平新乔课后习题详解(第14讲--信息不对称、逆向选择与信号博弈)

平新乔《微观经济学十八讲》第14讲 信息不对称、逆向选择与信号博弈

1．假定二手车的质量q 是服从于下列均匀分布的

[](),0q u t z t >～

证明：如果卖主和买主的效用函数分别为1u M qn =+和232

u M qn =+，预算约束分别为1y M p n =+⋅和2y M p n =+⋅，那么：

（1）当市场价格为p 时，平均质量必为：

()1122

t p p t μ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

≥= （2）市场不会彻底萎缩。

（3）与信息完全相对照，关于q 的信息不对称使交易缩小了多少？使买卖双方的利益损失了多少？

证明：（1）卖主的效用函数为1u M qn =+，其中q 对于卖主来说是确定的，因此，将卖

主的预算约束代入效用函数之中可得：

()11u y q p n =+- 当且仅当q p >时卖主才不会将车卖出，因此，一定有q p ≤，此时0n =，即出售二手车。因此有：

()2

t Eq p p t μ+=

≥= （2）把卖主的预算约束1y M p n =+⋅代入他的效用函数中，就有： ()11u y q p n =+-

当且仅当出售汽车可以带给他更高的效用时，卖主选择出售汽车，即：

()11y q p n y +-≤

从而解得p q ≥，即市场价格不低于汽车质量时，卖主会出售汽车，这就意味着，当对于给定的市场价格p ，只有质量低于p 的汽车会出售。

把买主的预算约束2y M p n =+⋅代入他的效用函数中，就有2232u y q p n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

，由于买主不清楚市场上每辆汽车的具体质量，所以他只能最大化自己的期望效用，即：

2232Eu y p n μ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

这里()E q μ=。当且仅当买车可以带给他更高的效用时，买主购买汽车，即：

2232y p n y μ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭

其中()E q μ=。从而得到32

p μ≤，这就意味着买主的保留价格不会高于市场上汽车平均质量的1.5倍。

下面来求解市场均衡，分两种情况讨论：

①3z t ≥时，假设均衡时市场上汽车的质量服从[],U t x ，那么市场上汽车的平均质量为2t x +，此时买主的保留价格为()33=224

t x t x +⨯+，均衡时，买主的保留价格必然等于市场上最好的汽车的质量，即：

()34

x t x =+ 解得3x t =。

所以均衡的结果是：市场上质量位于区间[],3t t 上的汽车都会被出售，而每辆车的成交价格位于区间[],3t t 。

②3z t <时，此时市场上汽车的平均质量为2

t z +，消费者的保留价格为： ()33224

t z t z +⨯=+ 特别地，此时不等式()34

t z z +>成立，这就意味着消费者愿意支付的最高价格超过了市场上最好的汽车的质量，所以均衡的结果是：市场上所有的汽车都会被出售，而每辆车的成交价格位于区间()3,4z t z ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦

。 综合上述分析可知，市场不会萎缩。

（3）当3z t ≥时，信息不对称市场的交易规模比信息对称市场减少了3z t -，此时买主和卖主的总剩余为：

()323d 2t

t t q q t -=⎰ 较之信息对称市场上买主和卖主的总剩余()2231d 24z t q q q z t ⎛⎫-=-⎰ ⎪⎝⎭

，信息不对称市场上买主和卖主的总剩余减少了()22194

z t -。 3z t <时，交易规模不变，买卖双方的总剩余

()()()2231d 44z t z t z t q q z t +--=-⎰，和信息对称条件下总剩余相同。

2．假定二手车市场上的质量服从[]0,2上的均匀分布，但卖主与买主一样不知道产品质量。如果卖主和买主的效用函数分别为1u M qn =+和2u M qn =+，预算约束分别为

1y M p n =+⋅和2y M p n =+⋅，请证明：市场均衡时有0p >，0q >，并且不存在逆向选择。 证明：在双方都不知道二手车的质量的情况下，买主的效用函数与以前一样：

2232Eu y p n μ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

要使得买主买车，即1n =，必须有：32

p μ≥。 卖主的效用函数为：()11Eu y p n μ=+-，要使得卖主卖车，必须有：p μ≤，此时0n =。

所以有：32p μμ≤≤。 因此均衡时，每辆车的市场价格介于区间3,2μμ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上，并且市场上所有的车都会被出售。

3．在萨洛普与斯蒂格茨一时期的质量模型中，如果

()101p c c αα<--

证明：在均衡时，只有无信息的那部分消费者才会购买；而垄断的供货者则在高质量与低质量之间随机选择。

证明：（1）萨洛普与斯蒂格茨一时期的质量模型

设在一时期内，已有α部分的消费者完全获知了商品的信息，α为外生。假定消费者的偏好为：

u s p θ=-

对于α这一部分消费者来说，当他们发现1s =（质优）时，就愿意付p θ=去购买；当他们发现0s =，就不会买，另外（1α-）部分的消费者只有当他们购买了商品之后才能知道商品质量。因此，有信息的群体只有当他们知道1s =时才购买。假定垄断者的索价[]0,p θ∈，如果有信息的人群α买了，那一定表示该物是优质品，所以成本1c c =，垄断者从α群体上获得的利润为：

()()01p c α--（如果他提供了劣质品）

可知当且仅当：

()()101p c p c α-≥--

即：

()101p c c αα≥--

时，垄断者才改进质量，1s =。

（2）如果()101p c c αα<--，这说明厂商通过提供次品得到的利润大于通过提供正品得

到的利润，因此知道消息的消费者就有理由相信厂商提供的产品是次品，因此他们不会购买。不知道消息的消费者则由于不知道厂商提供的产品是次品，因而继续购买。

对于垄断的卖者来讲，由于他可以通过提供次品而获得更大的利益，因此，他就会有动机去欺骗消费者，向市场提供次品。但是这样一来，又会完全丧失掌握信息的那部分消费者，因此，厂商又有动机提供正品。所以，在均衡时，只有无信息的那部分消费者才会购买；而垄断的供货者则在高质量与低质量之间随机选择。

4．工人或者具有高能力（H ），或者具有低能力（L ）。一项高质量的教育（e ）能够提高工人们的生产率（y ）；高能力的人受了此项教育之后的生产率为：y H de =+；低能力的人受了此项教育之后的生产率为：y L de =+。假定学费与教育质量无关，所以我们抽象掉学费。为了获得这项教育，低能力（L ）的人要承受的非货币的成本为()C e e =；而对高能力（H ）的人来说，该成本为()C e ke =，01d k <<<。对工人的报酬是()W C e -；而