高三数学空间的角PPT精品课件

作二面角的平面角的常用方法有：
(1) 定 义 法 ： 根 据 定 义 ， 以 棱 上 任 一 点 为 端 点 ，
分__别___在__两__个__面__内__作__垂__直___于__棱__的__射__线__，则形成二面角
的平面角．
(2) 三 垂 线 法 ： 从 二 面 角 一 个 面 内 某 个 特 殊 点
(4)向量法：两个半平面的法向量的夹__角__或__补__角__为
二面角的平面角．
• 1．平面α的斜线与α所成的角为30°， 则此斜线和α内所有不过斜足的直线 中所成的角的最大值为( )
• A．30°
B．60°
• C．90°
D．150°
• 【解析】 本题易误选D，因斜线和α
内所有不过斜足的直线为异面直线，
第四节 空间的角
1.掌握两条直线所成的角的
考纲 点 击
概念. 2.掌握直线和平面所成的角
的概念．
3.掌握二面角、二面角的平
面角的概念．
热 点 提 示
1.以客观题考查异面直线所成 的角．
2.以解答题考查直线和平面所 成的角及二面角，特别是求 二面角的平面角.
1．异面直线所成的角
在空间取一点 O，过 O 点分别作两异面直线 的平___行_线所成的__锐__角__或__直__角___叫做两条异 面直线所成的角．其取值范围是__0_，__π2_ _.
故最大角为90°.
• 【答案】 C
2．空间四边形 ABCD 中，已知 AB＝3，
BC＝2 5，CD＝4，AD＝ 5，BD＝2，则
AC 与 BD 所成角的大小是( )
Biblioteka BaiduA．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【解析】 ∵( 5)2＋22＝32， 22＋42＝(2 5)2， 即 AD2＋BD2＝AB2，DC2＋BD2＝BC2， ∴BD⊥AD，BD⊥DC. ∴BD⊥平面 ADC. 又 AC ⊂平面 ADC， ∴BD⊥AC，即异面直线 AC 与 BD 所成角为 90°.
【解析】 由斜线和平面所成的角的定义，
可知∠ABO 为 AB 和 α 所成的角．因为 cos
∠ABO＝ccooss∠∠ACBBCO＝ccooss
6405°°＝12×
2＝ 2
22，
所以∠ABO＝45°.
【答案】 45°
异面直线所成的角
如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是 BC 的中点，M，N 分别是 AE，CD1 的中点，AD＝AA1 ＝a，AB＝2a.
【答案】 A
3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于
()
3 A. 6
3 B. 4
2 C. 2
3 D. 2
【解析】 如图所示，正三棱锥 S—ABC
中设底边长为 a，侧棱长为 2a，O 为底
面中心，易知∠SAO 即为所求
∵AO＝
3 3a
∴在 Rt△SAO 中
cos
斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的
一切直线所成角中__最__小__的__角___．
公式 cos θ＝_c_o_s_θ_1_·c_o_s__θ_2 _.
斜线 AB 与平面 α 所成的角为 θ1，A 为斜足， AC 在 α 内，且与 AB 的射影成 θ2 角，∠BAC ＝θ，则有_c_o_s_θ_＝__c_o_s_θ_1_·c_o_s__θ_2 .
作法：(1)平移法； (2)_向__量__法__：转化为两直线的方向向量的夹角
(或其补角)．
2．直线和平面所成的角
如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所
成的角的大小为_0_；如果直线垂直于平面，则
π 它和平面所成的角的大小为_2_；如果直线是平 面的斜线，则它和它在平面内的_射__影__所成的 _锐__角，称之为直线和平面所成的角．因此， 直线和平面所成角的范围是_0_，___π2_ .
3．二面角及其平面角 从一条直线出发的两个半__平__面__所组成的图形， 叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱__，这两 个半平面叫做二面角的_面__．一个平面垂直于 二面角 α—l—β 的棱 l，且与两个半平面的交 线分别是射线 OA，OB，O 为垂足，则∠AOB 叫做二面角 α—l—β 的平__面__角__，平面角的范围 是[_0_°_，__1_8_0_°_] ．
(1)求证：MN∥平面 ADD1A1； (2)求异面直线 AE 和 CD1 所成角的余弦值．
【思路点拨】 (1 )挖掘图形中的平行关系， 然后利用“线线平行 线面平行 面 面平行”相互转化． (2)求异面直线所成的角，需要平行移动空 间直线，给出中点的问题常借助于三角形 的中位线平移．
【自主解答】 (1)证明：取 CD 的中点 K， 连结 MK，NK. ∵M，N，K 分别为 AE，CD1，CD 的中点， ∴MK∥AD，NK∥DD1， ∴MK∥面 ADD1A1，NK∥面 ADD1A1， ∴面 MNK∥面 ADD1A1， 又∵MN⊂面 MNK， 从而 MN∥面 ADD1A1.
由已知 AC＝2 6，则 AB＝
2 6× 22＝2 3. 由13×(2 3)2×OS＝12，解得 OS＝3.
在 Rt△SOE 中，tan∠SEO＝
OOES＝
3＝ 3
3，
∴∠SEO＝π3，即侧面与底面 所成二面角等于π3.
【答案】
π 3
5．如图所示，已知 AB 为平 面 α 的一条斜线，B 为斜足， AO⊥α，O 为垂足，BC 为 α 内 的 一 条 直 线 ， ∠ABC ＝ 60°，∠OBC＝45°，则斜线 AB 和平 面 α 所成的角为 ________．
∠SAO＝ASAO＝
3 6.
【答案】 A
4．已知正四棱锥的体积为 12，底面对角 线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面 角等于________．
【解析】 如图所示，S—ABCD 为正四棱锥， 连结 AC、BD 交于 O 点，点 E 为 BC 边的中 点，再连结 OS、OE、SE，则∠SEO 为侧面 与底面所成二面角的平面角，SO 为棱锥的高
P_作__另__一__个__面__的___垂__线__，__过__垂__足__A__作__棱__的__垂__线__，__垂____ _足___为__B_连__P_B____.于是∠PBA(或其补角)是二面角的
平面角．
(3) 垂 面 法 ： 过 二 面 角 的 棱 上 一 点 作 平 面 __与__棱__垂__直__，分别交两个面的交线，构成二面角的 平面角． 常用面积的射影定理来求二面角，即_S_c_o_s_θ_＝S 射， 它的优点是不必作出二面角的平面角．