[课件]第三章 正态分布及其应用PPT
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第三章 正态分布及 其应用
第 一 节
正态分布的概l Distribution)
(一)、正态分布的概念
f ( X ) 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 5.8 X
图3-1 某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
-4
-3
-2
-1
01
1
2 2
2
3
3 4
3
5
6
7
1
图3-3 三种不同均数的正态分布
1
2
3
-5
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1
-1
0
1
2
2
3
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5
图3-4 三种不同标准差的正态分布
5、正态曲线下的面积分布有一定的规律: ⑴. 无论μ与σ取何值, 正态曲线与横轴所 夹的面积恒等于1 (100%); ⑵. 正态曲线下的面积有一定的分布规律.
f ( X ) 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.8 4.2 4.6 5 5.4 5.8 X
f (X )1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 X
25 20
人 数
15 10 5 0 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
( u )
X u
u ~ N(0,1 )
1 e ， u 2
2 u 2
2 u 2
2
1 u ( u ) e 2
d u
标准正态分布曲线下面积分布规律
1 u ( u ) e 2
2 u 2
d u
﹣2.58
﹣1.96
7、正态分布是一个分布族。
概括: 正态曲线是一条高峰位于中央(即 均数所在处), 两侧逐渐下降并完全对称, 两 端永不与横轴相交的钟型曲线; 曲线下的 总面积为1或100%, 曲线下的面积有一定 的分布规律。
二、标准正态分布
(Standard normal distribution)
标准正态分布的概念:
x u
xx u s
4. 曲线下对称于0的区间面积相等, 如:区间 (﹣ ∞, ﹣1.96 )与区间(﹢∞, ﹢1.96)的面积相等; 5. 曲线下横轴上的总面积为100%。
标准正态曲线下左侧尾部面积（u值表）
u
-3.0 … 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
4、正态分布由两个参数决定:
μ:位置参数(平均水平),决定曲线在横轴 的位置;当σ一定时,μ越大,曲线沿横轴向 右平行移动;μ越小,曲线平行左移。 σ: 形状参数(离散趋势) , 决定曲线的形态。 当μ一定时, σ越大, 曲线越 “矮胖”,表示 数据分布越分散; σ越小, 曲线越“瘦高”, 数据分布越集中。
标准正态分布表求出与原始变量X有关的概
率值。
正态分布
X1 X2
X3
……
X~N ( , 2)
2 ( X ) 2 2
1 f( X ) e 2
， X
FX ( )
1 e 2
2 ( X ) X 2 2
d X
标准化变换
标准正态分布 u1 u2 u3 ……
身高（cm）
25 20
人 数
15 10 5 0 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
身高（cm）
1 f ( X ) e 2
2 ( X ) 2 2
， X
若随机变量 x的分布 服从这个概率密度函数， 则称 x服从正态分布，
1 FX ( ) e 2
2 ( X ) X 2 2
d X
μ-2.58σ
μ-1.96σ
μ-σ
μ 68.27% 95.00% 99.00%
μ+σ
μ+1.96σ
μ+2.58σ
6、正态曲线有一个最高点和两个拐点: 正态曲线均数所在处为最高点, 在μ±1σ 处各有一个拐点。
﹣1
0 68.27% 95.00% 99.00%
+1
+1.96
+2.58
1 u ( u ) e 2
2 u 2
d u
Ф(u)
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
查标准正态曲线面积表时应注意: 1. 表中曲线下面积为－∞~u的面积,即曲 线下的尾部面积; 2. 当μ和σ已知时, 先根据u变换, 求得u 值后, 再查表; 3. 当μ和σ未知且样本含量足够大时, 可 用样本均数和标准差分别代替总体均 数和总体标准差, 进行u变换, 求得u的 估计值后, 再查表。
( , ) 记作 X~N
2
正态曲线
(二)、正态分布的特征
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
概括: 非负性； 单峰型; 对称性; 由两个参数决定; 曲线下面积的分布有一定规律; 有一个最高点和两个拐点; 正态分布是一个分布族。
1、正态曲线在直角坐标横轴的上方, 呈 钟形曲线, 且两端永不与横轴相交; 2、在X =μ处,曲线最高,即f(x)值最大; X离μ越远, f(x)值越小; 3、正态分布以均数为中心, 左右两侧完全 对称 (因方程中X –μ为平方项,只要其绝对 值相等,则纵高f(x)就相等) ;
0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 … … … … … … …
…
…
…
-2.5
… -1.9 … -1.0 -0.0 …
0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
正态分布是一个分布族, 对应于不同 参数的μ和σ会产生不同位置、不同形 状的正态分布, 为了应用方便, 对于任 何一个均数为μ、标准差为σ的正态分 布, 均可通过变量变换, 将正态分布转 化为标准正态分布。
对任何参数的正态分布,都可以通过一 X 个简单的变量变换 u 化成 0 和 1 的标准正态分布。通常,可以利用
第 一 节
正态分布的概l Distribution)
(一)、正态分布的概念
f ( X ) 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 5.8 X
图3-1 某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
-4
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-2
-1
01
1
2 2
2
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3 4
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图3-3 三种不同均数的正态分布
1
2
3
-5
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-3
-2
1
-1
0
1
2
2
3
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4
5
图3-4 三种不同标准差的正态分布
5、正态曲线下的面积分布有一定的规律: ⑴. 无论μ与σ取何值, 正态曲线与横轴所 夹的面积恒等于1 (100%); ⑵. 正态曲线下的面积有一定的分布规律.
f ( X ) 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.8 4.2 4.6 5 5.4 5.8 X
f (X )1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 X
25 20
人 数
15 10 5 0 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
( u )
X u
u ~ N(0,1 )
1 e ， u 2
2 u 2
2 u 2
2
1 u ( u ) e 2
d u
标准正态分布曲线下面积分布规律
1 u ( u ) e 2
2 u 2
d u
﹣2.58
﹣1.96
7、正态分布是一个分布族。
概括: 正态曲线是一条高峰位于中央(即 均数所在处), 两侧逐渐下降并完全对称, 两 端永不与横轴相交的钟型曲线; 曲线下的 总面积为1或100%, 曲线下的面积有一定 的分布规律。
二、标准正态分布
(Standard normal distribution)
标准正态分布的概念:
x u
xx u s
4. 曲线下对称于0的区间面积相等, 如:区间 (﹣ ∞, ﹣1.96 )与区间(﹢∞, ﹢1.96)的面积相等; 5. 曲线下横轴上的总面积为100%。
标准正态曲线下左侧尾部面积（u值表）
u
-3.0 … 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
4、正态分布由两个参数决定:
μ:位置参数(平均水平),决定曲线在横轴 的位置;当σ一定时,μ越大,曲线沿横轴向 右平行移动;μ越小,曲线平行左移。 σ: 形状参数(离散趋势) , 决定曲线的形态。 当μ一定时, σ越大, 曲线越 “矮胖”,表示 数据分布越分散; σ越小, 曲线越“瘦高”, 数据分布越集中。
标准正态分布表求出与原始变量X有关的概
率值。
正态分布
X1 X2
X3
……
X~N ( , 2)
2 ( X ) 2 2
1 f( X ) e 2
， X
FX ( )
1 e 2
2 ( X ) X 2 2
d X
标准化变换
标准正态分布 u1 u2 u3 ……
身高（cm）
25 20
人 数
15 10 5 0 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
身高（cm）
1 f ( X ) e 2
2 ( X ) 2 2
， X
若随机变量 x的分布 服从这个概率密度函数， 则称 x服从正态分布，
1 FX ( ) e 2
2 ( X ) X 2 2
d X
μ-2.58σ
μ-1.96σ
μ-σ
μ 68.27% 95.00% 99.00%
μ+σ
μ+1.96σ
μ+2.58σ
6、正态曲线有一个最高点和两个拐点: 正态曲线均数所在处为最高点, 在μ±1σ 处各有一个拐点。
﹣1
0 68.27% 95.00% 99.00%
+1
+1.96
+2.58
1 u ( u ) e 2
2 u 2
d u
Ф(u)
-3
-2
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0
1
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u
查标准正态曲线面积表时应注意: 1. 表中曲线下面积为－∞~u的面积,即曲 线下的尾部面积; 2. 当μ和σ已知时, 先根据u变换, 求得u 值后, 再查表; 3. 当μ和σ未知且样本含量足够大时, 可 用样本均数和标准差分别代替总体均 数和总体标准差, 进行u变换, 求得u的 估计值后, 再查表。
( , ) 记作 X~N
2
正态曲线
(二)、正态分布的特征
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
概括: 非负性； 单峰型; 对称性; 由两个参数决定; 曲线下面积的分布有一定规律; 有一个最高点和两个拐点; 正态分布是一个分布族。
1、正态曲线在直角坐标横轴的上方, 呈 钟形曲线, 且两端永不与横轴相交; 2、在X =μ处,曲线最高,即f(x)值最大; X离μ越远, f(x)值越小; 3、正态分布以均数为中心, 左右两侧完全 对称 (因方程中X –μ为平方项,只要其绝对 值相等,则纵高f(x)就相等) ;
0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 … … … … … … …
…
…
…
-2.5
… -1.9 … -1.0 -0.0 …
0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
正态分布是一个分布族, 对应于不同 参数的μ和σ会产生不同位置、不同形 状的正态分布, 为了应用方便, 对于任 何一个均数为μ、标准差为σ的正态分 布, 均可通过变量变换, 将正态分布转 化为标准正态分布。
对任何参数的正态分布,都可以通过一 X 个简单的变量变换 u 化成 0 和 1 的标准正态分布。通常,可以利用