立体几何中的向量方法(A卷提升篇)【解析版】

专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)-
C ．333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．333⎛
⎫
⎪
⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】
(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-,
设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，
则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，化简得0
0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，
∴x y z ==，故选C.
2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定
【答案】A 【解析】
∵空间直角坐标系中，
A （1，2，3），
B （﹣1，0，5），
C （3，0，4），
D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1）， ∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行． 故选A ．
3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点
(2,1,4)P -到平面α的距离为
10
3
，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21
【答案】C 【解析】
(2,2,4)PA x =+-，而103
n d n
PA ⋅=
=
， 10
3441
=++，解得1x =-或－11. 故选：C
4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若
1
cos ,2
m n =-，则l 与α所成的角为（ ）
A ．030
B ．060
C ．0120
D ．0150
【答案】A 【解析】
设线面角为θ，则1
sin cos ,,302
m n θθ=〈〉=
=. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3
a n π=
，则l 与α所成的角为（ ） A ．
23
π
B ．
3
π C ．
6
π D ．
56
π 【答案】C 【解析】
结合题意，作出图形如下：
因为
2 ,
3
a n
π
=，所以
3
π
∠=
OAB,
所以l与α所成的角为
6
π
∠=
OBA.
故选:C.
6．（2020·全国高二单元测试）如图，在正方体ABCD­1111
A B C D中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B1B的中点，F为11
A D的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A ．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)
C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)
【答案】B
【解析】
设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），
∴AE=（0，2，1），AF =（﹣1，0，2）
设向量n=（x，y，z）是平面A EF的一个法向量
则
20
20
n AE y z
n AF x z
⎧⋅=+=
⎪
⎨
⋅=-+=
⎪⎩
，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2
∴n=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量
因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量
故选B．
7．（2020·全国高二课时练习）设四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF的夹角等于( )
A ．45°
B ．30°
C ．90°
D ．60°
【答案】D 【解析】
以B 为原点，BA 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，BE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图
则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，所以AC ＝(－1，1,0)，BF ＝(1,0,1)． 所以cos 〈AC ，BF 〉＝⋅AC BF AC BF
=－
1
2
.所以〈AC ，BF 〉＝120°.所以AC 与BF 的夹角为60°. 故答案为：D
点睛： 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）,方法二：（向量法）cos m n m n
α⋅=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n
的方向向量.
8．（2020·全国高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，则点1C 到直线CE 的距离为（ ） A ．
13
B ．
33
C ．
53
D ．
63
【答案】C 【解析】
建立空间直角坐标系，如图，
则(1,1,0)C ，1(1,1,1)C ，10,
,12E ⎛⎫ ⎪
⎝
⎭，所以11,,12EC ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，1(0,0,1)CC =， 所以1CC 在EC 上的投影为12
3||
1
114
CC EC
EC ⋅=
=-
++， 所以点1C 到直线EC 的距离2
2114
||19||CC EC d CC EC ⎛⎫⋅=-=- ⎪
⎝⎭
53=. 故选：C.
9．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2AD =，E 、F 、
G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（ ）
A ．0
B 10
C ．
22
D 15 【答案】A 【解析】 如图
()()()()12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2A E F G ，
所以()()12,0,2,2,2,2A E GF =--=--
所以异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值
110⋅=A E GF A E GF
故选：A
10．（2020·全国高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1BB 和1DD 的中点，则平面ECF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ）
A 3
B 6
C ．
13
D ．
23
【答案】B 【解析】
以点A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 的方向 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则(0,0,0)A ，(2,0,1)E ，(0,2,1)F ，(2,2,0)C ， ∴(0,2,1)CE =-，(2,0,1)CF =-. ∴平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)n =. 设平面ECF 与平面ABCD 的夹角为θ. ∵(0,0,1)m =是平面ABCD 的一个法向量， ∴26cos |cos ,|16
m n m n m n
θ⋅=〈〉==
=
⨯⋅. 故选：B
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·上海杨浦·复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.
【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行 【解析】
由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥. 又向量n 为平面α的一个法向量.
所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.
12．（2020·全国高三（理））设正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，则点1D 到平面1A BD 的距离是_______.
23
【解析】
如图建立空间直角坐标系，
则1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，(0,0,0)D ，2,20B （，），
∴11(2,0,0)=D A ，1(2,0,2)DA =，(2,2,0)DB =， 设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，
1220
220
n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨
⋅=+=⎩，令1x =，则(1,1,1)n =--， ∴点1D 到平面1A BD 的距离11||23
||33
D A n d n ⋅=
==
. 故答案为：
23
3
. 13．（2020·陕西临渭·高二期末（理））设(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则实数t 的值是________． 【答案】4 【解析】
因为(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，且αβ⊥ 所以u v ⊥
所以()262450t -⨯+⨯-+⨯= 解得4t = 故答案为：
4
14．（2019·浙江丽水·高二月考）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．
【答案】90 1 【解析】
长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又
11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动
则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0）， 设E （1，m ，0），0≤m≤2，
则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，
∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°．
∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ， ∴1D E EC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0， 解得m=1，∴AE=1． 故答案为900，1．
15．（2020·全国高二专题练习）已知空间四个点(1,1,1)A ，(4,0,2)B -，(3,1,0)C --，(1,0,4)D -，则直线AD 与平面ABC 所成的角的度数为________，点D 到平面ABC 的距离是________． 【答案】30° 14
2
【解析】
∵(1,1,1)A ，(4,0,2)B -，(3,1,0)C --，(1,0,4)D -，∴(2,1,3)AD =--，(5,1,1)AB =--，
2(4,,1)AC =---．
设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，
则50420
n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎨
⋅=---=⎩取1x =，得(1,3,2)n =-
设直线AD 与平面ABC 所成的角为θ，则||71
sin 142||||419194
AD n AD n θ⋅=
===++⨯++．
又090θ︒<︒，∴30θ=︒，∴直线AD 与平面ABC 所成的角为30°． 点D 到平面ABC 的距离114
||sin 41922
d AD θ==
++⨯
=
． 故答案为：30；
14
. 16．（2018·浙江衢州·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -中，1111
4
A E AC =，异面直线AE 与
1BD 所成角的余弦值是__________；
若1BE xAB yAD zAA =++，则x =__________． 【答案】26
34-
【解析】
如图建立空间坐标系，设正方体棱长为4
易得：()A 4,0,0，()3,1,4E ，()00,0B ，
，()14,4,4D ∴()AE 1,1,4=-，()14,4,4BD =
∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值是44162
61116161616
-++=++++ 由1
BE xAB yAD zAA =++可得：()()()()3,1,4x 4,0,0y 0,4,0z 0,0,4=-++ 即34x =-，∴34
x =- 故答案为26，34- 17.（2018·浙江高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1CD 的所成角为_____，二面角1B A C D --的大小为_____．
【答案】60︒ 60︒；
【解析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为1，
则11101000010001110A D C D B （，，），（，，），（，，），（，
，），（，，）， 11101011A D CD =--=-（，，），（，，）
， 设异面直线A 1D 与CD 1的所成角为θ，
则11
1111602
22A D CD cos A D CD θθ⋅===∴=︒⋅⋅，， ∴异面直线A 1D 与CD 1的所成角为60°．
11101010111100DA DC CA CB ===-=（，，），（，，），（，，），（，，），
设平面DCA 1的法向量n x y z =（，，），
则10
0n DA x z n DC y ⎧⋅+⎨⋅⎩＝＝，＝＝ ，取x=1，得101n =-（，，），
设平面BCA 1的法向量m x y z =（，，），则100m CA x y z m CB x ⎧⋅-+⎨⋅⎩
＝＝，＝＝ 取y=1，得011m =（，，），， 设二面角B-A 1C-D 的大小为α， 则1
1602
22m n
cos m n αα⋅===∴=︒⋅⋅，， ∴二面角B-A 1C-D 的大小为60°．
故答案为60°，60°．
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2020·全国高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求BE 与平面1B BD 所成角的正弦值.
10. 【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 11(0,0,0),(2,2,0),(2,2,2),(0,2,1),(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)D B B E BD BB BE =--==-.设平面1B BD 的法向量为1(,,),,n x y z n BD n BB =∴⊥⊥， 1220,20,
n BD x y n BB z ⎧⋅=--=⎪∴⎨⋅==⎪⎩,0.x y z =-⎧∴⎨=⎩ 令1y =，则(1,1,0)=-n ，
10cos ,||||
n BE n BE n BE ⋅∴〈〉==. 故BE 与平面1B BD 10.
19．（2020·全国课时练习）如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90，SA⊥平面ABCD，
SA=AB=BC=1，AD=1
2
，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；（2）求平面SAB的一个法向量；（3）求平面SCD的一个法向量.
【答案】（1）(0，0，1)；（2）1
2
，0，0；（3）(2，-1，1).
【解析】
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D 1
2
，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴AS=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴AD=1
2
，0，0是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，DC=1
2
，1，0，SC=(1，1，-1).
设平面SCD 的法向量是n =(x ，y ，z )，则n ⊥DC ，n ⊥SC ，∴·0·0n DC n SC ⎧=⎨=⎩，
， 得方程组1
2020x y x y z y x y z ⎧=-+=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪+-=⎩，，，，
令1y =-，则1z =，2x =，∴n =(2，-1，1).
所以n =(2，-1，1)是平面SCD 的一个法向量.
20．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 分别是11A B 和1BB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出图中M 、N 的坐标； (2)求直线AM 与NC 所成角的余弦值.
【答案】(1)M （2，1，2），N （2，2，1）.(2)
25
． 【解析】 (1)由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.
由题意知A （2，0，0），B （2，2，0），∴M （2，1，2），
C （0，2，0），∴N （2，2，1）.
(2)由(1)可知()012AM =，，，CN =（2，0，1），
设直线AM 与CN 所成的角为θ，
则cosθ＝|cos AM CN ＜，＞|＝55⋅|25
=． ∴直线AM 与CN 所成的角的余弦值是
25
．
21．（2018·江苏泰州·高二月考（理））如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．
求证：（1）,,EF AP AD 共面；
（2）求证：EF CD ⊥．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
证明：()1如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，
建立空间直角坐标系A xyz -，
设2AB a =，2BC b =，2PA c =，
则(0,A 0，0)，(2,B a 0，0)，(2,C a 2b ，0)，
(0,D 2b ，0)，(0,P 0，2)c ， E 为AB 的中点，F 为PC 的中点，
(,E a ∴0，0)，(,F a b ，)c ，
(0,=b ，)c ，()0,0,2c =，(0,=2b ，0)，
1122
EF AP AD ∴=+ ∴ ,,EF AP AD 共面.
（2）()()2,0,0,0,,CD a EF b c =-=，
()()·2,0,0?0,,0CD EF a b c ∴=-=
CD EF ∴⊥ CD EF ∴⊥．
22.（2019·甘肃省武威第一中学高二月考（理））如图所示,已知点P 在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP 与CC′所成角的大小.
(2)求DP 与平面AA′D′D 所成角的大小.
【答案】（1）45°.（2）30°.
【解析】
(1)如图所示,
以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,
设DA=1.则DA=(1,0,0),'
CC=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H. 设DH=(m,m,1)(m>0),
由已知<DH,DA>=60°,由DH DA=|DA||DH|cos<DH,DA>,可得2
2m1
+解得m=
2 2
,
所以DH=
22
,,1 22
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
因为cos<DH,'
CC
22
00112 22
2
21
⨯+⨯+⨯
=
⨯
所以<DH,'
CC>=45°,即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC=(0,1,0),
因为cos<DH,DC
22
01101 22
2
12
+⨯
=
⨯
所以<DH,DC>=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.。