二重积分的变换.

D 可表示为
0 , 0 r 2.
2
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0
d
2
0
f
(r
cos
,
r sin ) r
dr.
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
r2 o 2A
3）在极坐标系中，闭区域 D 可表示为
0 2 , 0 r 2. 2
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
02 d 02 f (r cos , r sin ) r dr.
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
2
r2
D
o
2A
4） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
2
2
,
0 r 4cos .
y
x2 y2 4x
D o
4x
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
的三种情形
r 1( )
r 2( )
1、区域特征如图
D
,
D：
1( ) r 2( ).
f ( x, y)dxdy
D
o r 1( )
A
DD r 2( )
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
A
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
2、区域特征如图
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标系下二重积分的一般公式
1、面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
r ri ri r ri
2、一般公式
f ( x, y)dxdy
o
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
i i
i D
i A
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
所以圆方程为 r 1,
直线方程为
r
sin
1
cos
,
x2 y2 1 x y1
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
2 d
0
1 1
sin cos
f (r cos , r sin )rdr.
例 3 计算 e x2 y2dxdy，其中 D 是由中心在原点，
2
2
d
15(
4
3 8
).
r 4sin
r 2sin
3
6
例 5 求广义积分 e x2 dx . 0
解：D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
S {(x, y) | 0 x R,0 y R}
D2 S
DSD1 2
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
ex2 dx
.
0
2
例 6 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3 y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解：
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy。
D
x r cos
y
r
sin
其中 D 为由圆 x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直
线 x 3 y 0， y 3 x 0 所围的闭区域.
解： x 3 y 0
1
6
x2 y2 4 y r 4sin
y
3x 0
2
3源自文库
x2 y2 2 y r 2sin
D
02
d
( )
0
f
(r cos ,
r sin ) r
dr.
极坐标系下区域的面积 rdrd .
D
例1 将 f ( x, y) d 化为在极坐标系下的二次积分。
D
y
1）
2
x2 y2 4
D
o
2x
2）
2
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
3）
2
y
2
x2 y2 4 4）
y
x2 y2 4x
D
o
D： , 0 r ( ).
f ( x, y)dxdy
D
r ( )
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
0
(
)
f
(r cos ,
r sin ) r
dr.
3、区域特征如图
0 2 , 0 r ( ).
r ( )
D
f ( x, y)dxdy
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
r 4sin
r 2sin
3
6
( x2 y2 )dxdy r 2 rdrd
D
D
( x2 y2 )dxdy r 2 rdrd
D
D
3 d 4sin r 2 rdr 6 2sin
3 6
r4 4
4 sin 2 sin
d
60
3sin4
6
d
15
3 6
1 cos2
R 2R
{x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
ex2 y2dxdy ex2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
D1
S
D2
又 I ex2 y2 dxdy
S
R ex2dx R e y2dy ( R e x2dx)2;
0
0
0
I1 e x2 y2dxdy
D1
2 d
R e r2 rdr
(1 eR2 );
0
0
4
同理I2
D2
ex2 y2 dxdy
(1 e2R2 ); 4
I1 I I2,
(1 eR2 ) ( R ex2 dx)2 (1 e2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
2x
D o
4x
2
解： 1）在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
0
2
,
0 r 2.
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0 2 d 02 f (r cos , r sin ) r dr.
y
2
x2 y2 4
D
o 2x
r2
o
2A
2） 在极坐标系中，闭区域
D
2 2
d
4 cos
0
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
r 4cos
2
2
o
2A
例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy 的极坐标二次积分形式，
D
其中 D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解：在极坐标系下
x
r cos
y r sin
D
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解： 在极坐标系下
ra
D：0 r a，0 2 .
e x2 y2dxdy er2 rdrd
D
D
o
aA
2
0
d
ae r 2
0
rdr
1 2
2
0
d
0aer2d (r 2 )
1 2
02
er2
a
0 d
(1 ea2 ).
x r cos
y
r
sin