7.离散相似法仿真

AT −1 −1
⎡ s 0 ⎤ sI − A = ⎢ ⎥ − 1 s + 1 ⎣ ⎦
0 ⎤ ⎡ 1/ s (sI − A) = ⎢ ⎥ 1/ s ( s + 1) 1/( s + 1) ⎣ ⎦
−1
0 ⎤ ⎡ 1 Φ(T ) = e = L [(sI − A) ] = ⎢ −T −T ⎥ ⎣1 − e e ⎦ K KT ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Φ m (T ) = ∫ Φ(T − τ ) Bdτ = ∫ ⎢ dτ = ⎢ −T ⎥ 0 0 K (1 − e − (T −τ ) ) ⎥ K ( T − 1 + e ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
第7章 离散相似法仿真
用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，必须 将这个系统看作一个时间离散系统。也就是说，我 们只能计算到各状态量在各计算步距点上的数值， 它们是一些时间离散点的数值。在第六章中主要是 从数值积分法的角度来讨论数字仿真问题，而史密 斯从控制和工程的概念出发提出离散相似问题，并 导出离散相似法。
离散相似法仿真
本章主要教学内容
离散相似法原理 典型环节的离散模型 线性系统离散相似法仿真 非线性系统离散相似法仿真 采样系统仿真分析
7.1
7.1.1 仿真算法描述
离散相似法原理
所谓离散相似法，就是将一个连续系统进行离散化处理， 从而得到等价的系统离散模型，此种方法按系统的动态结 构图建立仿真模型。 在计算过程中，按各典型环节离散相似模型，根据环节 的输入来计算环节的输出。 1. 环节的离散化模型 将连续系统按图7-1所示对其进行离散化处理，在系统的 输入、输出端加上虚拟采样开关，T为采样周期。为保证输 入信号复现原信号，在输入端加上一个保持器。
T
x(k )
u (t )
T
{u( k )}
保持器
~( t ) u
! = Ax + Bu x
~( t ) x
图7-1 连续系统模型的离散化 使用零阶保持器，可得到离散化状态方程的解：
x(n + 1) = φ (T ) x(n) + φ m (T )u(n)
基本方法 (1)
! = Ax + Bu 系统状态方程：x
0
0
x(kT ) = e
AkT
~(τ )dτ x(0) + ∫ e A( kT −τ ) Bu
kT
f(t) 误差
fn+1 fn
基本方法 (3)
• 将(4)式－(3)式乘以eAT,可得：
x[(k + 1)T ] = e x(kT ) + ∫
AT
AT ( k +1)T kT
梯形近似
tn
tn+1
t
~(τ )dτ e A[( k +1)T −τ ] Bu
则有：
tn
tn+1
t
~ ( τ) 如保持器使 u 原基础上增加
Δuk (τ ) =
x[(k + 1)T ] = Φ(T ) x(kT ) + Φ m (T )u(kT )
Δu k ( τ )
(7) 为一斜坡函数（梯形近似），则在 (8) (9)
对应
T
Δu k ( τ )
，对 x[(k + 1)T ] 引起的变化量为：
T T
r
K G(s) = s( s + 1)
y
⎡ x (k + 1) ⎤ x[(k + 1)T ] = ⎢ 1 = Φ(T ) x(kT ) + Φ m (T )u (kT ) ⎥ ⎣ x2 (k + 1) ⎦ 0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡ KT ⎡ 1 ⎤ = ⎢ + ⎢ u (k ) ⎥ −T −T ⎥ ⎢ −T ⎥ e ⎦ ⎣ x2 (k ) ⎦ ⎣ K (T − 1 + e ) ⎦ ⎣1 − e
r
K G(s) = s( s + 1)
y
对于该系统，前面的数值积分法是没办法处理这种非线性的。
! = Ax + Bu x y = Cx ，
AT −1 −1
⎡0 0 ⎤ ⎡ K ⎤ A = ⎢ , B = , C = [0 1] ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 −1⎦ ⎣ 0 ⎦
Φ(T ) = e = L [(sI − A) ]
Twk.baidu.com
(5)
• (5)式右端的积分与k无关，故可令k=0。
~(t ) • 若保持器使kT与(k+1)T之间的 u 不变，积 ~ ( τ) ~( τ) = u( kT ) ，那么， 分式中的 u 保持常数 u (5)式可改写为：
~(τ )dτ x[(k + 1)T ] = e x(kT ) + ∫ e A(T −τ ) Bu
7.1.2 离散模型的精度及稳定性
离散化模型近似等效于原来的连续系统模型，要考虑 仿真精度与哪些因素有关；还要考虑引入保持器后，其相 位滞后带来的使离散化模型的稳定性变差等问题。
1. 采样周期对仿真精度的影响 引入了虚拟采样开关后，其采样周期原则上应该满足 香农采样定理： f s ≥ 2 f max 而采样周期 T S 通常是按照系统的动态响应的时间关系来 选择的。 按经验公式，一般情况下，采样周期TS按照系统的最 小时间常数T的十分之一来加以选择，即: 1
3.
离散化模型的稳定性
离散化模型与原系统相比较，除了信号是离散的以外，还多了一个 保持器。由于保持器本身具有的特性，对离散化模型会带来一定的影响。 比如，零阶保持器具有相位滞后，对系统的稳定性带来不利影响， 尤其是当系统由多个离散化模型组成时，这种相位滞后的影响更为严重。 而三角保持器的特性对系统的稳定性影响不大，故常使用三角保持器。
m i
Ci K = i Bi s s
Ki s
xi = yi
积分环节的离散方程为 :
! k x k + 1 = x k + K iTu k + 0.5K iT 2u
( ) () y ( k + 1) = x ( k + 1)
()
()
典型线性动态环节的离散化计算
（3）比例积分环节Ai等于零
bi K i
Ci + Di s Ki (bi s + 1) = Bi s s
ui
Φ(T ) = 1 Φ m (T ) = Ki ˆ (T ) = 0.5K T 2 Φ
m i
Ki s
xi
yi
比例积分环节的离散方程为 :
! k x k + 1 = x k + K iTu k + 0.5 K iT 2u
对下面的控制系统描述，需要放在计算机上求解 d y d y dy d u d u a +a +L + a +a y =c +c +L + c u § 常微分方程 dt dt dt dt dt c s +c s L +c s+c Y (s) G(s) = = U (s) a s + a s + L + a s + a § 传递函数 ! = AX + BU X § 状态空间描述
7.2
典型环节的离散模型
按照前面的讨论，我们将常见的典型环节由传递函数表 达式推导出其离散系数及离散状态方程。
7.2.1 典型线性动态环节 ˆ (T ) Φ Φ m (T ) ， Φ(T ) ， m 的计算
• 典型线性动态环节有：积分、比例积分、惯性、超前－滞 后、比例五种。均以(Ci+Dis)/(Ai+Bis)形式描述。根据每种 情况的Ai，Bi，Ci，Di取值，确定分别所对应的线性环节 类型，进而计算出该环节的状态转移矩阵的值，包括下面 几个。
典型线性动态环节的离散化计算
（1）比例环节Bi，Di等于零
ui
Ki
Ci Ki = Ai
xi = yi
比例环节的离散方程为 :
y(k + 1 ) = ku(k + 1 )
典型线性动态环节的离散化计算
（2）积分环节Ai，Di等于零
ui
Φ(T ) = 1 Φ m (T ) = Ki ˆ (T ) = 0.5K T 2 Φ
(1)解析解： x(t ) = e At x(0) + t e A(t −τ ) Bu (τ )dτ ∫
0
(2)离散化处理：
u (t )
T
T
x(k )
{u( k )}
保持器
~( t ) u
! = Ax + Bu x
~( t ) x
基本方法 (2)
• • • • 输入端：加上虚拟采样开关和保持器； 输出端：加一个虚拟采样开关 虚拟采样周期：T，两者同步。 对离散化处理后的系统，设kT及(k+1)T为两个依 次相连的采样瞬时，则有： (3) ( k +1)T A( k +1)T ~(τ )dτ (4) x[(k + 1)T ] = e x(0) + ∫ e A[( k +1)T −τ ] Bu
离散相似化 连续时间模型 离散时间模型
时域离散相似化
离 散 相 似 化
离散时间响应 连续时间响应 对状态方程离散化得时域离散相似模型 ――时域离散相似法
频域离散相似化
传递函数 脉冲传递函数
对传递函数作离散化处理得离散传递函数， 称为频域离散相似模型――频域离散相似法
第7章
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
计算步骤： • 1．离散计算 Φ(T ), Φm (T ) • 2. 计算偏差 E (k ) = r (k ) − x2 (k ) • 3. 由非线性特性计算 u ( k ) • 4．计算 x1 (k + 1), x2 (k + 1) • 5. 循环
2.
仿真算法实现过程 当给定连续系统的动态结构图后，将其等效为各典型 环节的组合，按典型环节离散系数表达式，经程序处理， 事先将各环节的类型、参数、初始条件、各环节连接关系 矩阵、输入输出连接矩阵等参量送入程序中，既可通过离 散相似的模型求出在特定信号作用下，系统中各环节输出 变量的变化情况，从而得到系统的仿真结果。
⎧ AT ⎪φ (T ) = e T ⎪ A(T -τ ) Bdτ ⎨φ m (T) = ∫0 e ⎪ ∧ T ⎪φ (T) = τe A(T-τ ) Bdτ ∫0 ⎩ m
上式称为环节的离散系数
基本方法 (5)
Φ(T ) = e AT
Φ m (T ) = ∫ Φ(T − τ )Bdτ
T A(T −τ ) 0
u[(k + 1)T ] − u[ kT ] ! ( kT )τ τ ≅u T
T
ˆ (T ) 令 ∫0 τe A(T −τ ) Bdτ = Φ m ˆ (T )u 则： !(kT ) (10) x[(k + 1)T ] = Φ(T ) x(kT ) + Φ m (T )u(kT ) + Φ m
Ts = 10 T
如果给定系统开环截止频率时，系统的采样周期也可 以按下式进行选择：
1 Ts = (30 ~ 50)ω c
2.
保持器特性对仿真精度的影响
为使经采样后的信号无失真地复现，要在系统中加入保持器。虽然零
阶保持器比较容易实现，但其精度较低。为了提高控制精度，可以采用 三角保持器，它复现信号的高频部分失真较小，并且无相位滞后，可以 得到比较满意的结果。 此外，为了提高精度还可以采用校正补偿措施，在离散模型中加入 一个确定的校正环节，适当调整参数，可使离散模型尽可能地接近原型。
0
x[(k + 1)T ] = e x(kT ) + ∫ e A(T −τ ) Bdτ u (kT )
0
AT
T
= Φ(T ) x(kT ) + ∫ Φ(T − τ )Bdτ u (kT )
0
T
(6)
f(t) 误差
fn+1 fn
基本方法 (4)
若令
梯形近似
∫
T
0
Φ(T − τ )Bdτ = Φ m (T )
n n −1 n −1 n−2 0 n 1 n −1 n −1 n 1 n −1 2 n−2 n
n n −1 0 1 n−2 n n n −1 0 1 n −1 n
Y = CX
方法一：数值积分法求解 常微分方程、传递函数 状态空间表达式
方法二：离散时间模型极容易程序化，在计算机 上求解， 离散相似化 连续时间模型 离散时间模型
0 T
(状态转移矩阵) (输入信号采用零阶保持器 (输入信号采用一阶保持器
引入的系数矩阵)
ˆ (T ) = τe A(T −τ ) Bdτ Φ m ∫
0 T
后叠加的系数矩阵) ! (T) • 比较：离散相似法： 方程系数 Φ(T)、Φ m (T)、Φ m 可以一次求出,每做一步积分只要计算一次右端 函数，无须迭代，速度快。 • 数值积分方法：每做一步积分要多次计算右端函 数，迭代，速度慢。
Δx[(k + 1)T ] = ∫ e
! (kT ) BΔuk (τ )dτ ≅ ∫ τe A(T −τ ) Bdτu
0
• (10)式为三角保持器的情形，离散化状态方程解的 形式为：
! (n) x(n + 1) = φ (T ) x(n) + φ m (T )u (n) + φ m (T )u
∧