立体几何中的向量方法(A卷提升篇)【解析版】

专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)-

C ．333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

D ．333⎛

⎫

⎪

⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】

(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-,

设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，

则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩

，化简得0

0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，

∴x y z ==，故选C.

2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定

【答案】A 【解析】

∵空间直角坐标系中，

A （1，2，3），

B （﹣1，0，5），

C （3，0，4），

D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1）， ∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行． 故选A ．

3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点

(2,1,4)P -到平面α的距离为

10

3

，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21

【答案】C 【解析】

(2,2,4)PA x =+-，而103

n d n

PA ⋅=

=

， 10

3441

=++，解得1x =-或－11. 故选：C

4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若

1

cos ,2

m n =-，则l 与α所成的角为（ ）

A ．030

B ．060

C ．0120

D ．0150

【答案】A 【解析】

设线面角为θ，则1

sin cos ,,302

m n θθ=〈〉=

=. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3

a n π=

，则l 与α所成的角为（ ） A ．

23

π

B ．

3

π C ．

6

π D ．

56

π 【答案】C 【解析】

结合题意，作出图形如下：

因为

2 ,

3

a n

π

=，所以

3

π

∠=

OAB,

所以l与α所成的角为

6

π

∠=

OBA.

故选:C.

6．（2020·全国高二单元测试）如图，在正方体ABCD­1111

A B C D中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B1B的中点，F为11

A D的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )

A ．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)

C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)

【答案】B

【解析】

设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），

∴AE=（0，2，1），AF =（﹣1，0，2）

设向量n=（x，y，z）是平面A EF的一个法向量

则

20

20

n AE y z

n AF x z

⎧⋅=+=

⎪

⎨

⋅=-+=

⎪⎩

，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2

∴n=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量

因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量

故选B．

7．（2020·全国高二课时练习）设四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF的夹角等于( )

A ．45°

B ．30°

C ．90°

D ．60°

【答案】D 【解析】

以B 为原点，BA 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，BE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图

则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，所以AC ＝(－1，1,0)，BF ＝(1,0,1)． 所以cos 〈AC ，BF 〉＝⋅AC BF AC BF

=－

1

2

.所以〈AC ，BF 〉＝120°.所以AC 与BF 的夹角为60°. 故答案为：D

点睛： 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）,方法二：（向量法）cos m n m n

α⋅=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n

的方向向量.

8．（2020·全国高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，则点1C 到直线CE 的距离为（ ） A ．

13

B ．

33

C ．

53

D ．

63

【答案】C 【解析】

建立空间直角坐标系，如图，