运用基于统计学建立的数学模型解决《红楼梦》作者之谜

y2 ，…，yn ，并在直角坐标系上制得散点图，并用最小二乘法 拟合出词频 ——— 虚词序次直线． 其中，b 为该直线在 y 轴上
的斜率，a 为该直线在 x 轴上的截距，且满足方程如下：
n
{ ∑（ xi － x） （ yi － y） b = i=1 n ∑（ xi － x） 2 i =1
n
∑xiyi － nx y
准． 求解过程中 21 ～ 30 回和 101 ～ 110 回被随机选中． 剩余
10 节分别以这两节的顺序为基准，构建一元线性回归方程，
通过对线性相关系数及斜率的比较，将剩余 10 节归入到误
差较小即在标准数据内的那组，由此确认 120 回中哪几回
属于同一个作者．
使用盲眼测试法，即将章回数当作未知数据，通过将该
= i=1 n
，
∑x2i － nx2
i =1
a = y － bx．
线性相关系数（ Ｒ2 ） ： 由于之后的线性回归模型需要以
一个同类随机样本虚词的顺序为基准，因此，两个变量之间
的关系强度无法得到保证． 此时需要计算每条拟合直线的
线性相关系数，即 Ｒ2 来判断两个变量之间的线性关系密切
程度，在该问题中 表 现 为 虚 词 的 位 次 与 频 率 是 否 大 致 与 随
现频 率 较 高 的 虚 词： 吗、仍、越、让、其、比、但、可； 使 用
MATLAB 语言对这 8 个虚词的出现次数及频率进行统计；
数学学习与研究 2019. 7
高教视野
16
GAOJIAO SHIYE
以前 50 回中 8 个虚词的频率升序为基准，将前后两部分的
数据制作成散点图，并绘制出各自的线性回归方程． 两方程
小节以两个数据基准数据得出的散点图及线性回归方程与
其基准进行比较，得 出 更 接 近 基 准 的 该 组 即 为 该 小 节 所 属
部分．
以 31 ～ 40 回小节为例进行归类，将两组数据的相对差
距进行比较：
以 21 ～ 30 回为基准时，线性相关系数为 0． 765 223 92，
拟合效果出色，适合进行方程截距比较； 截距与基准之比为
机样本一致．
观测数据（ xi ，yi ） ，i = 1，2，…，n 的样本相关系数
n
∑（ xi － x） （ yi － y）
Ｒ=
i =1
n
n
槡∑ 槡∑ （ xi － x） 2 i =1
（ yi － y） 2
i =1
n
∑xiyi － nx y
=
i =1
．
槡( ) 槡( ) n ∑x2i － nx2 i =1
x→0
x→0
limf（
x→0
x） x2
－
x为“
0 0
”未 定 式 （
满足洛必达法则的第一个条
件） ，综上分析可知洛必达法则的前两个条件满足，所以可
先用洛必达法则．
第二个等号用的也是洛必达法则，但是错误的． 因为函
数 f（ x） 在点 x = 0 处二阶可导，即 f' （ x） 在点 0 处可导，但
f'（ x） 在点 0 的某个邻域内不一定可导（ 由命题 3 可知） ，这
（ 上接 14 页）
命题 3 函数在一点处可导的话，函数在这点的某个邻
域内不一定可导．
下举一个应用 上 述 三 个 结 论 的 例 子，而 学 生 常 常 因 为
对上述三个结论不清楚而产生错误的解法． 例 2［2］ 设函数 f（ x） 在点 x = 0 处二阶可导，且 f（ 0） =
0，f'（ 0）
数学学习与研究 2019. 7
n
∑y2i － ny2
i =1
根据统计 学 知 识，在 本 数 学 模 型 中 规 定： 当 0． 75 ＜
Ｒ2 ＜ 1 时，拟合效果出色； 当 0． 25 ＜ Ｒ2 ＜ 0． 75 时，拟合效果
良好； 当 0 ＜ Ｒ2 ＜ 0． 25 时，拟合效果较差．
由假设可知，同一作者作品中虚词词频是一致的． 因
比为00．．
392 855
719 150
34 40
= 0．
459
240
082．
再将比值与标准数据
1 ± 0. 1 进行绝对差距比较，发现远超出可承受范围．
由于第 31 ～ 40 回与 21 ～ 30 回拟合效果出色，比值在合
理范围内； 与 101 ～ 110 回拟合效果较差，比值超出范围． 因
而，可以得出 31 ～ 40 回小节属于前 80 回．
斜率的差即为该 问 题 中 可 接 受 的 误 差，即 在 该 范 围 内 可 认
为两篇文本出自同一作者．
进行多组数据比对，作者认为以 1 ± 0． 1 为标准数据具
有适用性．
六、模型的求解
为使数据尽量可控、精细，将《红楼梦》以每 10 回划分
为 1 节，分别从前 8 节和后 4 节中各抽出 1 节作为顺序基
0． 0．
765 810
223 458
92 30
= 0．
944
186
666，将该比值与标准数据
1
±
0.
1Hale Waihona Puke 进行绝对差距比较，发现在可承受范围内．
以 101 ～ 110 回 为 基 准 时，该 小 节 线 性 相 关 系 数 为
0. 392 719 34，拟合效果偏差，不宜进行方程截距比较； 为使
得结果更合理、有力，进一步进行截距比较： 截距与基准之
此，如果各章节作者相同，那么相同的一组虚词按照不变的
排序后，所拟合出的直线近似一致． 并且，由于相同虚词在
不同作者作品中词 频 不 同，所 以 一 组 虚 词 按 照 不 变 的 顺 序
排序后，拟合出的词频 － 虚词直线一般不同，且拟合效果一
般较差． 同时，相关系数也与拟合直线的斜率一同作为判断
依据： 当斜率相差小且拟合效果好时，认为匹配成功； 否则，
f（ x） 在点 0 某个邻域内是一阶可导（ 满足洛必达法则的第
二个条件） ，又由命题 2 可知，函数 f（ x） 在点 x = 0 处二阶可
导，则 f（ x） 在点 0 处是连续的，所以 limf（ x） = f（ 0） = 0，从 x→0
而 lim［f（ x） － x］ = 0，而分 母 的 极 限 lim x2 = 0，所 以 极 限
= 1，f″（ 0）
= 2，求
limf（
x→0
x） x2
－
x．
在该例中，学生常出现的错误解法为
limf（
x→0
x） x2
－
x
=
limf'（
x→0
x） 2x
－
1
=
limf″（ x） x→0 2
=
1 2
f″（
0）
= 1．
在这个解法中，第一个等号用的是洛必达法则，是正确
的． 因为由命题 1 可知，函数 f（ x） 在点 x = 0 处二阶可导，则
高教视野
GAOJIAO SHIYE
15
运用基于统计学建立的数学模型解决《红楼梦》作者之谜
◎陈城钰 于欣雨 苏世杰 （ 西北工业大学，陕西 西安 710000）
【摘要】本文借助数学知识建立一元线性回归模型，利 用最小二乘法来 拟 合 出 虚 词 频 率 直 线，通 过 分 析 虚 词 频 率 的差异，来推断《红楼梦》作者的问题． 根据建模分析，得出 前 80 回与后 40 回不是同一个作者的结论．
认为匹配失败．
五、标准数据设立
为了论证虚词 词 频 的 异 同 能 够 体 现 作 者 的 异 同 ，首 要
任务是建立各线性回归方程斜率之间的可承受误差区间，
即标准数据． 本文选用已确认由唯一作者书写的《西游记》
为参数来源．
数据获得步骤： 将 100 回的《西游记》平均分为前后各
50 回两个部分； 通过 Python 语言及 Jieba 分词插件得出总出
结论．
【参考文献】 ［1］李贤平．《红楼梦》成书新说［J］． 复旦大学学报社 科版，1987（ 5） ： 3 － 16． ［2］韦博成． 红楼梦前 80 回与后 40 回某些文风差异的 统计分析［J］． 应用概率统计，2009（ 4） ： 441 － 448． ［3］吴军． 数学之美： 第 2 版［M］． 北京： 人民邮电出版 社，2014． ［4］韦博成． 漫谈统计学的应用与发展［J］． 数理统计与 管理，2011（ 1） ： 85 － 97．
【关键词】红楼梦； 线性回归； 词向量
《红楼梦》是具有高度思想性和艺术性的伟大作品，因 某些历史原因，在传播过程中出现了增补、修订的现象． 本 文借助数学模型，对《红楼梦》前 80 回与后 40 回作者是否 为同一人进行了研究．
一、问题的分析 本文作者在前期研究中发现，《红楼梦》主要人物出现 的频率受小说情 节 的 影 响 较 大，虽 能 在 一 定 程 度 上 体 现 出 作者的差异，但并不明显． 现代汉语言文 学 研 究 认 为，虚 词 的 使 用 更 能 够 体 现 出 作者的写作习惯与语言风格． 因此，通过大规模的统计与合 理地建模，对不同章回中相同的虚词进行频率分析，得出每 章回作者的语言习惯，在误差范围内进行比较和判断，可判 断不同章回之间作者的异同． 二、模型假设 1． 同一个作者，认为他对词、句法的使用习惯基本保持 不变，作品中的虚词出现频率几乎没有差别； 2． 不同的作者之间，词汇的使用习惯、词与词的相关性 处理、长短句的偏好有较大的差别； 3． 本次所用《红楼梦》版本为作者成书时原貌，成书后， 除去遗失的原稿外，在传播过程中无其他人的修订． 三、数据概览 在使用模型对虚词词频进行分析之前，使用 MATLAB 语言对虚词在前 后 章 节 中 出 现 的 次 数 差 异 进 行 了 统 计 ，为 模型的建立及其结果提供有力论据． 采用 Python 语言及 Jieba 分词插件进行词频统计，挑选 了“再、可、别、为、之、啊、咧、吗、呀、仍、要、也、尚、偏、很、 比、越、往、向、让、故、皆”22 个在一般古汉语中高频出现的 虚词进行统计比 对，发 现 对 虚 词 的 使 用 偏 好 在 前 后 两 部 分 出现了巨大差异，如“吗”在前半部分出现频率 0． 0375 次 / 回，而在后半部分出现频率 1． 875 次 / 回，验证了前后部分 是由语言习惯相差明显的两位作者分别完成的推论． 之后 的模型求解均基于该理念完成． 四、模型的建立 本文通过建立一 元 回 归 方 程，对 虚 词 频 率 位 次 的 分 析 来估计不同文本之间虚词的频率异同． 作者取样同一部小 说中的大量虚词，根据虚词的频率从小到大排列，视其位次 为自变量 x1 ，x2 ，…，xn ． 以虚词对应的频率为因变量，记 y1 ，
样就不满足洛必 达 法 则 的 第 二 个 条 件，所 以 第 二 个 等 号 用
洛必达法则是错误的．
第三个等号也是错误的． 由命题 2 可知，函数 f（ x） 在点
x = 0 处二阶可导，推不出 f″（ x） 在点 x = 0 处连续，从而推不
出 limf″（ x） = f″（ 0） ． x→0 该题的正确解法为
limf（
x→0
x） x2
－
x
=
limf'（
x→0
x） － 1 2x
=
1 2
limf'（
x→
x） － f'（ 0） x －0
=
1 2
f″（ 0）
= 1．
即用一次洛必达法则，再用一次 f″（ 0） 的定义式即可．
【参考文献】 ［1］同济大学数学系． 微积分： 第 3 版［M］． 北京： 高等 教育出版社，2010． ［2］于新凯，金少华，郭献洲． 微积分典型问题分析与习 题精选［M］． 天津： 天津大学出版社，2009．
将剩余 9 小节按照如上方法进行比对，结果显示前 80
回在以 21 ～ 30 回 为 基 准 的 可 接 受 范 围 内； 后 40 回 在 以
101 ～ 110 回为基准的可接受范围内．
七、结 论
综上所述，通过虚词词频的一元线性回归模型，可以得
出《红楼 梦》前 80 回 与 后 40 回 分 别 由 两 位 作 者 撰 写 的