一元函数求渐近线

1
e4
，
x→−2 +
( x − 1)( x + 2) x→−2 + x→−2 +
( x − 1)( x + 2) 2
1
所以直线 x = −2 不是曲线 y = e x2 arctan
x2 + x +1
的铅直渐近线；
( x − 1)( x + 2)
1
（4）因为 lim e x2 arctan
x2 + x +1
一元函数曲线最多只有两条水平渐近线。
例 如 ， lim arctan x = − π ， lim arctan x = π ， 所 以 直 线 y = π 和 y = − π 是 曲 线
x→ − ∞
2
x→ + ∞
2
2
2
y = arctan x 的水平渐近线；
lim arccot x = π ， lim arccot x = 0 ，所以直线 y = 0 和 y = π 是曲线 y = arc cot x 的水
1
故曲线 y = e x2 arctan
x2 + x +1
有两条渐近性：一条水平渐近线 y = π ，一条铅直渐近
( x − 1)( x + 2)
4
线 x = 0 。故选（B）。
例 2（2007 数学一） 曲线 y = 1 + ln(1 + e x ) 渐近线的条数是（ D ） x
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D） 3 解：函数 y = 1 + ln(1 + e x ) 在 x = 0 处无定义；
x→x 0
x
→
x
+ 0
x
→Leabharlann Baidu
x
− 0
称直线 x = x 0 是曲线 y = f ( x) 的铅直渐近线。
一元函数曲线的铅直渐近线在使得该函数没有意义的点处取得。
例如： lim 1 = ∞ ，所以直线 x = 0 是曲线 y = 1 的铅直渐近线。
x→0 x
x
3．斜铅直渐近线：若 k = lim f ( x) ≠ 0 ，b = lim [ f ( x) − kx]，则称直线 y = kx + b
x→0
x→0
( x − 1)( x + 2)
−2
1
所以 lim e x2 arctan
x2 + x +1
= −∞ ，
x→0
( x − 1)( x + 2)
1
从而直线 x = 0 是曲线 y = e x2 arctan
x2 + x +1
的铅直渐近线；
( x − 1)( x + 2)
1
（2）因为 lim e x2 arctan
1
= lim e x2 lim arctan
x2 + x +1
= 1iarctan1 = π ，
x→∞
( x − 1)( x + 2) x→∞ x→∞
( x − 1)( x + 2)
4
所以直线
y
=
π
是曲线
y
=
1
e x2
arctan
x2 + x +1
的水平渐近线。
4
( x − 1)( x + 2)
1
（5）因为 lim e x2 arctan
斜渐近线 y = x ，选（D）。
x→∞
x
x→∞
( x→+∞ )
( x→+∞ )
( x→−∞ )
( x→−∞ )
是曲线 y = f ( x) 的斜渐近线。
若一元函数曲线有两条水平渐近线，则它一定没有斜渐近线；若一元函数的
图形最多只有一条水平渐近线，则它可能有斜渐近线，也可能没有斜渐近线。
1
例 1．曲线 y = e x2 arctan
ex
)
−
x ⎤⎥⎦
=
lim
x → +∞
1 x
+
lim
x → +∞
⎡⎣ln(1 +
ex
)−
ln e x
⎤⎦
=
0
+
lim
x → +∞
ln
1
+ ex ex
= lim ln(1 + e− x ) = 0 x → +∞
所以直线 y = x 是曲线 y = 1 + ln(1 + e x ) 的斜渐近线； x
故曲线 y = 1 + ln(1 + e x ) 有三条渐近线：一条铅直渐近线 x = 0 ，一条水平渐近线 y = 0 ，一条 x
1
= lim e x2 lim arctan
x2 + x +1
=
π
1
e4
，
x→−2 −
( x − 1)( x + 2) x→−2 − x→−2 −
( x − 1)( x + 2) 2
1
lim e x2 arctan
x2 + x +1
1
= lim e x2 lim arctan
x2 + x +1
=
−
π
x→− ∞
⎡ ⎢ ⎣
1 x2
+
ln(1 + x
ex)⎤ ⎥ ⎦
=
lim
x→− ∞
1 x2
+
lim
x→− ∞
ln(1 + x
ex)
=
0+
0
=
0，
所以直线 y = 0 是曲线 y = 1 + ln(1 + e x ) 的水平渐近线； x
（3）因为
lim
x→+∞
1 x
+
ln(1 + x
ex)
=
lim
x → +∞
⎡ ⎢ ⎣
1 x2
+
ln(1 + x
ex)⎤ ⎥ ⎦
=
lim
x → +∞
1 x2
+
lim
x → +∞
ln(1 + x
ex)
ex
= 0 + lim 1 + e x 1 x → +∞
=
lim
x→+∞
ex 1+ ex
=
lim
x→+∞
e
−
1 x+
1
=
0
1 +
1
=
1
lim
x → +∞
⎡ ⎢⎣
1 x
+
ln(1 +
x
（1）因为 lim x→0
1 x
=
∞
， lim ln(1 x→0
+
ex
)
=
ln
2
，所以
lim
x→0
⎡ ⎢⎣
1 x
+
ln(1 +
ex
)⎥⎦⎤
=
∞
，
从而直线 x = 0 是曲线 y = 1 + ln(1 + e x ) 的铅直渐近线； x
（2）因为
lim
x→− ∞
1 x
+
ln(1 + x
ex)
=
lim
专题讨论 一元函数曲线的渐近线
一元函数曲线的渐近线有三种：水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线。其定
义分别如下：
1．水平渐近线：若 lim f ( x) = A （或 lim f ( x) = A ，或 lim f ( x) = A ）时，则
x→∞
x→ + ∞
x→ − ∞
称直线 y = A 是曲线 y = f ( x) 的水平渐近线。
x2 + x +1
渐近线的条数是（
B
）
( x − 1)( x + 2)
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
解：因为函数在 x = 0 ， x = 1， x = −2 处没有定义，
1
（1）因为 lim e x2 = +∞ ， lim arctan
x2 + x +1
= arctan 1 < 0 ，
=π e，
x→1 +
( x − 1)( x + 2) x→1 + x→1 +
( x − 1)( x + 2) 2
1
所以直线 x = 1不是曲线 y = e x2 arctan
x2 + x +1
的铅直渐近线；
( x − 1)( x + 2)
1
（3）因为 lim e x2 arctan
x2 + x +1
x→ − ∞
x→ + ∞
平渐近线；
lim a x = 0 （ a > 1 ）， lim a x = +∞ ，所以直线 y = 0 是曲线 y = a x 的水平渐近线。
x→ − ∞
x→ + ∞
2．铅直渐近线：若 lim f ( x) = ∞ （或 lim f ( x) = ∞ ，或 lim f ( x) = ∞ ）时，则
x2 + x +1
1
= lim e x2 lim arctan
x2 + x +1
=−π e，
x→1 −
( x − 1)( x + 2) x→1 − x→1 −
( x − 1)( x + 2) 2
1
lim e x2 arctan
x2 + x +1
1
= lim e x2 lim arctan
x2 + x +1
x2 + x +1
1
= lim e x2 lim arctan
x2 + x +1
= 1iarctan1 = π ，
x→∞
( x − 1)( x + 2) x→∞ x→∞
( x − 1)( x + 2)
4
1
所以曲线 y = e x2 arctan
x2 + x +1
没有斜渐近线。
( x − 1)( x + 2)