第五章矩阵的对角化

5.1 特征值与特征向量 版权归北京科技大学《线性代数》课程组
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第五章矩阵的对角化
3
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⎛ 1 −1 0 ⎞
当 λ3 = 3 时, 解方程组 (3E − A)x = 0
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 0
2 −1
−11⎟⎟⎟⎠
λ1 = 0,λ2 = 1,λ3 = 3
−4 1
3 0
0 2
⎟ ⎟⎟⎠
的全部特征值和
解 (1) A的特征多项式:
λ +1 −1 0
λ +1 −1
λE − A = 4 λ −3 0 = (λ − 2) 4 λ −3
−1 0 λ −2
= (λ − 2)(λ − 1)2
所以A的特征值为: λ1 = 2,λ2 = λ3 = 1
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= λ(λ − 1)(λ − 3) 所以A的特征值为: λ1 = 0,λ2 = 1,λ3 = 3
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(2) 当 λ1 = 0 时,
解方程组 (0E − A)x = 0
⎛1⎞
得基础解系:
x1
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 1
⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 1 −1 0 ⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
例2 x1, x2是A的属于特征值λ的线性无关特征向量， 证明：对任意不全为零的 k1,k2, k1x1 +k2x2 都是矩阵 A的属于特征值λ 的特征向量.
证明:由已知 Ax1 = λ x1, Ax2 = λ x2 而 k1 x1 + k2 x2 ≠ 0 A(k1 x1 + k2 x2 ) = k1 Ax1 + k2 Ax2 = k1(λ x1 ) + k2(λ x2 ) = λ (k1 x1 + k2 x2 ) 所以 k1x1 + k2 x2 是属于λ 的特征向量.
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(2) 当 λ1 = 1 时,
解齐次线性方程组 ( E − A) x = 0
⎛1 −1 1 ⎞
A
=
⎜ ⎜⎝⎜
1 1
3 1
−11 ⎟⎟⎟⎠
⎛ 0 1 −1⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞
E
−
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 −1
−2 −1
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
→
⎜ ⎜⎜⎝
解齐次线性方程组( 2E − A) x = 0
⎛ 1 1 −1⎞ ⎛ 1 1
⎛1
−1⎞
A
=
⎜ ⎜⎝⎜
1 1
−1 3 1
1⎞
−1 1
⎟ ⎟⎟⎠
2E
−
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 −1
−1 −1
1 1
⎟ ⎟⎟⎠
→
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 0
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
,
⎛1⎞
得基础解系为：
x2
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
,
⎛0⎞
x3
−
A
=
0
（1）计算矩阵A的特征多项式 fA(λ) = λE− A;
（2）求解 f A(λ ) = λ E − A = 0 ,得A的全部特征值;
（3）对每一特征值 λ0 ,求出(λ0E − A)x = 0 一个基础 解系 x1, x2 , , xn−r , 其中 r(λ0E − A) = r，
则A的属于特征值λ0的特征向量为:
k1 x1 + k2 x2 + kn−r xn−r
(k1, k2 , , kn−r为不全为零的任意常数)
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注:对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素
分析:
⎛ a1
⎜ A=⎜
a2
⎜
0 ⎜
⎝
0⎞ ⎟
⎟
⎟
an
⎟ ⎠
A的特征多项式: λ − a1
f (λ) = λE − A =
=
⎛ ⎜⎝
1⎞ −1 ⎠⎟
,则有
= =
5x ⎛ 3⎞ ⎜⎝ 4 ⎟⎠
是属于
Ax
=
⎛ ⎜⎝
1 4
3 2
⎞ ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
1⎞ −1⎟⎠
=
⎛ ⎜⎝
2 −2
⎞ ⎟⎠
=
−2⎛⎜⎝
1⎞ −1⎟⎠
=
−2
x
因此 λ = −2 也是矩阵A的特征值， 是属于λ = −2 的特征向量．
x
=
⎛ ⎝⎜
1⎞ −1 ⎟⎠
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=
⎜ ⎜⎜⎝
1 1
⎟ ⎟⎟⎠
,
所以 λ2 = λ3 = 2 全部特征向量为： k2 x2 + k3 x3 (k2 , k3不同时为0）
说明 二重根2对应着两个线性无关的特征向量
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⎛ −1 1 0⎞
例5
相求应出的三特阶征方向阵量A ．= ⎜⎜⎝⎜
(2) 当 λ1 = 2 时, 解方程组 (2E − A)x = 0
⎛ −1 1 0⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−4 1
3 0
0 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛2+1 −1 0 ⎞
2E
−
A=
⎜ ⎝⎜⎜
4 −1
2−3 0
0 2−
⎟ 2⎠⎟⎟
⎜⎛ 1 0 0 ⎟⎞ ⎜0 1 0⎟ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
⎛0⎞
得基础解系:
x1
=
⎜ ⎜⎜⎝
3 1
−11⎟⎟⎟⎠ 的全部特征值和
解 (1) A的特征多项式为 λ − 1 1 −1
λ E − A = −1 λ − 3 1 −1 −1 λ − 1
= (λ − 1)2(λ − 3) − 1 − 1 − (λ − 3) + (λ − 1) + (λ − 1)
= (λ − 1)(λ − 2)2 ,
所以A的特征值为: λ1 = 1,λ2 = λ3 = 2.
= a0 x + a1λx + a2λ2 x + + anλn x = (a0 + a1λ + a2λ2 + + anλn )x
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例7 λ 是 A 的特征值，x是 A 的属于λ 的特征向量，则: λk是Ak的特征值，x是Ak的属于λk 的特征向量， kλ是kA的特征值，x是kA的属于kλ 的特征向量，
φ(λ)是φ(A)的特征值，x是φ(A)的属于φ(λ)的特征向量
证明 ∵ Ax = λx ∴ A( Ax) = A(λx)
⇒ A2 x = λ( Ax) = λ(λx) = λ2 x
Ak x = λk x
k( Ax) = k(λx)⇒ (kA)x = (kλ )x φ(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn φ(A) = a0E + a1A+ a2A2 + + anAn φ( A)x = (a0E + a1A + a2 A2 + + an An )x
λ − a2
λ − an = (λ − a1) (λ − an ) 所以A的特征值为:λ1 = a1,λ2 = a2 , ,λn = an
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例3
求相出应二的阶特方征阵向量A ．= ⎛⎜⎝
−3 1
1 −3
⎞⎟⎠的全部特征值和
解 (1) 方阵A的特征多项式为
成立,则称λ为矩阵A的一个特征值，非零向量x称为矩 阵A的属于特征值λ的特征向量，简称为特征向量． 注: (1) 特征向量x ≠0, 特征值问题是对方阵而言的 (2) 若x是矩阵A的属于特征值λ的特征向量, k ≠0, 则非零向量kx也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
A( kx) = kAx = k(λ x) = λ(kx), kx ≠ 0 特征值λ对应的特征向量不唯一
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2.特征方程与特征多项式
λ为矩阵A的特征值，x为A的属于特征值λ的特征向量
x ≠ 0, Ax = λx ⇔ x ≠ 0,使得Ax = λ x
⇔ ∃x ≠ 0,λ x − Ax = 0 ⇔ ∃x ≠ 0,(λ E − A)x = 0
⇔ x为(λ E − A)x = 0的非零解 ⇔ λ E − A = 0
⎛1⎞
得基础解系:
x3
=
⎜ ⎜⎜⎝
−2 1
⎟ ⎟⎟⎠
所以kx3(k ≠ 0) 是属于 λ3 = 3的全部特征向量
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例7 λ 是 A 的特征值，x是 A 的属于λ 的特征向量，则: λk是Ak的特征值，x是Ak的属于λk 的特征向量， kλ是kA的特征值，x是kA的属于 kλ 的特征向量，
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第五章 矩阵的对角化
5.1 特征值与特征向量
5.1.1 特征值与特征向量 的概念与计算
5.1.2 特征值和特征向量的性质
5.1.1 特征值与特征向量的概念与计算
1.特征值与特征向量的概念
定义5.1 设A是n阶方阵, 如果存在复数λ 和n维列向量 x ≠ 0 使得等式 Ax = λ x
1 0
1⎞ 0 ⎟⎠
A
=
⎛ ⎝⎜
−3 1
1⎞ −3 ⎟⎠
得基础解系:
x2
=
⎛ ⎜⎝
1⎞ −1⎟⎠
所以 λ2
=
−4的全部特征向量是 kx2
=
⎛k ⎜⎝ −k
⎞ ⎟⎠
,
k
≠
0
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⎛1 −1 1 ⎞
例4
相求应出的三特阶征方向阵量A．= ⎜⎜⎜⎝
1 1
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第五章矩阵的对角化
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3. 特征值与特征向量的求法
λ为矩阵A的特征值，x为A的属于特征值λ的特征向量
x ≠ 0, Ax = λx
⇔ 步骤：
x为(λ E
−
A) x
=Байду номын сангаас
0
的非零解
⇔
λ
E
−1 0
2 −1
−11⎟⎟⎟⎠
λ1 = 0,λ2 = 1,λ3 = 3
所以kx1(k ≠ 0) 是属于 λ1 = 0的全部特征向量
当 λ2 = 1 时, 解方程组 (E − A)x = 0
⎛1⎞
得基础解系:
x2
=
⎜ ⎝⎜⎜
0 −1
⎟ ⎠⎟⎟
所以kx2(k ≠ 0) 是属于 λ2 = 1的全部特征向量
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
所以kx1(k ≠ 0) 是属于 λ1 = 2的全部特征向量
5.1 特征值与特征向量 版权归北京科技大学《线性代数》课程组
当 λ2 = λ3 = 1 时, 解方程组 (E − A)x = 0
⎛ −1 1 0⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−4 1
3 0
0 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛1 + 1 −1 0 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞
E
−
A
=
⎜ ⎝⎜⎜
4 −1
1−3 0
1
0 −
⎟ 2⎟⎟⎠
→
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0
2 0
⎟ ⎟⎟⎠
,
⎛ −1⎞
得基础解系:
x2
=
⎜ ⎜⎜⎝
−2 1
⎟ ⎟⎟⎠
,
所以kx2(k ≠ 0)属于λ2 = λ3 = 1的全部特征向量
说明 二重根1对应着一个线性无关的特征向量
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x1
=
⎛1⎞ ⎜⎝ 1⎟⎠
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所以λ1 = −2 的全部特征向量是
kx1
=
⎛ ⎜⎝
k k
⎞ ⎟⎠
,
k≠0
当 λ2 = −4 时, 解齐次线性方程组( −4E − A) x = 0
(
−4E
−
A)
=
⎛ ⎜⎝
−1 −1
−1⎞ −1 ⎠⎟
→
⎛ ⎜ ⎝
λ − a11 −a12
−a1n
f A(λ ) = λ E − A = −a21 λ − a22
−a2n
−an1
−an2
λ − ann
是λ的n 次多项式,通常称为矩阵A的特征多项式,记作
fA(λ ) 或 f (λ ), λ E − A = 0 称为A的特征方程,
它的根称为A的特征根.(特征值)
在复数域内, A有n 个特征值（可能相同）
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例1
若
A
=
⎛ ⎜⎝
1 4
3 2
⎞ ⎟⎠
，取
λ
= 5,
x
=
⎛ ⎜⎝
3 4
⎞ ⎟⎠
,
则
λ
Ax
=
⎛ ⎜⎝
1 4
3 2
⎞ ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
3 4
⎞ ⎟⎠
=
⎛ ⎜⎝
15 20
⎞ ⎟⎠
=
5
⎛ ⎜⎝
3 4
⎞ ⎟⎠
因此 λ = 5 是矩阵A的特征值， x
= 5 的特征向量． 如果取λ = −2, x
fA(λ) =
λE
−
A
=
λ+3 −1
−1 = λ 2 + 6λ + 8 λ+3
所以,方阵A有两个特征值 λ1 = −2, λ2 = −4
(2) 当 λ1 = −2 时, 解齐次线性方程组( −2E − A) x = 0
(
−2E
−
A)
=
⎛ ⎜⎝
1 −1
−1 1
⎞ ⎟⎠
→
⎛ ⎜⎝
1 0
−1⎞ 0 ⎟⎠
得基础解系:
0 0
−1 0
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
,
⎛ −1⎞
得基础解系:
x1
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 1
⎟ ⎟⎟⎠
,
所以kx1(k ≠ 0) 是属于 λ1 = 1 的全部特征向量
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当λ2 = λ3 = 2 时,
⎛ 1 −1 0 ⎞
例６ 求出三阶方阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 0
2 −1
−11⎟⎟⎟⎠
的全部特征值和相应的特征向量．
解 (1) A的特征多项式: λ −1 1 0
fA(λ) = λE − A = 1 λ − 2 1 0 1 λ −1
= (λ − 1)2(λ − 2) − (λ − 1) − (λ − 1)