1) 1 求特解：y (n) an n z.s.r y z .s.r (n) [c1 (1 n)]u (n)
1 F ( z )的绝对收敛域为2 z 3
Imz
1 3
2
Rez
1 F ( z )的绝对收敛域为2 z 的园环。 3
* 判断下列双边序列的收敛域 f (k )
1 k 0
1 2
k
k 0
解：由分析可知： 对于Z的正幂级数，绝对收敛条件为 1 Z 2 对于Z的负幂级数，绝对收敛条件为 Z 1, 两个条件是互相矛盾的。
交换积分与求和次序：
xs ( s ) x(nT )e
n 0
snT
x ( z ) x ( n) z
n 0
令：T 1
1 ; 令z e 或s ln z T
sT
n
ze
sT
ze
s
定义：一个离散时间序列 x(n)的Z变换为Z 1的一个幂 级数（洛朗级数的特例)，Z 一般为复变数，每一项的系 数为x(n)相应的值数值。 （x(n)的生成函数 z ）
1 z ZT[a u (n)] a z 1 1 az za n 0
n n n
( z a)
z 由此可以看出Z 变换的基本形式： z-zm
正弦序列的 Z 变换:
z ZT [e ] j 0 z e z j 0 n ZT [e ] j0 z e j 0 n j 0 n ZT [sin 0 n] ZT [(e e ) / 2 j]
圆内为收敛域， 若 n2 0 则不包括z=0点
n n2
j Im[ z ]
lim
n
n n
x ( n) z 1
n 1
Rx2
Re[ z ]
lim n x(n) z z 1 lim n x(n)
n
Rx 2
收敛半径
（ 1）双边序列：只在
n
本章要点(2) •求序列的Z变换－利用Z变换的定义，借助Z变换 的性质，或采用幂级数展开法
•逆 Z变换的确定－围线积分法（留数法）
部分分式法，幂级数展开法（长除法）。注意在 不同形式收敛域下逆变换的求法。 •掌握Z变换的主要性质，特别是位移性和卷积定 理
•由连续信号的拉氏变换求离散（抽样） 信号的Z变换；S平面与Z平面的映象关 系 •离散系统的系统函数，单位样值(冲激) 响应及频率响应(意义，特点及求法) •离散系统的构成
n
几类序列的收敛域
（ 1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X ( z ) x ( n) z n
n n1
n2
n1 n n2
n1 0时，z 和n2 0时z 0外，所有z值都收敛
收敛域为除了0和
z 的整个 j Im[ z ]
平面
Re[ z ]
1
ZT [u (n)] u (n) z
n 0
n
z
n 0
n
1 z ( z 1) 1 1 z z 1
-1
将上式两边分别对z 求导后，两边各乘z 得
ZT [nu (n)] nu (n) z
n 0 n
1
1 z 1 2 2 (1 z ) ( z 1)
z e
1 3
j 2K 8
z
平面 j Im[ z ]
8个零点
7阶极点 一阶极点
Re[ z ]
z0 z
1 3
*.双边序列：
解：F ( z )
1 3
1 k ( ) f (k ) 3
k 0
2
k
k 0
k
f (k ) z
1 2
k
[... (2 z ) (2 z ) ...] 1 1 1 1 2 1 1 3 [1 z ( z ) ( z ) ...] 3 3 3
j 0 n
z z ( )/2 j 0 j 0 z e z e z ( z cos 0 ) 2 z 2 z cos 0 1
例
z ZT [ e ] z e j 0 z n j 0 n ZT [ e ] z e j 0
n j 0 n
例：
1 (1) x(n) u (n) 3
n
n
右边序列
1 z 1 1 X ( z) z 1 1 z 1 z 1 n 0 3 3 3
j Im[ z ]
1 Rx1 3
1 Rx1 3
1 z 3
1
Re[ z ]
3
z 2 2z 1 * .考察一个序列X ( z ) 的收敛域。 2 ( z 1)( z 1.5)( z 4)
收敛半径
Re[ z ]
（ 1）左边序列：只在n n2 区间内，有非零的有限值的序列
x ( n)
X ( z)
n
n x ( n ) z
n2
n n2
nm n x ( n ) z
X ( z)
m n
m n2
m x ( m ) z
Re[ z ]
.求下列序列的Z变换, 并标明收敛域，画出零极图。 1 n 1.x(n) ( ) u (n) 3 1 n 2.x(n) ( ) u (n 1) 3 1 n 3.x(n) ( ) [u (n)u (n 8)] 3 4.x(n) ( 1 ) n n0 3 n 2 no
n
an1 an
1, 级数收敛。 1, 级数发散。 1, 不能肯定。
如果序列x(n)在每个有限的间隔内是有限的 且当n 时是指数阶的，则它的Z变换存在 于 z R之范围，这里R是收敛半径。
指数阶函数和指数阶序列之间存在着对应关系，
定义：如有一序列x(n)当n 时存在正数A, a和N 使所有的n N时都有 x(n) Aa 称x(n)为指数阶函数。
第一项仅含有Z的正幂无穷级数 lim (2 z ) 1, 条件是 z 2
k k k 1
1或 z 2
z lim 2 2
k k k
第二项仅含有Z的负幂的无穷级数
k 1 1 1 k lim k ( z ) 1或 z lim k k k 3 3 3 k
§ 8.1引言 *借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换
抽样信号的拉氏变换： xs (t ) x(t ). T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
对上式取拉氏变换：
st 0
xs (t ) xs (t )e dt
0
st x(nT ) (t nT )e dt n 0
j 0 n
z z ( )/2 j j 0 j 0 z e z e z sin 0 2 z 2 z cos 0 1
余弦序列的 Z 变换:
z ZT [e ] j 0 z e z j 0 n ZT [e ] j 0 z e j 0 n j 0 n ZT [cos 0 n] ZT [(e e ) / 2]
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
• 假设有一固定的围线C，它包围原点，沿 围线逆时针转一圈，两边乘以 z m1 ，然 后沿着围线积分，得到：
x ( n) z
n 0
n
2.借助于S平面与Z平面的映射
有限长序列
3.几类序列Z变换的收敛域 右边序列
左边序列
4.例子：
双序列
*比项法：设 lim
1, 级数收敛。 1, 级数发散。 1, 不能肯定。
* 捡根法(柯西准则) 设： a lim
n n n
1 1 X ( z) z n 3
1 收敛半径 z R x2 3 n 1 0 z 0
1
3
圆内为收敛域， 若 n0 则不包括z=0点
例：
1 (3) x(n) [u (n) u (n 8)] 3
（ 1）右边序列：只在n n1 区间内，有非零的有限值的序列
x ( n)
X ( z ) x ( n) z n
n n1
n1 n
lim
n
n n
x ( n) z
n
1
Rx1
圆外为 收敛域
j Im[ z ]
lim n x(n) Rx1 z z Rx1
极点为： z 1 z 1 . 5 z 2i
圆z 2
例：
1 (2) x(n) u (n 1) 3
1 n n m
n
左边序列
m
1 1 z m 1 3 1 z m j Im[ z ] 1 (3z ) 1 1 1 1 3 z m 0 z Rx2 3 n Re[ z ] n lim (3z ) 1
8 n
n
有限长序列
8 1 1 8 1 8 ( z ) 1 z ( 1 1 3 3) X ( z) z 1 7 1 1 3 1 z z ( z n 0 3 3)
z ( ) e
8 1 8 3
j 2 k
收敛域为除了 0 和
的整个
n
y (0) 1
而 y (0) 而 y (0) 1 1 c1 1 1 y z .s.r (n) (1 n)u (n) 完全响应：y(n)=1+(n+1)u(n) z.ir z.sr
本章要点(1) • Z变换的基本概念和基本性质 • 利用Z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频率响应 • 数字滤波器初步
*序列形式与双边Z变换的收敛域的关系 (p52.表 8－ 1） § 8.4-逆Z变换 一 .逆 Z变换 1.围线积分法(留数法）(p55-p56) 2.幂级数展开法(长除法）(p56-p58) 3.部分分式展开法(p58-60) 4.(p60-p61)三个逆Z变换表
（1）留数法
(从Z变换的定义表达式导出逆Z变换）
x ( n)
区间内，
有非零的有限值的序列
X ( z)
X ( z)
n 1
n x ( n ) z
n
n
n
x ( n) z
x ( n) z n
n 0
j Im[ z ]
圆内收敛
Rx2 Rx1
圆外收敛 有环状收敛域 没有收敛域
Rx2 Rx1 Rx2 Rx1
r m
(r ) z
(r m)
z
m
( p 63 : 位移性）
(m 0 z 0, ) (m 0, z 0)
(3) ZT [ (n 1)] z1 0 z (0 z )
n
n n ( n 1 ) z ( n 1 ) z n 0
n
§ 8.2.Z变换定义，典型序列的Z变换
*. 典型序列的Z变换(p375附录5）
• • • • • 单位样值序列 单位阶跃序列 斜变序列 指数序列 正弦余弦序列
(1) ZT [ (n)] (n) z
n 0
n 0
n
1 ( z 0)
n
(2) ZT [ ( n m)] ( n m) z
ZT [ cos 0 n] ZT [ (e
n n
j 0 n
e
j 0 n
) / 2]
z z ( )/2 j 0 j 0 z e z e z ( z cos 0 ) 2 2 z 2 z cos 0 ( z )
§ 8.3 Z变换的收敛域(p49) 一 .Z变换的收敛域 1.根据级数理论
. y(n) y(n 1) u(n) y (0) 1
解：＝；齐次解 1 yz.i.r (n) c 1
求z.i.r和z.s.r.
n
求z.s.r y (0) y (0) 1 y (0) u(0) y (1) 1 求特解：y (n) an n z.s.r y z .s.r (n) [c1 (1 n)]u (n)
1 F ( z )的绝对收敛域为2 z 3
Imz
1 3
2
Rez
1 F ( z )的绝对收敛域为2 z 的园环。 3
* 判断下列双边序列的收敛域 f (k )
1 k 0
1 2
k
k 0
解：由分析可知： 对于Z的正幂级数，绝对收敛条件为 1 Z 2 对于Z的负幂级数，绝对收敛条件为 Z 1, 两个条件是互相矛盾的。
交换积分与求和次序：
xs ( s ) x(nT )e
n 0
snT
x ( z ) x ( n) z
n 0
令：T 1
1 ; 令z e 或s ln z T
sT
n
ze
sT
ze
s
定义：一个离散时间序列 x(n)的Z变换为Z 1的一个幂 级数（洛朗级数的特例)，Z 一般为复变数，每一项的系 数为x(n)相应的值数值。 （x(n)的生成函数 z ）
1 z ZT[a u (n)] a z 1 1 az za n 0
n n n
( z a)
z 由此可以看出Z 变换的基本形式： z-zm
正弦序列的 Z 变换:
z ZT [e ] j 0 z e z j 0 n ZT [e ] j0 z e j 0 n j 0 n ZT [sin 0 n] ZT [(e e ) / 2 j]
圆内为收敛域， 若 n2 0 则不包括z=0点
n n2
j Im[ z ]
lim
n
n n
x ( n) z 1
n 1
Rx2
Re[ z ]
lim n x(n) z z 1 lim n x(n)
n
Rx 2
收敛半径
（ 1）双边序列：只在
n
本章要点(2) •求序列的Z变换－利用Z变换的定义，借助Z变换 的性质，或采用幂级数展开法
•逆 Z变换的确定－围线积分法（留数法）
部分分式法，幂级数展开法（长除法）。注意在 不同形式收敛域下逆变换的求法。 •掌握Z变换的主要性质，特别是位移性和卷积定 理
•由连续信号的拉氏变换求离散（抽样） 信号的Z变换；S平面与Z平面的映象关 系 •离散系统的系统函数，单位样值(冲激) 响应及频率响应(意义，特点及求法) •离散系统的构成
n
几类序列的收敛域
（ 1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X ( z ) x ( n) z n
n n1
n2
n1 n n2
n1 0时，z 和n2 0时z 0外，所有z值都收敛
收敛域为除了0和
z 的整个 j Im[ z ]
平面
Re[ z ]
1
ZT [u (n)] u (n) z
n 0
n
z
n 0
n
1 z ( z 1) 1 1 z z 1
-1
将上式两边分别对z 求导后，两边各乘z 得
ZT [nu (n)] nu (n) z
n 0 n
1
1 z 1 2 2 (1 z ) ( z 1)
z e
1 3
j 2K 8
z
平面 j Im[ z ]
8个零点
7阶极点 一阶极点
Re[ z ]
z0 z
1 3
*.双边序列：
解：F ( z )
1 3
1 k ( ) f (k ) 3
k 0
2
k
k 0
k
f (k ) z
1 2
k
[... (2 z ) (2 z ) ...] 1 1 1 1 2 1 1 3 [1 z ( z ) ( z ) ...] 3 3 3
j 0 n
z z ( )/2 j 0 j 0 z e z e z ( z cos 0 ) 2 z 2 z cos 0 1
例
z ZT [ e ] z e j 0 z n j 0 n ZT [ e ] z e j 0
n j 0 n
例：
1 (1) x(n) u (n) 3
n
n
右边序列
1 z 1 1 X ( z) z 1 1 z 1 z 1 n 0 3 3 3
j Im[ z ]
1 Rx1 3
1 Rx1 3
1 z 3
1
Re[ z ]
3
z 2 2z 1 * .考察一个序列X ( z ) 的收敛域。 2 ( z 1)( z 1.5)( z 4)
收敛半径
Re[ z ]
（ 1）左边序列：只在n n2 区间内，有非零的有限值的序列
x ( n)
X ( z)
n
n x ( n ) z
n2
n n2
nm n x ( n ) z
X ( z)
m n
m n2
m x ( m ) z
Re[ z ]
.求下列序列的Z变换, 并标明收敛域，画出零极图。 1 n 1.x(n) ( ) u (n) 3 1 n 2.x(n) ( ) u (n 1) 3 1 n 3.x(n) ( ) [u (n)u (n 8)] 3 4.x(n) ( 1 ) n n0 3 n 2 no
n
an1 an
1, 级数收敛。 1, 级数发散。 1, 不能肯定。
如果序列x(n)在每个有限的间隔内是有限的 且当n 时是指数阶的，则它的Z变换存在 于 z R之范围，这里R是收敛半径。
指数阶函数和指数阶序列之间存在着对应关系，
定义：如有一序列x(n)当n 时存在正数A, a和N 使所有的n N时都有 x(n) Aa 称x(n)为指数阶函数。
第一项仅含有Z的正幂无穷级数 lim (2 z ) 1, 条件是 z 2
k k k 1
1或 z 2
z lim 2 2
k k k
第二项仅含有Z的负幂的无穷级数
k 1 1 1 k lim k ( z ) 1或 z lim k k k 3 3 3 k
§ 8.1引言 *借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换
抽样信号的拉氏变换： xs (t ) x(t ). T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
对上式取拉氏变换：
st 0
xs (t ) xs (t )e dt
0
st x(nT ) (t nT )e dt n 0
j 0 n
z z ( )/2 j j 0 j 0 z e z e z sin 0 2 z 2 z cos 0 1
余弦序列的 Z 变换:
z ZT [e ] j 0 z e z j 0 n ZT [e ] j 0 z e j 0 n j 0 n ZT [cos 0 n] ZT [(e e ) / 2]
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
• 假设有一固定的围线C，它包围原点，沿 围线逆时针转一圈，两边乘以 z m1 ，然 后沿着围线积分，得到：
x ( n) z
n 0
n
2.借助于S平面与Z平面的映射
有限长序列
3.几类序列Z变换的收敛域 右边序列
左边序列
4.例子：
双序列
*比项法：设 lim
1, 级数收敛。 1, 级数发散。 1, 不能肯定。
* 捡根法(柯西准则) 设： a lim
n n n