电路的暂态分析
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i L (0 ) 20 2A 10
u(0 ) 12V
u () 10V
L 1 S R1 // R2 r 80
u(t ) 10 2e 80tV
目 录
易错点：
1、 f(0+)的求取。 应当严格按照3.1节电路初始值的求解方法求取。 通常： f(0+)
US L diL L iL ; R dt R R iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
t
t
目 录
5 I S A , US=20V, 习题13 图示电路原已稳定.已知： 3
L=0.1H, R1=12Ω, R2=6Ω,r=4Ω,求开关闭合后的u。
一阶电路的三要素分析法
第9章：电路的暂态分析
稳态：在一定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 暂态：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
K
K R
+ _E
R
+ _E
uC
C
电阻是耗能元件 产生暂态过程的必要条件： ，其上电流 I 随 (1) 电路发生换路 (外因) (2) 电路中含有储能元件 (内因) 电压U成比例变 t 1 2 t 1 2 化，不存在过渡 WC 0 uidt Cu WL uidt Li 0 2 2 过程。 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以 有电感或（和）电容的电路存在过渡过程。
(一) (二)
经典法:用数学方法求解微分方程； 三要素法: 求 初始值 稳态值 时间常数
duC RC uC U s dt
一阶线性常系数 非齐次微分方程
方法具有普适性！！
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理 将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3 R1 R2 + U C iC + uC
第 9章
电路的暂态分析
9.1 换路定则及电压,电流的初始值 9.2 一阶电路的暂态响应 9.3 三要素法
9.4 微分电路和积分电路
9.5 RLC串联二阶电路的动态响应＊
学习要点
换路定则的应用及电路初始值的求解 暂态和稳态以及时间常数的意义
一阶暂态电路微分方程的建立及解的形式
全响应、零输入响应、零状态响应
1 2 ∵ L储能： W L Li L 2
1 2 CuC 2
u
i
C 不能突变
L 不能突变
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
注意：只有uC 、 iL受换路定则的约束而保持不变， 电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
3、电路其它初始值（t=0+）的确定： （1）换路瞬间，电容元件当作恒压源，恒压源的值为 uC（0＋）。 （2）换路瞬间，电感元件当作恒流源，恒流源的值为 iL（0＋）。 （3）按以上原则，确定出t=0+瞬间的等效电路，在此 基础上求解电路其它初始值。
3
V 2010 50010 10000V
IS
过电压
给电感储能提供泄放途径 K
L V
U
iL
R
续流二极管
4.小结：电压及电流初始值的确定 1) 由t=0- 电路求uC (0 )、i L (0 )
2) 根据换路定则求出
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
t
t
uC U 0e
当US＝0时
t
t
uR (US U 0 )e
t
U 0 iC e R
uR U 0e
t
9.2.3 RC一阶电路的零状态响应
uC U S (U 0 U S )e
U S U 0 iC e R
t
t
t
uC U S (1 e )
RC
L R
对于RL电路，时间常数为：
目 录
例4 图示电路原已稳定，开关S在t=0时合 上，求电压u(t).
①求u(0+)
t = 0+
t →∞
R0 R2 R1 // R 2k R0C 0.01S
戴维南等效电路
uC (0 ) uC (0 ) 2V
u(0 ) 1.5V
R0 + US C iC + uC
－
－
－
－
IS
R0
C
iC + uC
－
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。
经典法步骤:
1. 根据换路后的电路列微分方程
2. 求特解（稳态分量）
3. 求齐次方程的通解(暂态分量）
4. 由电路的初始值确定积分常数 对于复杂一些的电路，可由戴维南定理将储能 元件以外的电路化简为一个电动势和内阻串联 的简单电路，然后利用经典法的结论。
研究过渡过程的意义
过渡过程是一种自然现象，过渡过程的存在有利有弊。 有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种特定的波形 或改善波形； 不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或 过流，致使电气设备损坏，必须采取防范措施。 1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。 2. 控制、预防可能产生的危害 暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设 备或元件损坏。 注：直流电路、交流电路都存在暂态过程, 我们讲课的重点 是直流电路的暂态过程。
. U
K
V
L
iL
R
设开关 K 在 t = 0 时打开。 求:K打开的瞬间,电压表两端电压。 U 20 20mA 解: 换路前 iL (0 ) R 1000
换路瞬间 iL (0 ) iL (0 ) 20mA
I S iL (0 ) 20 mA
V
3
uV (0 ) iL (0 ) RV
uL (0 ) U 6V
例2：图示电路原处于稳态， t=0时开关S打开，求 换路瞬间电路中的电流和电压初始值。
iL (0 ) 0.5 A, u2 (0 ) 100 V, u L (0 ) 0V , iC (0 ) 1.5 A
例3：已知:
U 20 V、R 1k、L 1H 电压表内阻 RV 500k
9.2 一阶电路的暂态响应 一阶电路： 用一阶微分方程来描述的电路。电 路中只含有一个动态元件。 输入为零时，由初始状态产生的 零输入响应： 响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。 零状态响应： 初始状态为零时，由激励产生的 响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。 全响应： 由外加输入和储能元件初始储能共同 作用在电路中产生的响应。
uc (0 ) 0V , iL (0 ) 0 A
3、画出t=0+时的等效电路 i1 (0 ) U R1 6 A , i2 (0 ) 0 A
i3 (0 ) U R3 2 A , i(0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) i3 (0 ) 8 A
US iC e R
t
当U0＝0时
t
uR (US U 0 )e
uR USe
t
小结：
uC U S (U 0 U S )e
US U0 iC e R
t
t
uC U 0e
t
t
uC U S (1 e )
U S iC e R
t
US
+
R1
C
-
答案：
( b )
例1：图示电路原处于稳态，开关S闭合前电容和电 感均未储能，t=0时开关S闭合，电源U=6V，R1=1Ω， R2=2Ω， R3=3Ω，求换路瞬间电路中的电流和电压 初始值。
解： 1、t=0-时， uc (0 ) 0V , iL (0 ) 0 A
2、t=0+时，根据换路定则
9.2.1
RC一阶电路的全响应
u R uC U S duC 而: iC C dt du C u R Ri C RC dt
从而得微分方程：
图示电路处于稳态， t=0时开关S闭合，已知初始值uC(0-)= U0 。 S闭合后，电路可能出 根据KVL ，得回路电压方程为： 现哪几种工作情况？
t
t
uR (US U 0 )e
t
U 0 iC e R
uR U 0e
uR USe
t
根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和 零状态响应，即：全响应=零输入响应+零状态响应。 根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量， 即：全响应=稳态分量+暂态分量。
uC (t ) U S (U 0 U S )e
t
RC
时间常数，单位：秒 看书55页，表3-1。
一般认为：(3~5)后暂态过程结束，进入稳态。
越小变化越快！！！
目 录
9.2.2 RC一阶电路的零输入响应
uC U S (U 0 U S )e
U S U 0 iC e R
3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的u(0 )或 i (0 ) 注意： 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中 (1) 若 uC (0 ) U 0 0 ，电容元件用恒压源代替， 其值等于U 0 ; 若 uC (0 ) 0 ， 电容元件视为短路。
(2)若 i L (0 ) I 0 0 , 电感元件用恒流源代替 ， 其值等于I0 ,若i L (0 ) 0 , 电感元件视为开路。
a) 电路发生换路； b) 电路中有储能元件C ； c) 电路有储能元件的能量发生变化。 R2 US + R1 C
答案： ( C )
3、下图所示电路在达到稳定状态后减小增加R1， 则该电路（ ）。
a) 因为发生换路，要产生过渡过程 b) 因为C的储能值不变，不产生过渡过程 c) 因为有储能元件且发生换路，要发生过渡过程 R2
②求u(∞)
u () 1V
④代入三要素公式求响应
u 1 0.5e 100tV
目 录
③求时间常数
与全响应的关系
三 要 素 法
戴维南
定理
duC RC uC U S ; RC dt
R0C
全 响 应 法
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
uC (t ) U S (U 0 U S )e
全响应 稳态分量
t
t
暂态分量
t
uC (t ) U S (1 e ) U 0e
零状态响应
零输入响应
思考：①暂态分量的变化规律？ ②零输入、零状态的含义？
目 录
当U0 >US时：
当U0<US时：
0
思考：
电流的响应曲线？
思考：该电路存在暂态过程吗？
K
+ _、C）的电路在电路状态发生变化时（如： 电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡 过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡过程。 电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳 态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，所以过渡过程 又称为电路的暂态过程。
9.2.4 RL一阶电路的全响应
在电路图中， 电路处 于稳态，t=0时开关S闭 合。根据换路定则，电 感电流不能突变。
已知初始值 IC(0-)=I0
9.3
三要素法
t
求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
式中:
f(0+)―为待求电流或电压的初始值; f(∞) ―为待求电流或电压的稳态值; τ―为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
9.1
换路定则及电压和电流的初始值
1、换路： 电路状态的改变。如：电路接通、切断、 短路、电 压改变或参数改变。 设：t=0 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0- 表示换路前的终了瞬间 t=0+ 表示换路后的初始瞬间（初始值） 2、换路定则：电容上的电压 、换路定则： uC及电感中的电流iL在换路前后瞬 间的值是相等的，即： ∵ C 储能： WC
练习与思考
1、下图所示电路在已稳定状态下断开开关S，则 该电路（ ）。 R1 + S L
US
R2
( C ) 答案：
a) 因为有储能元件L，要产生过渡过程； b) 因为电路有储能元件且发生换路，要产生过渡 过程； c) 因为换路时元件L的电流储能不能发生变化， 不产生过渡过程。
2、下图所示电路在达到稳定状态后移动R1上的滑动的 触点，该电路将产生过渡过程。这是因为（ ）。
u(0 ) 12V
u () 10V
L 1 S R1 // R2 r 80
u(t ) 10 2e 80tV
目 录
易错点：
1、 f(0+)的求取。 应当严格按照3.1节电路初始值的求解方法求取。 通常： f(0+)
US L diL L iL ; R dt R R iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
t
t
目 录
5 I S A , US=20V, 习题13 图示电路原已稳定.已知： 3
L=0.1H, R1=12Ω, R2=6Ω,r=4Ω,求开关闭合后的u。
一阶电路的三要素分析法
第9章：电路的暂态分析
稳态：在一定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 暂态：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
K
K R
+ _E
R
+ _E
uC
C
电阻是耗能元件 产生暂态过程的必要条件： ，其上电流 I 随 (1) 电路发生换路 (外因) (2) 电路中含有储能元件 (内因) 电压U成比例变 t 1 2 t 1 2 化，不存在过渡 WC 0 uidt Cu WL uidt Li 0 2 2 过程。 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以 有电感或（和）电容的电路存在过渡过程。
(一) (二)
经典法:用数学方法求解微分方程； 三要素法: 求 初始值 稳态值 时间常数
duC RC uC U s dt
一阶线性常系数 非齐次微分方程
方法具有普适性！！
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理 将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3 R1 R2 + U C iC + uC
第 9章
电路的暂态分析
9.1 换路定则及电压,电流的初始值 9.2 一阶电路的暂态响应 9.3 三要素法
9.4 微分电路和积分电路
9.5 RLC串联二阶电路的动态响应＊
学习要点
换路定则的应用及电路初始值的求解 暂态和稳态以及时间常数的意义
一阶暂态电路微分方程的建立及解的形式
全响应、零输入响应、零状态响应
1 2 ∵ L储能： W L Li L 2
1 2 CuC 2
u
i
C 不能突变
L 不能突变
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
注意：只有uC 、 iL受换路定则的约束而保持不变， 电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
3、电路其它初始值（t=0+）的确定： （1）换路瞬间，电容元件当作恒压源，恒压源的值为 uC（0＋）。 （2）换路瞬间，电感元件当作恒流源，恒流源的值为 iL（0＋）。 （3）按以上原则，确定出t=0+瞬间的等效电路，在此 基础上求解电路其它初始值。
3
V 2010 50010 10000V
IS
过电压
给电感储能提供泄放途径 K
L V
U
iL
R
续流二极管
4.小结：电压及电流初始值的确定 1) 由t=0- 电路求uC (0 )、i L (0 )
2) 根据换路定则求出
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
t
t
uC U 0e
当US＝0时
t
t
uR (US U 0 )e
t
U 0 iC e R
uR U 0e
t
9.2.3 RC一阶电路的零状态响应
uC U S (U 0 U S )e
U S U 0 iC e R
t
t
t
uC U S (1 e )
RC
L R
对于RL电路，时间常数为：
目 录
例4 图示电路原已稳定，开关S在t=0时合 上，求电压u(t).
①求u(0+)
t = 0+
t →∞
R0 R2 R1 // R 2k R0C 0.01S
戴维南等效电路
uC (0 ) uC (0 ) 2V
u(0 ) 1.5V
R0 + US C iC + uC
－
－
－
－
IS
R0
C
iC + uC
－
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。
经典法步骤:
1. 根据换路后的电路列微分方程
2. 求特解（稳态分量）
3. 求齐次方程的通解(暂态分量）
4. 由电路的初始值确定积分常数 对于复杂一些的电路，可由戴维南定理将储能 元件以外的电路化简为一个电动势和内阻串联 的简单电路，然后利用经典法的结论。
研究过渡过程的意义
过渡过程是一种自然现象，过渡过程的存在有利有弊。 有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种特定的波形 或改善波形； 不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或 过流，致使电气设备损坏，必须采取防范措施。 1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。 2. 控制、预防可能产生的危害 暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设 备或元件损坏。 注：直流电路、交流电路都存在暂态过程, 我们讲课的重点 是直流电路的暂态过程。
. U
K
V
L
iL
R
设开关 K 在 t = 0 时打开。 求:K打开的瞬间,电压表两端电压。 U 20 20mA 解: 换路前 iL (0 ) R 1000
换路瞬间 iL (0 ) iL (0 ) 20mA
I S iL (0 ) 20 mA
V
3
uV (0 ) iL (0 ) RV
uL (0 ) U 6V
例2：图示电路原处于稳态， t=0时开关S打开，求 换路瞬间电路中的电流和电压初始值。
iL (0 ) 0.5 A, u2 (0 ) 100 V, u L (0 ) 0V , iC (0 ) 1.5 A
例3：已知:
U 20 V、R 1k、L 1H 电压表内阻 RV 500k
9.2 一阶电路的暂态响应 一阶电路： 用一阶微分方程来描述的电路。电 路中只含有一个动态元件。 输入为零时，由初始状态产生的 零输入响应： 响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。 零状态响应： 初始状态为零时，由激励产生的 响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。 全响应： 由外加输入和储能元件初始储能共同 作用在电路中产生的响应。
uc (0 ) 0V , iL (0 ) 0 A
3、画出t=0+时的等效电路 i1 (0 ) U R1 6 A , i2 (0 ) 0 A
i3 (0 ) U R3 2 A , i(0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) i3 (0 ) 8 A
US iC e R
t
当U0＝0时
t
uR (US U 0 )e
uR USe
t
小结：
uC U S (U 0 U S )e
US U0 iC e R
t
t
uC U 0e
t
t
uC U S (1 e )
U S iC e R
t
US
+
R1
C
-
答案：
( b )
例1：图示电路原处于稳态，开关S闭合前电容和电 感均未储能，t=0时开关S闭合，电源U=6V，R1=1Ω， R2=2Ω， R3=3Ω，求换路瞬间电路中的电流和电压 初始值。
解： 1、t=0-时， uc (0 ) 0V , iL (0 ) 0 A
2、t=0+时，根据换路定则
9.2.1
RC一阶电路的全响应
u R uC U S duC 而: iC C dt du C u R Ri C RC dt
从而得微分方程：
图示电路处于稳态， t=0时开关S闭合，已知初始值uC(0-)= U0 。 S闭合后，电路可能出 根据KVL ，得回路电压方程为： 现哪几种工作情况？
t
t
uR (US U 0 )e
t
U 0 iC e R
uR U 0e
uR USe
t
根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和 零状态响应，即：全响应=零输入响应+零状态响应。 根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量， 即：全响应=稳态分量+暂态分量。
uC (t ) U S (U 0 U S )e
t
RC
时间常数，单位：秒 看书55页，表3-1。
一般认为：(3~5)后暂态过程结束，进入稳态。
越小变化越快！！！
目 录
9.2.2 RC一阶电路的零输入响应
uC U S (U 0 U S )e
U S U 0 iC e R
3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的u(0 )或 i (0 ) 注意： 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中 (1) 若 uC (0 ) U 0 0 ，电容元件用恒压源代替， 其值等于U 0 ; 若 uC (0 ) 0 ， 电容元件视为短路。
(2)若 i L (0 ) I 0 0 , 电感元件用恒流源代替 ， 其值等于I0 ,若i L (0 ) 0 , 电感元件视为开路。
a) 电路发生换路； b) 电路中有储能元件C ； c) 电路有储能元件的能量发生变化。 R2 US + R1 C
答案： ( C )
3、下图所示电路在达到稳定状态后减小增加R1， 则该电路（ ）。
a) 因为发生换路，要产生过渡过程 b) 因为C的储能值不变，不产生过渡过程 c) 因为有储能元件且发生换路，要发生过渡过程 R2
②求u(∞)
u () 1V
④代入三要素公式求响应
u 1 0.5e 100tV
目 录
③求时间常数
与全响应的关系
三 要 素 法
戴维南
定理
duC RC uC U S ; RC dt
R0C
全 响 应 法
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
uC (t ) U S (U 0 U S )e
全响应 稳态分量
t
t
暂态分量
t
uC (t ) U S (1 e ) U 0e
零状态响应
零输入响应
思考：①暂态分量的变化规律？ ②零输入、零状态的含义？
目 录
当U0 >US时：
当U0<US时：
0
思考：
电流的响应曲线？
思考：该电路存在暂态过程吗？
K
+ _、C）的电路在电路状态发生变化时（如： 电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡 过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡过程。 电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳 态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，所以过渡过程 又称为电路的暂态过程。
9.2.4 RL一阶电路的全响应
在电路图中， 电路处 于稳态，t=0时开关S闭 合。根据换路定则，电 感电流不能突变。
已知初始值 IC(0-)=I0
9.3
三要素法
t
求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
式中:
f(0+)―为待求电流或电压的初始值; f(∞) ―为待求电流或电压的稳态值; τ―为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
9.1
换路定则及电压和电流的初始值
1、换路： 电路状态的改变。如：电路接通、切断、 短路、电 压改变或参数改变。 设：t=0 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0- 表示换路前的终了瞬间 t=0+ 表示换路后的初始瞬间（初始值） 2、换路定则：电容上的电压 、换路定则： uC及电感中的电流iL在换路前后瞬 间的值是相等的，即： ∵ C 储能： WC
练习与思考
1、下图所示电路在已稳定状态下断开开关S，则 该电路（ ）。 R1 + S L
US
R2
( C ) 答案：
a) 因为有储能元件L，要产生过渡过程； b) 因为电路有储能元件且发生换路，要产生过渡 过程； c) 因为换路时元件L的电流储能不能发生变化， 不产生过渡过程。
2、下图所示电路在达到稳定状态后移动R1上的滑动的 触点，该电路将产生过渡过程。这是因为（ ）。