常微分方程初值问题的数值解法

就得到初值问题(7.1),(7.2)的解y(t )的解析表达式。然而
在实际问题和科学研究中所遇到的微分方程往往很复
杂，很多情况下不可能求出它的解析解。有时侯即使
能求出解析解，也会由于很难从解析解中计算函数y(t )
的值而不实用。
例如，容易求出初值问题
y' 1 y cos t,0 t T
注意：这是“折
线法”而非“切
yN
线法”除第一个
点是曲线切线外，
其他点不是切线
而是折线(如右 图所示)。
y2 yy10
t0 a t1 t2
tN b x
§7.2.1 显式单步法的一般形式 显式单步法的一般形式是
yn1 yn h (tn , yn , h), n 0,1, , M 1 (7.2.4)
普希兹)条件。常数L称为函数f 在D0中的Lipschitz常数。
例1 函数f (t, y) t y 在区域D0 (t, y) | 1 t 2, 3 y 4
关于y满足Lipschitz条件，相应的Lipschitz常数可取为L 2
3 存在性定理 定理1 设函数f (t, y)在凸集D R2中有定义，若存在常数
(7.4)
若k 2,则数值解法(7.3)统称为多步法，或具体称 为k步法。
显示法、隐式法与截断误差 若在差分方程(7.3)中，ynk能表示为tn , yn, yn1, , ynk-1, h 的显函数，即
ynk G(tn , yn , yn1, , ynk-1, h), n 0,1, , M - k (7.5)

y0 yn1
Hale Waihona Puke y(t0 yn)
hf
(tn
,
yn
)
几何意义
n 0,1, , M
(7.2.3)
由于f (t0 , y0 )已知，则在y( x)在(t0 , y0 )处必有切线方程，
其斜率为
dy dt ( t0 , y0 )

f (t0 , y0 )
由点斜式写出切线方程
dy
y y0 t t0
dt
(
x0
,
y
0
)

y0

t t0
f (t0 , y0 )
等步长为h,则t1 - t0 h, 可由切线算出 y1 ： y1 y0 hf (t0 , y0 )
按此逐步计算y(tn ), 在tn+1处的值 ：
yn1 yn hf (tn , yn ) y
则称数值解法(7.5)为显式方法。否则，称数值解法(7.3)
为隐式方法。 定义 设y(t )是初值问题(7.1),(7.2)的解，y1, y2, , yM
是由数值解法(7.3)解出的初值问题(7.1),(7.2)的数值解，
则称误差
n y(tn ) yn
为数值解法(7.3)在结点tn处的整体截断误差。
y(tn1 )

y(tn )
hy(tn )
h2 2
y(n )

y(tn ) hf (tn ,
y(tn ))
h2 2
y(n )
假定yn y(tn ),并舍去(7.2.3)中的h2项，可构造出所谓求解 微分方程初值问题(7.2.1)和(7.2.2)的Eular折线法
其中函数 (t, y, h)与函数f 有关，并称为增量函数。
§7.2 显式单步法
Euler 折线法
设良态微分方程初值问题

y' y(t0 )
f (t, y), t0 y0

t

T
(7.2.1) (7.2.2)
存 在 唯 一 解 。取等距结点：
tn t0 nh, n 0,1, , M; h (T t0 ) / M
由Taylor公式，我们有
2 Lipschitz条件 设函数f (t, y)在区域
Lipschitz条件
D0 {(t, y) t0 t T , y }
内有定义，若存在常数L, 对D0内的任何两点(t, u1 )和(t, u2 )，
不等式 f (t,u1) f (t,u2 ) L u1 u2
成立，则称函数f ( x)在区域D0内对变量y满足Lipschitz(李
y0, y1, , yM的差分方(7.3)近似代替原微分方(7.1),并且从 y0, y1, , yk-1出发，从差分方程(7.3)中依次逐个解出 yk , yk1, , yM ,从而得到初值问题(7.1),(7.2)的数值解。
若k 1,则数值解法(7.3)成为
F (tn , yn , yn1, h) 0, n 0,1, , M - 1 称数值解法(7.4)为单步法。
L对任意(t, y) D, 有
f (t, y) L y
则f 在D内关于y满足Lipschtiz条件。
定理2 设函数 f (t, y) 在D=(t, y) | t0 t T , y
内连续且在 D 内关于 y 满足 Lipschitz 条件，则初值问题

, M )。所用的数值计算方法就称为初值问题(7.1),(7.2) 的数值解。
初值问题数值解法的一般形式 F (tn , yn , yn1, ynk , h) 0, n 0,1, , M k (7.3)
其中k是一正整数，函数F与函数f 有关。方程(7.3)称为
关于y0, y1, , yM的差分方程。数值解法的实质是用关于
y' f (t, y), y(t0 ) y0
t0

t

T
在区间[t0 ,T ]内存在唯一解。
注：满足定理2的条件的初值问题也是良态问题。
如果方程(7.1)是一些特殊的微分方程(例如线性方
程、可分离变量方程等)，则可通过解析方法求出它的
通解，再根据初始条件 (7.2) 确定通解中的任意常数，

y(0)

0
的解为
y(t ) esint t esin xdx 0
但是，对给定的t, 要计算y(t)的值还要用数值积分的方法。
鉴于上述的情况，研究初值问题(7.1),(7.2)的数值解 法就十分必要了。
给定步长h 0，取结点 tn t0 nh,n 0,1, , M
其中tM T。要求通过数值计算的方法求出问题(7.1), (7.2)的解y(t)在各个结点tn处的近似值yn y(tn )(n 1,2,