《热力学与统计力学》作业参考答案

s
s
s
所以
(E
E)2
E
kT2
E T
kT 2CV
对于单原子理想气体， CV
3 Nk ，所以 2
(E E)2
k T 2CV
3 Nk2T 2 2
9.
.解： Z1
4V h3
ecp p2dp
0
8V ( ch)3
；
U N ln Z1 3NkT ； P N 1 ln Z1 NkT
V V
S
Nk[ln
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以上仅为参考答案，简答、论述题均只列及主要的解题知识点，请您结合自我理解和课本内容进行知识 掌握和巩固。如对答案等有疑义，请及时登录学院网站“辅导论坛”栏目，与老师交流探讨！
考虑到 T=0K 时的电子分布函数
f ＝1
ε≤μ0
f ＝0
ε≥μ0
费米能量由下式决定
N
f ( )g( )d
0.5
1
1.5
2
(1) 为提高实际热机效率指明了方向，即要提高高温热源温度，降低低温热源温度； 尽量减少摩擦和漏热。
（2）由于卡诺循环效率公式与工质无关，所以为引入绝对热力学温标奠定了基础 5. 答：热力学第零定律的意义有两点：
（1）定义了温度，即温度是达成热平衡的诸热力学系统的共同宏观性质； （2）为制造温度计提供了依据。 三. 证明题
N
ln
Zl
＝3NkT；
S
Nk ln
Zl
ln Z
3 2
Nk
ln T
Nk
lnV
3 2
Nk
1
ln
2mk h2
和
p
N
V
ln Zl
NkT V
6. 解：在极端相对论条件下，电子的动量能量关系为ε＝c p 。 在体积 V 内，能量在ε到ε+dε范围内，电子的量子态数为
g( )d 8V 2d (ch ) 3
Z1
ln Z1 ]
k
ln
N!
Nk
ln[8V N
kT hc
3
]
4Nk
10. 解：在极端相对论条件下，电子的动量能量关系为ε＝c p 。在体积 V 内，能量在 ε到ε+dε范围内，电子的量子态数为
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20.
2V h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
21. 粒子在某一时刻的运动状态 系统在某一时刻的运动状态
22. 平方项 1 k T 2
23. 可逆 24. 温度、压强 25. T、ｐ 26. H。 27. 5KT/2 28. 费米能量 29. 宏观性质、时间
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V
SA
SB
12. 解：在二维情形下，在面积 S 内，动量在 p-p+dp 范围内的量子态数为
g(
p)dp
2
1 h2
dxdydp xdp y
4S h2
pdp
由 cp 和 ，得在 ω－ω＋dω 内的量子态数为
g ( )d
S c 2
d
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V 2c3
2d
平均光子数为 V 2c3
2d e / kT 1
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辐射场的内能为
U (,T )d
V 2c3
3d e / kT 1
;
p
5. dU TdS pdV
H p
T
V
T
V T
，代入上式后，原题得证。
p
U p
T
T
S p
T
p
V p
T
T
V T
p
p
V p
T
6. dU=TdS-pdV, 设 S=S(T,V),
dS
S T
V
dT
S V
T
dV
7. 证：
dU
CV dT
T
p T
V
pdV
设 S(T, p) S(T, (V (T, p)) ，
ZA
Z
NA 1A
N A!
V NA
N A!
2m A k T h2
3NA /2
ZB
Z
NB 1B
NB!
V NB NB!
2m B k T h2
3NB /2
由 ln
Z
ln
ZA
ln
ZB
和
p
kT
V
ln
Z
，得
pV (N A N B )kT
5.
解： Z1 V
2 m h 2
2
/
3
利用热力学得，U
频率在 ω－ω＋dω 内的辐射能量为
U (,T )d
f
( )g()d
S c 2
2d e 1
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30. 不变、增加 31. Ｔ、ｐ 32. 等焓 33. 最大能量 34. 玻色 二. 简述题 1. 近独立粒子的最概然统计包含那三种统计分布？它们各自处理什么系统？试分别举例说明。 近独立粒子的最概然分布包括玻耳兹曼分布、费米分布和玻色分布，它们分别处理定域子系统、费米子系统
和玻色系统。定域子系统的例子有固体等，费米子系统的例子金属中的电子气等，玻色子系统的例子与辐射
g( )d 8V 2d (ch ) 3
考虑到 T=0K 时的电子分布函数
f ＝1
ε≤μ0
f ＝0
ε≥μ0
费米能量由下式决定
N f ( )g( )d g( )d
0
0
8V (ch ) 3
0
2d
8V (ch ) 3
1 3
3 0
0
由上式得
0
hc
3N 8V
1/ 3
T=0K 时系统的内能为
《热力学与统计力学》作业参考答案
一. 填空题 1. 非常缓慢，平衡态
2. 不可逆，可逆 3. 一级偏导，二级偏导 4. H=U+PV，（dQ）P = dH 5. 不可能将热量从低温物体传到高温物体而不产生任何其他影响 6. S＝klnΩ，混乱度 7. 适当，所有热力学性质 8. 永不减少
9.
D( )d
1. dH TdS VdP
H P
T
T S P T
V
=
T
V T
P
V
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2． dU TdS PdV
e 2 e 2
e n
1
e 2
1 e
n1
n1
8. 解： (E E)2
s(E Es )2
s (Es2
2Es
2
E)
E2
(E)2
s
s
对于正则分布
E
E s e Es
E
2 s
e
Es
( EseEs )2
s
e Es
s
e Es
s (
eEs )2 E 2 (E)2
场等。
2. 试用定性与半定量方法说明电子气的热容量与温度 T 成正比，并说明在常温下电子气对金属热容量贡献 很小的原委。
(1)由于电子是费米子，遵守泡利不相容原理，所以在常温下只有受热激发跃迁到较高能级上的少数电子对
热容量有贡献，设其数量为 N 有效，它与总电子数 N 之比为 N有效 ＝kT ，设每个有效电子对能量的贡献为 3 k T ，
可得
S T
p
S T
V
S V
T
V T
p
Cp
CV
T
S V
T
V T
，
p
结果得证。
利用麦氏关系
S V
T
p T
V
四. 计算题
1.
解：对于光子气体，α＝0，
由 B-E 统计有
al
l el 1
在 p-p+dp 内，光子的量子态数为
8 V h3
p 2 dp
在ω－ω＋dω内，光子的量子态数为
曲线如图所示。
25
20
(1)经典：固体视为 3N 个线性谐振子的集合，遵守能均分定律； 15
(2)爱因斯坦：固体视为 3N 个频率相同的线性谐振子的集合，遵守量子规 10
律；
5
(3)德拜：固体视为 3N 个频率不相同的线性谐振子的集合，遵守量子规律。 4. 试说明卡诺循环效率公式的意义。
答：卡诺循环效率公式的意义如下：
2. 解：
Z1
e (n1/ 2)
n0
e / 2 1 e
；
U
3N
ln
Z1
3N
2
3N e 1
3. 解：T＝0K 时
f=1
ε＜μ0
f=0
ε＞μ0
μ0 是 0K 是电子的最大能量，由下式确定：
0
0
4V h3
(2m)2/3 1/ 2d
N
将上式积分，得
0
h2 3
2m
8
N V
2/3
4. 解： Z Z AZ B
N
2
则与温度有关的内能为U
N 有效
3 kT 2
3Nk 2T 2 20
，电子气对热容量的贡献为 CVe
T
。
(2)在常温下, 由于 kT 1 ，所以电子气对金属热容量的贡献很小。 0
3. 大致画出固体热容量随温度变化的曲线（(1)经典理论；(2)爱因斯坦理论；(3)德拜理论），并简述固体的 三种理论模型。
g( )d
8V (ch ) 3
0
2d
8V (ch ) 3
1 3
03
0
0
0
由上式得Байду номын сангаас
0
hc
3N 8V
1/ 3
T=0K 是系统的内能为
U0
f ( )g( )d
0
0
g( )d
0
8V (ch ) 3
0
3d
0
8V (ch ) 3
1 4
2 0
3 4
N0
7.
解： Z1
(n 1 )
1
复合系统的配分函数为
z
e Er,s
e ( Er Es )
r,s
r,s
= ( eEr ) ( eEs ) z A zB
r
s
复合系统的自由能为
F kT ln z kT ln zA kT ln zB ＝ FA FB
复合系统的熵为
S
F T V
FA T V
FB T
U
S V
U
V
U
S
＝P
T
0
S V
3. T V S 1；
V S S T T V
T V
S
T T S
S V
T
T CV
p T
V
T
4.
T p
H
p H
H T T
p
1 ;
T p
H
H p
T
H T p
又，
Cp
H T
0
U0 f ( )g( )d g( )d
0
0
8V (ch ) 3
0
3d
0
8V (ch ) 3
1 4
02
3 4
N0
11. 解：设系统 A 的状态用指标 r 来表征，相应的能量为 Er;系统 B 的状态用 s 来表征，相应的能量为 Es;
复合系统的状态用指标 r,s 表征，相应的能量为
Er,s = Er + Es 。
2V h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
10.大量的性质完全相同的系统的集合 11. e-α<< 1 12. dS≥dQ/dT
13. 斜率 dP
L
dT T (v2 v1 )
14. 2 15. 力学参量、几何参量、化学参量、电磁参量 16. 不可逆的 可逆的
17. ωl/al>>1 18. 相等 ， 工作物质无关 19. 强度 ， 广延