非线性泛函——Brouwer度的应用

Brouwer度的性质及的应用

拓扑度理论是由L.E.J.Brouwer在1912年创立的。L.E.J.Brouwer所创立的拓扑度是针对有限维空间中的连续映射，现在称之为Brouwer度。组合拓扑学的奠基Brouwer于二十世界初提出的一个重要概念，Brouwer 通过引入一个复形到另一个复形的映射类和映射的度[1]（即现在的Brouwer度）这些概念，能够第一次处理所谓一流形上的向量场的奇点，同时利用组合的办法，还得到了注明的Brouwer不动点定理。这些定理有深刻的几何意义，又在分析学中有着重要的应用，尤其是在处理非线性算子方面，拓扑度理论是研究非线性算子定性理论的有力工具[2]，利用它可以推导出许多著名的不动点定理。后来，经过许多作者的努力，将其整个理论建立在不同的基础上，现在较为普遍也较为容易接受的方法是以分析为基础来建立的，它的推到步骤是先对简单的映射和区域定义度数，然后用简单的映射逼近一般映射，用简单的区域逼近一般的区域。随着非线性泛函分析理论体系的形成，到1934年，J.Leray和J.Schauder将Brouwer度的工作推广到Banach空间中的全连续场，从而使拓扑度理论在偏微分方程的研究中发挥了重要的作用。Leray和Schauder关于全连续场的拓扑度成为Leray-Schauder度，继Leray-Schauder的工作之后，拓扑度在理论和应用两个方面都得到了长足的发展。人们应用拓扑度理论得到了局部分定理，大范围分歧定理，以及各种不动点理论。

拓扑度在理论上的发展主要是针对不同的映射类建立拓扑度，概括起来大致有两种情况：一种是保持拓扑度的基本性质，只是讨论对象有了改变，第二种推广是度数以不在保持原有的某些性质，只保持拓扑度理论中的某些基本原则和结论。人们在实Banach空间上建立了非紧性测度，录用非紧性测度给出了一类比全连续场更广泛的映射---严格集压缩映射和凝聚映射，并建立了拓扑度。另外一方面，在实Banach空间上建立逼近格式，然后引入A-Proper映射的概念，对A-proper映射建立广义拓扑度概念， A-proper映射的拓扑度不再是整数，而是一个整数集合，它只保持拓扑度理论的一些基本原则。利用A-Proper 映射的广义拓扑度又引入实可分Hilbert空间中的连续单调映射的拓扑度，极大单调映射与广义伪单调映射之和的拓扑度，并由此获得相应的满射性定理。

接下来我们将介绍Brouwer 度的定义和性质。

1. Brouwer 的定义和性质

1.1.1 Brouwer 度的定义

定义 1.1 [3] 设 Ω 是n R 中的有界开集， :n f R Ω→， f 是2C 的映射（即）()()11,...,,,...,n i n xf f f f x x =在Ω上具有连续的二阶偏导数1,2,...,i n =），()\n p R f ∈∂Ω， 于是()inf ||||0x f x p τ∈∂Ω=->， 作连续函数[):0,R Φ+∞→，

使它满足下面两个条件：

(a) 存在*,δτ， 满足*0δττ<<≤。 且当()*,r δτ∉时，恒友

()0r Φ=；

(b) ()||||1n R z dz Φ=⎰。

定义拓扑度()deg ,,f p Ω如下：

()()()()deg ,,||||f f p f x p J x dx Ω

Ω=Φ-⎰， (1) 其中()f J x 表示f 在点x 的Jacobin 行列式

()()()11,...,,...,n i f n j

D f f f J x D x x x ∂==∂。 注 1.1 满足上述条件（a ）（b ）的连续函数Φ是很多的， 所以要证明上述定义的合理性，必须要证明按（1）式定义的()deg ,,f p Ω不随函数Ω的选取而变， 还要证明()deg ,,f p Ω是一个整数。

以上的度数定义是针对2C 映射的， 接下来我们要用Sard 定理将2C 映射过度到连续映射，为了定义的完整性， 我们将给出Sard 定理， 它的证明可参见[3]。

定理 1.1 [3]设Ω是n R 中的有界开集， :n f R Ω→是1C 映射， 令(){}:,J 0f f N x x x =∈Ω=使得， 则f N 在映射f 下的象()f f N 是n R 中的

Lebesgue 测度为零的集。

现在用Sard 定理和小摄动不变性， 将定义1.1中的对2C 映射定义的拓扑度推广到一般的连续映射， 从而得到Brouwer 度的定义。

定义1.2[3]设Ω是n R 中的有界开集， :n f R Ω→连续， ()p f ∉∂Ω， 于是()inf ||||0x f x p τ∈∂Ω

=->，令 ()()|:max ||f ||n n x T g g R x g x τ∈∂Ω⎧⎫=Ω→-<⎨⎬⎩⎭

是C 映射，且，

可以证明T 不定， 对g T ∈， 有()()()()||||||||||f ||0g x p f x p x g x -≥--->， 因此，()\n p R g ∈∂Ω，g T ∀∈，于是根据定义1.1， ()deg ,,f p Ω有意义。 规定Brouwer 度()()deg ,,deg ,,,f p g p q T Ω=Ω∀∈。

住1.2 要使定义1.2合理，必须证明：当12,g g T ∈ 时， 恒友

()()12deg ,,deg ,,g p g p Ω=Ω。

令

()()01deg ,,deg ,,,h p h p Ω=Ω

从而

()()12deg ,,deg ,,g p g p Ω=Ω

1.1.2 Brouwer 度的性质

接下来，我们讨论Brouwer 度的基本性质， 这些性质不仅是拓扑度理论的重要组成部分， 而且可以直接帮助我们研究和解决具体的非线性问题。 定理 1.2[3]Brouwer 度具有以下性质：

（a ）（正规性）()deg ,,1,,I p p Ω=∀∈Ω 其中I 表示恒等算子。

（b ）（可加性） 设12,ΩΩ是Ω的两个互不相交的开子集， 并且()12\p f ∉ΩΩ⋃Ω，则

()()()12deg ,,deg ,,deg ,,f p f p f p Ω=Ω+Ω。

（c ）（同伦不变性） 设[]:0,1n h R ⨯Ω→连续， 令()(),t h x h t x =， 若

()[]\,0,1n t p R h t ∈∂Ω∀∈， 则()deg h ,,t p Ω保持常数（对于01t ≤≤）

。 （d ）（可解性）（Kronecker 存在定理）若()1deg ,,0f p Ω≠， 则方程