薛定谔方程推导

§2.3薛定谔方程

重点：薛定谔方程是量子力学的五个基本假设之一 难点：薛定谔方程的理解

经典力学中，质点的状态由p r v

v ,描写，它们遵从牛顿定律；量子

体系的状态由Ψ描写，应找出与牛顿定律相当的运动方程，作为量子力学的基本方程，它决定Ψ随时间的变化规律。

一、 量子力学运动方程（方程）应满足以下条件 dinger o Sch &&1.方程中仅含有Ψ关于的一阶导数

t t

∂Ψ

∂，不能含有的二阶以上的导数t ,...22t

∂Ψ∂。因假定),(t r v

Ψ完全描写体系的状态，给定了

后，根据方程可求得以后任何时刻的态，而且是唯一的，

故方程中不能含),(0t r v

Ψ, (22)

t

∂∂否则描写态还需

, 0

t t t =∂Ψ∂。

2.方程中关于Ψ及对时、空导数应为线性的。

Ψ 因迭加原理要求，如,...,...,21n ΨΨΨ是体系的可能态，即方程的解，则∑Ψ=Ψn

n n c 也是体系的一个可能态，即也是方程的一个解。

3.方程中不能含有决定体系状态的具体参量，如L P E v

v ,,等，这样方程才具有普遍意义，否则是描写某一个E 或P v

有确定值的方程。

二、 方程的建立（非推导）

1．自由粒子的波方程（从自由粒子平面波出发）

已知（自由粒子的方程）： dinger o

Sch && )(),(Et r p i Ae t r −⋅=Ψv

v h v

，

它是所要建立方程的解。求得：

Ψ−=−=∂Ψ∂−⋅E i

EAe i t Et r p i

h h v

v h )( ， Ψ∂∂=Ψt i E h ， （1） 再对坐标求二次偏微分： )(),(Et z p y p x p i

z y x Ae t r −++=Ψh v

， Ψ=∂Ψ∂x p i x h ， Ψ−=∂Ψ

∂22

22h x p x ，

同理 Ψ−=∂Ψ∂22

22h y p y , Ψ−=∂Ψ

∂2222h

z p z

三式相加得：Ψ++−=Ψ∂Ψ∂+∂Ψ∂+∂Ψ∂)(1)(22

22222222z y x

p p p z y x h 即： Ψ−=Ψ∇22

2

h

p ， , （2）

Ψ∇−=Ψ222h p 利用自由粒子的能动关系式：µ22

p E = ，有

Ψ∇−=Ψ=Ψ=∂Ψ

∂22222µµh h p E t

i

即：Ψ∇−=∂Ψ

∂222µh h t

i (自由粒子的波方程) （3）

它满足前面的条件。

2．一般力场的薛定谔方程 从 Ψ∂∂=Ψt i E h 和 Ψ∇−⋅∇−=Ψ)()(),(h h v

v i i p p 可以看出，

粒子能量E 和动量p v

各与下列作用在波函数上的数学符号相当： t

i E ∂∂↔h

， ∇−↔h v

i p ， （4） 222∇−↔h p 它们分别叫作能量算符与动量算符。如果把µ

22

p E =两边同乘以Ψ

再以（4）式代入即可得方程（3）。

如果粒子在一般力场中运动，即0),(≠t r U v

，则

),(22t r U p E v +=µ

，两边同乘以Ψ，有：

Ψ+Ψ=Ψ),(22t r U p E v µ

，

把（4）式代入得： Ψ+Ψ∇−=∂Ψ∂),(222t r U t i v

h h µ

， （5）

此方程合乎（一）中的三点要求，称之为.方程或波动方程。 S 说明：①是假定了自由粒子的Ψ形式的基础上所建立起来的； ②非推导，而是建立，因有假定。

3.推广到个粒子体系—多粒子体系的薛定谔方程

N 体系的能量∑=+=N

i N i

i t r r r U p E 1212),,...,(2v

v v µ ，U —包括体系在外

场中的能量和粒子间的相互作用能。两边同乘Ψ，作代换：

t

i E ∂∂→h ，i i i p ∇−=h v

得：

∑=Ψ+Ψ∇−=Ψ∂∂

N

i i i

U t i 1222µh h —多粒子体系的.方程。 （6）

S 另外，其它方法：Dirac 编著的《量子力学》中Ⅱ§27 和编著的《量子力学》中Ⅱ§8.,均用到经典力学和分析力学知识及算符知识，都是从①Chapter Landan Chapter Ψ完全描写态，②迭加原

理出发，③再用经典极限类比，得到的方程。还可以作为基本假设直接给出方程的形式。

dinger o Sch &&总之，不论用什么方法，都不是从更基本的理论导出方程，而是建立方程，而且得到的都是这种形式，它的正确性是靠实验

来证实的。所以它和牛顿定律一样，是对大量实验的综合，该方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿定律。知道了),(t r U v 及),(0t r v Ψ即可从该方程中求得以后任何时刻的),(t r v

Ψ，从

而求得2

),(t r v Ψ及一切力学量的分布。