小波总结

关于小波的总结

作者：madong123 转自：研学论坛

学习小波4个月了，也来写个小结，有两个目的，第一个当然是完成强化课的作业，其次就是整理下思路，理清脉络，进一步对相关知识模型化，定型于脑中，把自己的理解曝于众人，接受反馈，

然后归纳没有搞明白的问题，有的放矢。

（一）傅立叶变换：

（1）感觉学习小波最大的困难就在于充分地去理解那些公式背后的意义，由于知识背景上的差异，同一个公式不同的人得到的信息量是不一样的。就拿最普通的内积公式来说，< f，g>=……,最

初接触是用来刻画信号之间的相关性，两个信号内积归一化后就得到相关系数，也就是两个信号越相似，内积就越大，这是第一个理解；然后我们会在Hilbert空间里看到这个东西，用来刻画两个向量的

夹角，当内积为0时，两个向量正交，若g为Hilbert空间里的正交基的时候，内积为f向基上的正交投影，这是第二个理解；（Hilbert空间是一个很直观的空间，我一直都理解为欧氏空间去理解定义在其

上的东西，L^2和l^2同样为Hilbert空间）。

（2）接下来不得不提的就是基和框架的概念：

基的概念大家都有，也很常见，只是很少涉及到数学的严格性，大家都知道颜色的RGB分解法，其实就是基的一种表示，取定RGB各自的比重就可以条配出任何一种颜色，信号和函数的表达也是如此。人

们一直渴望找到一组基来表示所有信号，从三角基，DCT，小波，脊波，曲波，基越来越复杂，表示能力也越来越强，当然计算复杂度也大幅度增加，似乎这已经逐渐成为一个不可调和的矛盾，好在计算

机的能力也在按摩尔定律增长。

基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相关性，但若去掉其中任何一个，则不成为基，这一点也叫完备性；基的表示有唯一性，即给定一族基对一个函数的表达是唯一的；一般情况下基非正交，也称

为为exact frame（Resize basis），这个时候要表示信号可以将基正交化成唯一的正交基（对偶为其自身）；也可以求其对偶框架（dual frame），其对应了小波变换中的双正交情形！信号可以依框架

分解，然后用对偶框架重构。

若在基集里添加一些新的向量，并随意调整空间位置，则有可能成为框架。把函数与基或框架作内积，也可以说成是一种函数空间到系数空间的变换。若某种变换后的能量（内积的平方和度量）仍然有

一个大于0的上下界，才可以成为框架，由于框架的冗余性，所以系数的表达也不具有唯一性。若上下界相等，则为紧框架，且界表示冗余度。若上下界相等为且为1，称为pasval identity frame，此时

不一定为正交基（想象把一组正交基中某一个拆成两个同方向的基之和，则pasval identity 仍然成立），此时若加上基的长度均为一的条件，则框架退化为正交基。可能你会问我们用基来表示信号就行

了啊，为什么还要框架呢？其实很多信号表示方法不能构成基，却能构成框架，如短时傅立叶变换中如要求窗函数满足基条件，则可推出该函数有很差的时频局部化性质（事实上退化为了傅立叶变换）

，框架的冗余性为我们提供了很多自由度，如果有时间的话会专门写一篇框架应用的总结。（3）傅立叶变换

傅立叶变换将函数投影到三角波上，将函数分解成了不同频率的三角波，这不能不说是一个伟大的发现，但是在大量的应用中，傅立叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中

，傅立叶基已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，而且奇异是平凡的，傅立叶在奇异点的表现就着实让人不爽，从对方波的傅立叶逼近就可以看出来，用了大量不同频

率的三角波去逼近其系数衰减程度相当缓慢，而且会产生Gibbs效应。其内在的原因是其基为全局性基，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。实际应用中很需要时频局部化，

傅立叶显然缺乏此能力了。即使如此，由于其鲜明的物理意义和快速计算，在很多场合仍然应用广泛。

傅立叶变换在从连续到离散的情形是值得借鉴与学习的，大家都知道，时间周期对应频域离散，时间离散对应频域周期，时间离散+周期对应频域离散+周期，DFT其实是将离散信号做周期延拓然后做傅立

叶变换再截取一个周期，反变换同样如此，所以DFT用的是块基的概念，这样如果信号两端的信号连接后不再光滑（即使两边都光滑），同样会在边界上产生大幅值系数（边界效应），延伸到图像中就是

块效应。

当对信号做对称+周期延拓后再做傅立叶变换得到的正弦系数全部为0，也就是任何对称函数可以写成余弦的线性组合，同样按照离散的思路构造得到的是离散块余弦基，即DCT变换，虽然DCT可以通过对

称后周期延拓再变换减少了边界效应（两边信号接上了，但不一定平滑），但任不能消除块效应，尤其是图像变换中人为将图像分成8*8处理后块效应更加明显。但是DCT很好的能量聚集效应让人惊奇，

加之快速计算方法使它替代DFT成为图像的压缩的标准了很长时间（JPEG）。

（二）短时傅立叶变换到小波变换

三角基的局部化性质这么差，但是很多应用场合又要求比较精确的时频定位，傅立叶的缺点就越来越突出了，窗口傅立叶变换将信号乘上一个局部窗，然后再做傅立叶变换，获得比较好的时频定

位特性，再沿时间轴滑动窗口，得到整个时间轴上的频率分布，似乎到这里就应该结束了，因为我们可以把窗设计小点获得较高的时间分辨率，并期望有同样高的频率分辨率，但测不准原理无情的告诉

我们，没有这么好的窗能在时间和频率都任意小的，最优的就是gaussian window了（窗的选取还需满足频率域也为窗函数，并不是每个时窗都满足这个条件的）。

通过短时傅立叶变换我们可以画出时频图，但是存在问题：当我们分析频率较高部分信号时应该用更窄的窗，反之用宽窗，但STFT一旦选定窗过后，分辨率就固定了，若要其他分辨率则需要更换窗。接

下来用于分析窗函数的平移本身不能构成基，没有简化计算的可能性，使得时频分析的计算量一直很大（若为正交基，系数的计算相当方便）。另外一个问题：由于时间和频率都使用连续表达，连续窗

口傅立叶变换具有极大的冗余性，怎样去离散时间和频率参数以减少冗余，而又不导致信息丢失，一个明显的要求就是时频盒子一致时间和频率平移必须完全覆盖整个时频平面。由前面的框架分析可以

得知，离散窗口调制不能成为基，但可构成框架（时频采样密度大于临界值，即盒子的有效铺叠刚好邻接并充满整个时频空间），并当时频采样密度为临界采样率一半的时候（盒子有大量重叠），框架

差不多是紧的，并可证实冗余因子为4。

针对短时傅立叶变换的第一个问题，马上想到我们能不能用一个窗函数的伸缩（S）和平移（以前只有平移b）来分析信号，要求这个变换是可以完全重构的且保持能量守恒，如果存在，这样的窗

函数应满足什么条件呢？答案当然是能，这个窗函数就是连续小波，其应满足容许条件即可达到完全重构。容许条件暗含该函数在0点的傅立叶变换为0，这也解释了小波为什么必须有零值平均。由重构

公式可以看到尺度s的积分范围为（-inf，+inf），而我们分析一般只取（1，So）对于大于So以上的信息（对应实际应用的过高频率），我们认为已经不重要了，予以丢弃也不会对我们的分析造成太大

的影响，对于尺度小于等于1的信息（低频成分），我们需要对其截断保留，以便恢复信号。这可通过引入尺度函数（低通滤波）来做到。这样连续小波变换就得到一个在不同尺度和不