高级数字控制器分析与设计
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⑴ 状态：泛指系统过去、现在和将来的运动状况。动 态系统的状态，是指能够完全描述系统时域动态行 为的一个最小变量组。
该变量组的每个变量称为状态变量。 该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。 对同一个系统，状态变量的选取并不是惟一的。
4
状态法的主要概念
⑵ 状态向量:如果完全描述一个给定系统的动态行为 需要n个状态变量，则用这n个状态变量构成的列向 量x(k)就叫做该系统的状态向量。
x(k 1) Ax(k) Bu(k) 所示系统为状态x(0)
能控的。如果系统对任意初始状态都能控，则称系 统为状态完全能控，或称(A，B)为状态完全能控的， 简称系统具有能控性。
12
4.1.2 能控性
设式 x(k 1) Ax(k) Bu(k)所示的系统阶次
为n，系统的初始状态为x(0)，则在u(k)的作用下有
都能存在解{ u(n 1), ,u(1),u(0) }。
此时，如果A是非奇异的，则An也是非奇异的，Anx(0) 是x(0)的全映射，所以，对任意x(0)，满足该条件的 充分必要条件是（如果A奇异，则为充分条件）：
由式(4．4)和式(4．5)可见，系统的输入输出关系被
分成两段进行描述，即动态方程的一段(式4．4)描述
系统输入和初始条件引起系统内部状态的变化；代数
方程的一段(式4．5)则描述系统内部状态变化引起系
统输出的变化。
8
第八讲 高级数字控制器分析与设计
数字控制器状态变量分析理论基础（2） ① 能控性 ② 能观测性 ③ 对偶原理 ④ 坐标变换与标准型
y(k) C(k)x(k) D(k)u(k)
线性定常离散时间系统的状态方程描述为：
x(k 1) Ax(k) Bu(k) (4.1)
y(k) Cx(k)
(4.2)
对于状态空间描述，状态方程的形式与所选的状 态变量有关，因而不是惟一的。
6
状态空间描述
例4．1 设离散时间系统由差分方程
y(k 2) y(k 1) 3 y(k) u(k) 4
9
4.1.2 能控性
能控性和能观测性粗略地说来，是指一个系统的 工作状态能否得到控制和能否通过输出和输入变量而 唯一确定的性质。
把状态向量看作系统的被控制量，就产生了状态 能否被输入量所控制和能否由输出量观测出来的问题。 一个实际系统的能控性、能观测性有四种可能的组合： 能控能观测，不能控不能观测，能控不能观测，不能 控能观测。
n1
x(n) Anx(0) Ani1Bu(i)
写成矩阵形式，有
i0
(4.3)
x(n) Anx(0) B AB
u(n 1)
u(n 2)
A
n1B
u(1)
(4.4)
u(0)
13
4.1.2 能控性
存在控制序列 u(0), ,u(n 1) 将系统由任意非零x(0)
转移到终点x(n)=0，等价于上述方程中当左边x(n)=0时，
能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的测 辨能力两个方面揭示了控制系统构成的基本问题，克 服了经典方法的局限性。
10
4.1.2 能控性
能控性和能观测性是现代 控制理论中两个重要的基 本概念，由Kalman于 1960年提出。
能控性是u(t)支配x(t)的能 力，回答u(t)能否使x(t)作 任意转移的问题；
采用适当的变换，可以将上述n阶差分方程化成等价的n 个一阶差分方程组成的方程组。采用矩阵符号可以将后 者表示成一个一阶向量矩阵差分方程，从而大大简化系 统方程的数学表达式。利用状态变量法的概念，可以帮 助工程技术人员在系统分析和设计时考虑系统的初始条 件，而这个特点在经典方法中是不具备的。
3
状态法的主要概念
3．状态变量法还可应用于非线性系统、时变系 统的分析与设计。
4．状态变量法有利于采用现代分析的方法，如 优化方法等实现控制系统设计。
2
4．1．1 状态空间与状态方程
离散时间系统的运动可以通过差分方程描述：
y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) bnu(k n) bn1u(k n 1) b1u(k 1) b0u(k)
描述。试写出系统的状态方程和输出方程。
选取状态变量x1(k)=y(k)、x2(k)=y(k+1)，显然， x1(k)和x2(k)满足关系式 x1(k+1)=x2(k)，
x2(k+1)=y(k+2)
并且x1(k)和x2(k)是一组数目最少的足以描述系统全 部运动的变量。因此它是系统的一组状态变量。可以 直观地写系统的状态方程
3 x1(k 1 ) x2(k) 和 x2(k 1) 4 x1(k) x2(k) u(k)
7
x(k
)
x1 x2
(k ) (k )
状态空间描述
令
x(k )
x1(k)
x2
(k
)
为系统的状态向量，则可以将状态方程简写成
0
x(k
1)
3
4
1
1
x(k
)
0 1
u(k )
y(k) 1 0x(k)
能观性是y(t)反应x(t)的能 力，回答是否能通过y(t)的 量测来确定x(t)的问题。
能控?
r维u(t)
状态 n维x(t)
能控?
状态
u(t)
x(t)
能观测?
m维y(t)
y(t)
11
百度文库
4.1.2 能控性
能控性定义： 对于状态方程式 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
所描述的n阶系统，如果能找到有界整数k个有限输 入序列u(0)，u((1)，…，u(k一1)，使系统从任意 非零初始状态x(0)，到达终态x(n)＝0，则称式
⑶ 状态空间:状态向量x的所有可能值的集合称为状态 空间。
⑷ 状态方程:描述系统状态变量和系统输入之间关系 的一阶差分方程组称为状态方程。
(5) 输出方程：描述系统输出变量与状态变量间的变 换关系。
5
状态空间描述
线性状态方程的标准形式是：
x(k 1 ) A(k)x(k) B(k)u(k)
输出方程的标准形式为：
第四章 高级数字控制器的分析与设计
数字控制器状态变量分析理论基础 数字控制器状态变量设计法
1
4．1 数字控制器状态变量分析理论基础
对于计算机控制系统的分析与设计，与经典方法 相比，状态变量法有以下的优点：
1．采用状态变量法有利于直接利用计算机求解 和分析。
2．状态变量法不但适用于单输入单输出系统， 也适用于多变量系统。并且在各种情况下系统模型具 有统一的形式。
该变量组的每个变量称为状态变量。 该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。 对同一个系统，状态变量的选取并不是惟一的。
4
状态法的主要概念
⑵ 状态向量:如果完全描述一个给定系统的动态行为 需要n个状态变量，则用这n个状态变量构成的列向 量x(k)就叫做该系统的状态向量。
x(k 1) Ax(k) Bu(k) 所示系统为状态x(0)
能控的。如果系统对任意初始状态都能控，则称系 统为状态完全能控，或称(A，B)为状态完全能控的， 简称系统具有能控性。
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4.1.2 能控性
设式 x(k 1) Ax(k) Bu(k)所示的系统阶次
为n，系统的初始状态为x(0)，则在u(k)的作用下有
都能存在解{ u(n 1), ,u(1),u(0) }。
此时，如果A是非奇异的，则An也是非奇异的，Anx(0) 是x(0)的全映射，所以，对任意x(0)，满足该条件的 充分必要条件是（如果A奇异，则为充分条件）：
由式(4．4)和式(4．5)可见，系统的输入输出关系被
分成两段进行描述，即动态方程的一段(式4．4)描述
系统输入和初始条件引起系统内部状态的变化；代数
方程的一段(式4．5)则描述系统内部状态变化引起系
统输出的变化。
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第八讲 高级数字控制器分析与设计
数字控制器状态变量分析理论基础（2） ① 能控性 ② 能观测性 ③ 对偶原理 ④ 坐标变换与标准型
y(k) C(k)x(k) D(k)u(k)
线性定常离散时间系统的状态方程描述为：
x(k 1) Ax(k) Bu(k) (4.1)
y(k) Cx(k)
(4.2)
对于状态空间描述，状态方程的形式与所选的状 态变量有关，因而不是惟一的。
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状态空间描述
例4．1 设离散时间系统由差分方程
y(k 2) y(k 1) 3 y(k) u(k) 4
9
4.1.2 能控性
能控性和能观测性粗略地说来，是指一个系统的 工作状态能否得到控制和能否通过输出和输入变量而 唯一确定的性质。
把状态向量看作系统的被控制量，就产生了状态 能否被输入量所控制和能否由输出量观测出来的问题。 一个实际系统的能控性、能观测性有四种可能的组合： 能控能观测，不能控不能观测，能控不能观测，不能 控能观测。
n1
x(n) Anx(0) Ani1Bu(i)
写成矩阵形式，有
i0
(4.3)
x(n) Anx(0) B AB
u(n 1)
u(n 2)
A
n1B
u(1)
(4.4)
u(0)
13
4.1.2 能控性
存在控制序列 u(0), ,u(n 1) 将系统由任意非零x(0)
转移到终点x(n)=0，等价于上述方程中当左边x(n)=0时，
能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的测 辨能力两个方面揭示了控制系统构成的基本问题，克 服了经典方法的局限性。
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4.1.2 能控性
能控性和能观测性是现代 控制理论中两个重要的基 本概念，由Kalman于 1960年提出。
能控性是u(t)支配x(t)的能 力，回答u(t)能否使x(t)作 任意转移的问题；
采用适当的变换，可以将上述n阶差分方程化成等价的n 个一阶差分方程组成的方程组。采用矩阵符号可以将后 者表示成一个一阶向量矩阵差分方程，从而大大简化系 统方程的数学表达式。利用状态变量法的概念，可以帮 助工程技术人员在系统分析和设计时考虑系统的初始条 件，而这个特点在经典方法中是不具备的。
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状态法的主要概念
3．状态变量法还可应用于非线性系统、时变系 统的分析与设计。
4．状态变量法有利于采用现代分析的方法，如 优化方法等实现控制系统设计。
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4．1．1 状态空间与状态方程
离散时间系统的运动可以通过差分方程描述：
y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) bnu(k n) bn1u(k n 1) b1u(k 1) b0u(k)
描述。试写出系统的状态方程和输出方程。
选取状态变量x1(k)=y(k)、x2(k)=y(k+1)，显然， x1(k)和x2(k)满足关系式 x1(k+1)=x2(k)，
x2(k+1)=y(k+2)
并且x1(k)和x2(k)是一组数目最少的足以描述系统全 部运动的变量。因此它是系统的一组状态变量。可以 直观地写系统的状态方程
3 x1(k 1 ) x2(k) 和 x2(k 1) 4 x1(k) x2(k) u(k)
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x(k
)
x1 x2
(k ) (k )
状态空间描述
令
x(k )
x1(k)
x2
(k
)
为系统的状态向量，则可以将状态方程简写成
0
x(k
1)
3
4
1
1
x(k
)
0 1
u(k )
y(k) 1 0x(k)
能观性是y(t)反应x(t)的能 力，回答是否能通过y(t)的 量测来确定x(t)的问题。
能控?
r维u(t)
状态 n维x(t)
能控?
状态
u(t)
x(t)
能观测?
m维y(t)
y(t)
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4.1.2 能控性
能控性定义： 对于状态方程式 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
所描述的n阶系统，如果能找到有界整数k个有限输 入序列u(0)，u((1)，…，u(k一1)，使系统从任意 非零初始状态x(0)，到达终态x(n)＝0，则称式
⑶ 状态空间:状态向量x的所有可能值的集合称为状态 空间。
⑷ 状态方程:描述系统状态变量和系统输入之间关系 的一阶差分方程组称为状态方程。
(5) 输出方程：描述系统输出变量与状态变量间的变 换关系。
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状态空间描述
线性状态方程的标准形式是：
x(k 1 ) A(k)x(k) B(k)u(k)
输出方程的标准形式为：
第四章 高级数字控制器的分析与设计
数字控制器状态变量分析理论基础 数字控制器状态变量设计法
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4．1 数字控制器状态变量分析理论基础
对于计算机控制系统的分析与设计，与经典方法 相比，状态变量法有以下的优点：
1．采用状态变量法有利于直接利用计算机求解 和分析。
2．状态变量法不但适用于单输入单输出系统， 也适用于多变量系统。并且在各种情况下系统模型具 有统一的形式。