高三第一次模拟测试数学(理)试题

高三第一次模拟测试
数学（理）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合{}{}0,1,M x x x R
y y y R =≠∈≠∈,集合{0P x x =<或01x <<或}1,x x R >∈，则之
间的关系是 Ａ． M P Ø Ｂ．P M Ø Ｃ． P M = Ｄ．M P =∅
2．已知1ab =，函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是
3．数列{}n a 中，12i a =，*1(1i)(1i)()n n a a n N ++=-∈，则10a 的值为
A ．2
B ．-2
C ．2i
D ．1 024i
4．设,,αβγ是三个互不重合的平面，m ，n 是直线，给出下列命题 ①若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥； ②若//,m αββ⊂，则//m α；
③若ｍ，ｎ在γ内的射影互相垂直，则m n ⊥；④若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥． 其中正确命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5．设()cos sin f x x x =-，把()f x 的图象按向量a =（m ，0）（m>0）平移后，图象恰好为函数()y f x '=-的图象，则m 的值可以为 A ．
4π B ．34π C ．π D ．2
π
6．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2S =10，555=S ，则过点P （n a n ,）和Q （2,2++n a n ）（*N n ∈）的直线的一个方向向量的坐标可以是 A （2，4） B （34,31--
） C （1,2
1
--） D （1,1--） 7．设5n
x x -（）的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ,若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 A ．150- B ．150 C ．500- D ．500
8．设函数2()ln(1)f x x x x =+++， 则对于任意的实数a 和b ，0a b +>是()()0f a f b +>的 A ．必要不充分条件； B ．充分不必要条件；C ．充要条件； D ．既不充分也不必要条件． 9．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则 A ．3a >-
B ．3a <-
C ．13
a >-
D ．13
a <-
10．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程是 A ．22(2)(1)5x y -+-=
B ．22(4)(2)20x y -+-=
C ．22(2)(1)5x y +++=
D ．22(4)(2)20x y +++=
11如图，在棱长为4的正方体ABCD —A′B′C′D′中，E 、F 分别是AD ，A′D′的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与二面角A —A′D′—B′所围成的几何体的体积为 A ．
34π B ．32π C ．3π D ． 6
π
12．若()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，且(1)1f =，则(1)(2)(2009)f f f ++⋅⋅⋅+等于 A ．2009
2
1- B ．201021- C ．200922010- D ．201022011-
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合,则p 的值为 14．一对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0，0，2，8，北，京”六张卡片排成一行，若婴
儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”，则受到父母的夸奖，那么婴儿受到夸奖的概率为
15．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 作直线,与,l α都成0
45角的直线有 条.
16．不等式组0,
0,(1)4x y k y kx k
≥⎧⎪
≥>⎨⎪≤-+⎩
所表示的平面区域为D ，若D 的面积为S ，则1kS k -的最小值为 。

三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
向量()
2sin ,3m B =-，2
cos 2,2cos
12B n B ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且//m n 。

（I ）求角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

18．（本小题满分12分）已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4. （I ）求λ的值； （II ）求数列}{n a 的通项公式a n ； （III ）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较
2
n
T 与S n 的大小。

19．（本小题满分12分）一个正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数学，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数学分别为12x x 、，记2212(3)(3)x x ξ=-+-.
（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望.。

20．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面
ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知
11BA AC ⊥。

（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --的大小
21．（本小题满分12分）
已知函数32()()f x ax bx cx d a b c d R =+++∈、、、，且函数()f x 的图象关于原点对称，其图象在3x =处的切线方程为8180x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在区间[]m n ，，使得函数()g x 的定义域和值域均为[]m n ，，且其解析式为()f x 的解析式？若存在，求出这样的一个区间[]m n ，；若不存在，则说明理由；
22．（本小题满分14分）设双曲线2
2:12
x C y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。

（1）若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ，且121A P A Q ⋅=，求点T 的坐标；（2）求直线1A P 与2A Q 的交点M 的轨迹E 的方程；
（3）过点(1,0)F 作直线l 与（2）中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设FA FB λ=， 若[2,1]λ∈--，求||TA TB +（T 为（1）中的点）的取值范围。

参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案（理） B
B
A
B
D
B
B
C
B
A
C
Ｄ
二．填空题
13． 4 ； 14. (理) 1
180 （文）13
- ； 15. 2； 16. 32 三．解答题
17．解：(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B
2
－1)＝－3cos2B ……………………………2分
⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒ tan2B ＝－ 3 ……………………………………4分 ∵0＜2B ＜π,∴2B ＝2π3,∴B ＝π
3
………………………………………………6分
(2) ∵当B ＝π
3
时， b ＝2，由余弦定理得：
4＝a 2＋c 2－ac≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ………………………9分 ∵S △ABC ＝12 acsinB ＝3
4ac≤ 3 …………………………………………………11分
∴△ABC 的面积最大值为 3
………………………………………………………12分
18．解：（I ）由121+=+n n S S λ得 12412,121212223112++=+=+=+=+=λλλλλλS S a S S ， …………2分
.1,0,4,432233=∴>==-=∴λλλa S S a ……………………………………4分
（II ）由)1(211211+=++=++n n n n S S S S 整理得，
∴数列{1+n S }是以S 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，……………………6分
),
2(2
,12,2211
11≥=-=∴-=∴⋅=+∴---n S S a S S n n n n n n n n
当n=1时a 1=1满足.2,211--=∴=n n n n a a ………………………………………8分
（III ）,22)1(23222112
2
1
--⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ①
n n n n n n n T 22)1(2)2(22212122⋅+⋅-+⋅-++⋅+⋅=-- ，②
①－②得n n n n n T 222
22112
2
⋅-+++++=--- ，
则122+-⋅=n n n n T . ……………………………………………………10分
.2
32)3()12(212221+⋅-=--+-⋅=-∴-n n n n n n n n S T
∴当n =1时，
.02
1
2,2,02122211<-=-=<-=-S T n S T 时当 即当n =1或2时，
.2,02n n n n S T S T <<- 当n >2时，.2
,02n n n n S T
S T >>-……12分 19.解：（Ⅰ）掷出点数x 可能是：1，2，3，4.
则3x -分别得：-2，-1，0，1. 于是2(3)x -的所有取值分别为：0，1，4.
因此ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8. ………………………………………………2分 当11x =且21x =时，2212(3)(3)x x ξ=-+-可取得最大值8，
此时，111
(8)4416P ξ==⨯=； …………………………………………………… 4分
当13x =时且23x =时，2212(3)(3)x x ξ=-+-可取得最小值0.
此时111
(0)4416P ξ==⨯=. ……………………………………………………6分
（II ）由（1）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8.
1
(0)(8)16
P P ξξ====
； ……………………………………………………7分 当1ξ=时，12(,)x x 的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）.即4
(1)16P ξ==
； 当2ξ=时，12()x x ，的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）.即4
(2)16
P ξ==8分 当4ξ=时，12(,)x x 的所有取值为（1，3）、（3，1）即2
(4)16
P ξ==
； 当5ξ=时，12(,)x x 的所有取值为（1，2）、（2，1）、（1，4）、（4，1）. 即4
(5)16
P ξ==9分 所以ξ的分布列为：
ξ
0 1 2 4 5 8
P
1
16 14 14 18 14 116
即ξ的期望111111
012458316448416
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 …………………………10分
20．解：（I ）因为1A D ⊥平面ABC ，
所以平面11AAC C ⊥平面
ABC ，……………1分 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C ， 得1BC AC ⊥，又11BA AC ⊥ …………2分 所以1AC ⊥平面1A BC ； ………………3分 （II ）因为11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为 菱形，
故12AA AC ==，又
D 为AC 中点，知160A AC ∠=。

……………………………4分 取1AA 中点F ，则1AA ⊥平面BCF ，从而平面1A AB ⊥平面
BCF ， …………6分
过C 作CH BF ⊥于H ，则CH ⊥面1A AB ，
在Rt BCF ∆中，2,3BC CF ==，故221
7
CH =
，…………………………… 7分 即1CC 到平面1A AB 的距离为221
7
CH =。

………………………………………8分 （III ）过H 作1HG A B ⊥于G ，连CG ，则1CG A B ⊥，
从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角，……………………………………… 9分
在1Rt A BC ∆中，12AC BC ==，所以2CG =， 在Rt CGH ∆中，42
sin 7
CH CGH CG ∠=
=
，……………………………………… 11分 故二面角1A A B C --的大小为42
arcsin
7。

………………………………………12分
解法2：（I ）如图，取AB 的中点E ，则
//DE BC ，因为BC AC ⊥，
所以D E
A ⊥，又1A D ⊥平面
ABC ，……………………1分
以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标
系，则
()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，
()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，……………………………………………………… 2分 ()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1AC
CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ； ……………………………………………3分
（II ）由1AC ⋅2
130BA t =-+=，得3t =。

……………………………………………4分
设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，()
10,1,3AA
=，()2,2,0AB =，所以 130
220
n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩，设1z =，则 (
)
3,3,1n =- ………………………………7分
所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n
⋅=
=
221
7。

………………………………8分
（III ）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，()
10,1,3CA
=-，()2,0,0CB =，
所以 13020
m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()
0,3,1m =，……………………9分
故cos ,m n m n m n
⋅<>=
=⋅7
7
-
，根据法向量的方向， ……………………………11分 可知二面角1A A B C --的大小为7
arccos
7。

…………………………………………12分 21．解：（1）∵()f x 的图象关于原点对称，∴()()0f x f x -+=恒成立，即2220bx d +≡，
∴0b d ==.又()f x 的图象在3x =处的切线方程为8180x y --=，即68(3)y x -=-，………………2分 ∴(3)8f '=，且(3)6f =. 而3()f x ax cx =+，∴2()3f x ax c '=+.…………………………3分
∴(3)278,(3)2736,f a c f a c '=+=⎧⎨=+=⎩ 解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.故所求的解析式为31()3f x x x =-.…………………6分
（2）解31,
3
,
y x x y x ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩ 得0x =或6x =±. 又2()1f x x '=-，由()0f x '=得1x =±，且当[6,1)x ∈--或(1,6]x ∈时，()0f x '>；…………………8分 当(1,1)x ∈-时()0f x '<. ∴()f x 在[6,1]--和[1,6]递增；在[1,1]-上递减. …………………………9分 ∴()f x 在[6,6]-上的极大值和极小值分别为22
(1)(1)33
f f -=
=-.
而22
6633-<-<<. 故存在这样的区间[,]m n ，其中一个区间为[6,6]-. …………………………12分
22．解：（1）由题意得12(2,0),(2,0)A A -，设0000(,),(,)P x y Q x y -， 则100200(2,),(2,).A P x y A Q x y =+=--
由221200121A P A Q x y ⋅=⇒--=，即22003x y -=，①……………………………………2分 又00(,)P x y 在双曲线上，则2
2
0012
x y -=。

② 联立①、②，解得：02x =±,……………3分 由题意，00x >，∴02x =，∴点T 的坐标为（2,0）。

……………………………………4分 （2）设直线1A P 与2A Q 的交点M 的坐标为(,)x y ， 由1P M A 、、三点共线，得：00(2)(2)x y y x +=+，③ 由2A 、Q 、M 三点共线，得：00(2)(2)x y y x -=--，④ 联立③、④，解得：0022,y
x y x x
=
=。

……………………………………………6分 ∵00(,)P x y 在双曲线上，∴2
2
2()2()12y x x
-=。

∴轨迹E 的方程为2
21(0,0)2
x y x y +=≠≠。

……………………………………………8分 （3）容易验证直线l 的斜率不为0。

故要设直线l 的方程为1x ky =+代入2
212
x y +=中得：22(2)210k y ky ++-=。

设112212(,),(,),00A x y B x y y y ≠≠且，则由根与系数的关系， 得：12222k y y k +=-
+，⑤ 122
1
2
y y k =-+。

⑥ …………………………………10分 ∵FA FB λ=，∴有
1
2
y y λ=，且0λ<。

将⑤
式平方除以⑥式，得： 22
1222
214142222
y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++ 由2
2
511114[2,1]22002222
k k λλλλλ∈--⇒-≤+≤-⇒-≤++≤⇒=-≤-≤+
2222
077
k k ⇒≤
⇒≤≤ ……………………………………………………………12分 ∵1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-，∴1212(4,)TA TB x x y y +=+-+，
又12222k y y k +=-+，∴2121224(1)
4()22
k x x k y y k ++-=+-=-+，
故222
2
2
2
12122222
16(1)4||(4)()(2)(2)k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+
++ 22222222
16(2)28(2)8288
16(2)2(2)
k k k k k +-++==-++++， 令212t k =+，∵2
207k ≤≤ ∴27111622k ≤≤+，即
71[,]162
t ∈， ∴22
2717||()828168()42
TA TB f t t t t +==-+=--。

而71[
,]162t ∈，∴169()[4,]32f t ∈。

∴132
||[2,]8
TA TB +∈。

………………………14分。