2019届高考数学一轮复习第四章三角函数专题研究1三角函数的值域与最值文

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3 1 3 ＋2，所以当 t＝2时，函数 y 取得最大值为2.故选 C. 【答案】 C
1 1 (2)求 f(x)＝2cos2x＋asinx＋2的最小值．
【解析】 1 1 2 f(x)＝2(1－2sin x)＋asinx＋2＝－sin2x＋asinx＋1，
2 a a 令t＝sinx，t∈[－1，1]，∴y＝－t2＋at＋1＝－(t－2)2＋1＋ 4 .
π 3 3 sin(2x－ 3 )∈[－ 2 ，1]，f(x)∈[0，1＋ 2 ]． π 3 所以当 x∈[0， 2 ]时，函数 f(x)的值域为[0，1＋ 2 ]． 【答案】 (1)π 3 (2)[0，1＋ 2 ] π 5π [－12＋kπ ， 12 ＋kπ ]，k∈Z
思考题 2 (2018· 黄冈中学模拟)已知函数 f(x)＝2 3sinω xcosω x＋2cos2ω x(ω>0)，且 f(x)的最小正周期为π . (1)求 ω 的值及函数 f(x)的单调递减区间； π (2)将函数 f(x)的图像向右平移 6 个单位长度后得到函数 g(x) π 的图像，求当 x∈[0， 2 ]时，函数 g(x)的最大值．
【解析】
(1) 由题意知 f(x) ＝ 3sin2 ω x ＋ 1 ＋ coቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ω x ＝
π 2sin(2ωx＋ 6 )＋1， 2π π ∵T＝π， ＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin(2x＋ 6 )＋1， 2ω π π 3π π 令 2 ＋2kπ≤2x＋ 6 ≤ 2 ＋2kπ，k∈Z，得 6 ＋kπ≤x≤ 2π 3 ＋kπ，k∈Z. π 2π ∴函数 f(x)的单调递减区间为[ 6 ＋kπ， 3 ＋kπ]，k∈Z.
思考题1 ________．
【解析】
函数f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π ]的值域为
3 4 f(x)＝3sinx＋4cosx＝5(5sinx＋5cosx)＝5sin(x＋φ)，
π 3 4 其中cosφ＝5，sinφ＝5，0<φ< 2 . ∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ. π ∴当x＋φ＝ 2 时，f(x)max＝5； 当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4. ∴f(x)的值域为[－4，5]． 【答案】 [－4，5]
π 已知函数 f(x)＝2sinxsin(x＋ 6 )． (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； π (2)当 x∈[0， 2 ]时，求函数 f(x)的值域．
【解析】 3 1 (1)f(x)＝2sinx( 2 sinx＋2cosx)
1－cos2x 1 π 3 ＝ 3× ＋2sin2x＝sin(2x－ 3 )＋ 2 . 2 函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
题型二
可化为 y ＝f(si n x)型的值域问题
(1)(2018· 广东惠州一模)函数 y＝cos2x＋2sinx 的最大值 为( ) 3 A.4 3 C.2 B．1 D．2
【解析】 y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1.设 t＝sinx， 12 则－1≤t≤1，所以原函数可以化为 y＝－2t ＋2t＋1＝－2(t－2)
π π π 由－ 2 ＋2kπ≤2x－ 3 ≤ 2 ＋2kπ，k∈Z， π 5π 解得－12＋kπ≤x≤ 12 ＋kπ，k∈Z， π 5π 所以函数 f(x)的单调递增区间是[－12＋kπ， 12 ＋kπ]，k ∈Z. π π π 2π (2)当 x∈[0， 2 ]时，2x－ 3 ∈[－ 3 ， 3 ]，
当a>0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a； 当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a. 【答案】 当a>0时，ymin＝－a；当a≤0时，ymin＝a
★状元笔记★ 可化为 y＝f(sinx)型三角函数的最值或值域可通过换元法转 为其他函数的最值或值域．
思考题 3 (1)求函数 y＝－2(sinx＋cosx)＋sin2x 的值域．
π π π (2)∵g(x)＝2sin[2(x－ 6 )＋ 6 ]＋1＝2sin(2x－ 6 )＋1， π π π 5π 当 x∈[0， 2 ]时，－ 6 ≤2x－ 6 ≤ 6 ， π π π ∴当 2x－ 6 ＝ 2 ，即 x＝ 3 时，g(x)max＝2×1＋1＝3. π 2π 【答案】 (1)[ 6 ＋kπ ， 3 ＋kπ ]，k∈Z (2)3
2 5 5 此时 sinφ＝ 5 ，cosφ＝ 5 . 当 x＝θ 时，f(x)取得最小值，得 sin(θ－φ)＝－1， π π ∴θ－φ＝2kπ－ 2 ，k∈Z，即 θ＝φ＋ 2 ＋2kπ. π 5 ∴sinθ＝sin(φ＋ 2 ＋2kπ)＝cosφ＝ 5 . 【答案】 5 5
★状元笔记★ 化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式求最值时，特别注意自变量 的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的 取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．
专题研究 三角函数的值域与最值
专 题 讲 解
题型一
y ＝A si n (ωx ＋φ)＋B 型的最值问题
f(x)＝sinx－2cosx，当 x＝θ 时，f(x)取得最小值，则 sin θ ＝________．
【解析】
5 2 5 f(x)＝ 5·( 5 sinx－ 5 cosx)＝ 5sin(x－φ)，
sin2xsinx (2)求函数 y＝ 的值域． 1－cosx
【解析】
2 2sinxcosxsinx 2cosx（1－cos x） ∵y＝ ＝ ＝2cos2x＋ 1－cosx 1－cosx
12 1 2cosx＝2(cosx＋2) －2，于是当且仅当 cosx＝1 时，ymax＝4. 但 cosx≠1，∴y<4. 1 1 1 且 ymin＝－2,当且仅当 cosx＝－2时取得.故函数值域为[－2， 4). 【答案】 1 [－2，4)
【解析】 π 设 t＝sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ 4 )∈[－ 2， 2]，
t2－1 ∴sinxcosx＝ 2 ，∴y＝t2－2t－1. 对称轴 t＝1，∴ymin＝1－2－1＝－2， ymax＝(－ 2)2－2×(－ 2)－1＝2 2＋1. ∴值域为[－2，2 2＋1]． 【答案】 [－2，2 2＋1]