中国慕课大学先修课(MOOCAP) 线性代数(先修课)线下考试说明

中国慕课大学先修课（MOOCAP）

线性代数（先修课）线下考试说明

一、考试性质

该次考试是为选修过MOOCAP课程《线性代数-先修课》的优秀中学生设置的具有评价性质的水平型考试科目，其目的是科学、公平、有效地测试考生是否达到了本课程设定的基本目标，评价的标准相当于一般高等院校在校学生学习《线性代数C》时应达到的及格和及格以上的水平。

二、考查目标

要求考生对行列式、线性方程组求法及解理论、矩阵代数、n维向量的线性相关性理论、内积与欧氏空间、矩阵的特征值理论和实对称矩阵的正交对角化有较深刻的认识和理解，掌握线性代数的基本知识、基本理论和基本技能，具有较强的运算能力、逻辑推理能力、抽象思维能力、综合运用所学的数学原理和技能分析问题和解决问题的能力。

三、考试形式和试卷结构

试卷满分为100分，考试时间为120分钟。

试卷题型结构为：四选一单项选择题共6小题、每题4分，共24分；填空题共4小题、每题4分，共16分；解答与证明题共4-5小题，共60分。

四、考试内容和考试要求

（一）行列式

考试内容：n元排列，n阶行列式的定义，行列式的性质，余子式和代数余子式，行列式按行（或列）的展开公式，克拉默（Cramer）法则，未知量个数等于方程个数的齐次线性方程组有非零解的充要条件。

考试要求：

（1）了解行列式的定义。

（2）掌握行列式的性质（对行列式性质的严格证明不作要求）。

（3）会计算简单的n阶行列式。

（4）了解克拉默（Cramer）法则。

（5）会利用行列式来判断未知量个数等于方程个数的齐次线性方程组是否有非零解。（二）线性方程组I

考试内容：线性方程组和它的解，矩阵，线性方程组和矩阵的初等变换，阶梯形矩阵，

简化的阶梯形矩阵，用矩阵的初等变换求解线性方程组（Gauss消去法），自由未知量，线性方程组的一般解，齐次线性方程组，齐次线性方程组的非零解。

考试要求：

（1）掌握用矩阵的初等行变换求线性方程组解的方法。

（2）了解线性方程组解的情况。

（3）了解齐次线性方程组有非零解的条件。

（三）矩阵代数

考试内容：矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规则，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称（反对称）矩阵以及它们的基本性质，分块矩阵及其在矩阵乘法中的应用，可逆矩阵，矩阵可逆的充要条件，用矩阵的初等行变换求解矩阵方程及求逆矩阵的方法。

考试要求：

（1）理解矩阵的概念。

（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则。

（3）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称（反对称）矩阵以及它们的基本性质。

（4）了解分块矩阵及其在矩阵乘法中的应用。

（5）理解可逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充要条件，掌握可逆矩阵的性质。

（6）掌握用矩阵的初等行变换求解矩阵方程及求逆矩阵的方法。

（四）向量空间

考试内容：n维向量及其基本运算，向量组的线性相关性，向量组的极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩及其性质。

考试要求：

（1）理解n维向量的概念，掌握n维向量的线性运算。

（2）理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念；掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

（3）了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

（4）了解矩阵的秩及其性质，会计算矩阵的秩。

（五）线性方程组II

考试内容：系数矩阵和增广系数矩阵的秩判断线性方程组解，齐次、非齐次线性方程组解集合的结构，矩阵方程的求解。

考试要求：

（1）理解用系数矩阵和增广系数矩阵的秩判断线性方程组解的情况。

（2）了解线性方程组解集合的结构。

（3）掌握求线性方程组解集合的方法。

（4）掌握简单的矩阵方程的求解方法。

（六）内积空间

考试内容：n维向量的标准内积，标准正交基，正交分解与正交投影,施密特（Schmidt）正交化方法，正交矩阵,最小二乘法。

考试要求：

（1）理解n维向量内积的概念。

（2）了解标准正交基的概念，会用施密特（Schmidt）方法将线性无关的向量组标准正交化。

（3）掌握正交分解定理和正交投影的方法。

（4）了解正交矩阵的概念和它们的性质。

（5）会使用最小二乘法求解矛盾方程组的最优近似解。

（七）矩阵的特征值问题

考试内容：矩阵的特征值与特征向量及其求法，特征多项式和特征子空间，相似矩阵，矩阵可对角化的条件和方法，实对称矩阵。

考试要求：

（1）理解矩阵的特征值与特征向量的概念，了解特征多项式和特征子空间的概念，掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法。

（2）了解相似矩阵的概念和性质。

（3）了解矩阵可对角化的条件和对角化的方法。

（4）会求与实对称矩阵正交相似的对角矩阵。

（5）了解特征值理论在实际问题中的简单应用。