弹性力学讲义

弹性力学

01绪论

1.1弹性力学的内容

1.2弹性力学的几个基本概念 1.3弹性力学中的基本假定。

1.1、弹性力学的内容

弹性力学：研究弹性体由于受外力、边界约束或温度等原因而发生的应力、变形和位移。

研究弹性体的力学：有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下： ①材料力学：研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。

②结构力学：在材料力学基础上研究杆系结构（如桁架、钢架等）

③弹性力学：研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。

在研究方法上，弹性力学和材料力学也有区别：

弹力研究方法：在区域V 内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程；在边界s 上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。

材力也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设(如平面截面假设)来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。

因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件。

例如：

材料力学：研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按直线分布。

()z

M x y

I σ⋅=

弹性力学：梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。

22()345z M x y y y q I h h σ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭

这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。

弹性力学在力学学科和工程学科中，具有重要的地位：

弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。

工科学生学习弹力的目的：

1）理解和掌握弹力的基本理论； 2）能阅读和应用弹力文献；

3）能用弹力近似解法(变分法、差分法和有限单元法)解决工程实际问题： 4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。

1.2、弹性力学中的几个基本概念

1）外力：其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。分为体积力和表面力，简称体力和面力。

体力：作用于物体体积内的力。以单位体积内所受到的力来量度，,,x y z f f f 。量纲：

22L MT --。符号：坐标正向为正。如：重力和惯性力。

lim

V F

f V

∆∆=∆→ 面力：作用于物体表面上力。以单位面积所受到的力来量度，,,x y z f f f 。量纲：

12L MT --。符号：坐标正向为正。如：流体压力和接触力。

lim

S F

f S

∆∆=∆→

【例题1】

表示出下图中正的体力和面力

2）应力

内力：假象切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力距），称为内力。

应力：截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。量纲：

1

2

L MT --。分为正应力

σ，和切应力τ。

lim

A F

p A

∆∆=∆→ 符号规定：

正面：截面上的外法线沿坐标轴的正方向。正面上的应力以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。

负面：截面上的外法线沿坐标轴的负方向。负面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

应力 应力和面力 应力和面力，在正面上，两者正方向一致；在负面上，两者正方向相反。

正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同应力以顺时针为正。

连接前后两面中心的直线ab 作为矩轴，列出力矩平衡方程，得

2202y z

yz z x

zy y x

z

ττ∆∆∆∆-∆∆=

得：=yz zy ττ。同理可得：==xy yx

xz zx ττττ。

切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等

的(大小相等，正符号也相同)。在材料力学中是大小相等，符号相反。

3）形变

形变：形状的改变。以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变ε和切应变γ来表示。 线应变：单位长度的伸缩或相对伸缩,亦称正应变，用ε表示，以伸长为正。 切应变：各线段之间的直角的改变，用γ表示，以直角减小为正，用弧度表示。 正的正应力对应正的线应变。正的切应力对应正的切应变。

∠BAC减小，∠BDC减小。

4）位移

u v w来表示。量纲为L，以坐标正向为正。

位移：一点位移的移动，用,,

一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数。

1.3、弹性力学中的基本假定

在弹性力学的问题里，通常是已知物体的边界(形状和大小)，物体的弹性常数，物体所受的体力，物体边界上的约束情况或面力, 而应力分量、形变分量和位移分量则是需要求解的未知量.

1）考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在体积V内分别建立三套方程。

①建立微分方程：根据微分体的平衡条件；

②建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的几何关系；

③建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系。

2）在弹性体的边界上，建立边界条件。

①应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上的微分体的平衡条件；

②位移边界条件：在给定的约束边界上，根据边界上的约束条件。

求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

弹性力学假定：

为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小的次要因素，作出若干基本假定。

1）连续性：假定物体是连续的，各物理量可以用连续函数表示。

2）完全弹性：①完全弹性：外力取消，变形恢复，无残余变形；②线性弹性：应力与应变成正比，即应力与应变关系可用胡克定律表示(物理线性)。

3）均匀性：假定物体是均匀的。即弹性模量、泊松比等与位置无关。