浅谈固体物理学中的近似方法

学年论文题目：浅谈固体物理学中近似方法

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2012年12月

浅谈固体物理学中的近似方法

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摘要：本文从物理学的角度对近似法进行了介绍，并通过固体物理学中近似法的引用，让大家对近似法有了一个初步的认识，并解释了近似法在物理教学中的重要性与实用性。

关键词：近似法固体物理晶格

0引言

固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。固体的内部结构和运动形式很复杂，固体物理学中近似方法是一种重要的计算方法．指以近似数为计算对象的数学计算方法。近似地表示某一个量的真正值的数（准确数），称为近似数。在实际问题中所遇到的数，多半是近似数，因此，近似计算方法是极其重要的。

1 近似法

“近似法”是指在分析、处理和研究某些物理现象和问题时，根据所研究问题的需要，忽略研究对象和问题的次要因素，突出其主要矛盾和本质特征，科学、合理地对所研究的问题进行近似处理的方法。近似法不仅是一种常用的解题方法和思维方法，而且也是物理学的重要研究方法之一。善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一。因此在中学物理教学中注重近似方法的理解和应用，主要应使学生理解学习近似计算的实际意义，正确地建立起近似数的概念；同时使学生学会计算法则，进行合理的近似计算。固体物理中《周期场中的电子态》的内容当中单电子近似，布洛赫波，近自由电子近似和紧束缚近似，能带，这些都是在用“近似法”。比如近自由电子近似和紧束缚近似两种极端情形下的讨论中得出了共同的结论，即晶体中电子的能极形成允带和禁带，但为了能和实际晶体的实验结果相比较，使用尽可能符合晶体实际情况的周期势，求解具体Schredinger 方程的尝试从没有停止过，最早的一个模型是1931年kronig 一penncy 一维方形势场模型，它可以用简单的解析函数严格求解，也得出了周期场中运动的粒子允许能级形成带，能带之间是禁带的结论，但这是一维周期势场，还不能算是真正的尝试。不过近来却常使用keonig 一peuncy 势讨论超晶格的能带。

“近似法”是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理。在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法。近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用。英国的约翰·牛顿1916 年提出广义相对论中一种被广泛应用求解爱因斯坦场方程的近似方法。中国，智利，1966 年，用形式近似法研究初步阶稀释示踪剂对穿过微血管的交换作用。牛顿近似试图模仿牛顿力学的形式来解决较弱引力场的相对论问题。具体做法是对微小的牛顿力学量加以展开，可以选择展开的项有速度或者牛顿引力势，这实则是对相对论一种弱场低速的近似。后来牛顿力学近似方法在引力波天文学中得到了广泛的应用，最重要的用途是从理论上计算双星系统所辐射的

引力波的波形。

2 固体物理学中的近似方法 关于晶体结构问题中，一维晶格是晶体结构中最简单的形式，但对一维晶格的描述却包含晶体结构的全部性质。从一维晶格的描述可用近似法得出三维晶格的结构和性质。一维晶格原胞基矢1a a =，其倒格子基矢可由以下公式求出

[]3

213212a a a a a b ⨯∙⨯=π

；

[

]3

211322a a a a a b ⨯∙⨯=π

；

[

]

3

212132a a a a a b ⨯∙⨯=π

；

对于一维晶格，只有一个基矢1a a =，在计算倒格矢时可以假想有2a ，3a 两单

位矢量与1a 相互垂直，从而求出其倒格矢⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==a a a b b π21，对于三维晶格计算方法相同。

一维晶格和三维晶格一样，也存在简单格子和复式格子。简单格子中每个原子的

位置可表示为11a l ，复式格子中每个原子的位置可表示为11a l r +∂（∂r 表示原胞内各种等价原子之间的相对位移，i ,,3,2,1 =∂。设有i 种不等价原子）推广到三维晶格，可以将三维简单格子中各原子的位置表示为332211a l a l a l ++，复式格子中每个原子的位置可表示为332211a l a l a l r +++∂。

一维晶格具有最简单的晶体结构，具有最低的配位数（配位数2，链状结构），依此类推配位数为3的为层状结构晶体，配位数4 、6 、8 、12 的为三维晶格。

关于晶格的振动，一维原子链是学习格波的典型例子，它的振动既简单又可解，又能较全面地表现格波的基木特点。在固体物理中我们常常通过求解一维单原子链和双原子链的动力学方程，得到其色散关系。对于一维单原子链，第n 个原子的运动方程为()n n n t

n u u u d u d m

21122

-+=-+β，其通解是一简谐振动()wt qna i n Ae u -=，从

而得色散关系()[]

qa m

w cos 122

-=

β；对于一维双原子链，色散关系为

()⎪⎭

⎪⎬⎫⎪

⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+-±

+=±2

1

2

2

2

sin 411aq m m mM mM M m w β 一维单原子链和双原子链的色散关系采用同样的周期性边界条件l qNa π2=（l 为整数），q 的取值范围（a

q a

π

π

≤

-

），l 只能取（2

2

N l N ≤

-

），一共有N

个不同的取值。所以，由N 个原胞组成的一维双原子链，q 可以取N 个不同的值，每个q 对应两个解（两支格波），共有N 2个不同的格波，正好等于链的自由度，也即链的全部振动模。

三维晶格振动是极其复杂的问题，难以得到晶格振动的近似解。但我们仍可以用近似法从一维复式格子，得到三维晶格振动的形式解，进而得到晶格振动的普遍规律。由一维再推广到三维的情况，可得出结论：对一定的波矢q ，有n 3个格波（n 为原胞内原子数，其中3个声学波，33-n 个光学波），格波总数＝n 3＝原胞内自由度数⨯原胞数＝晶体自由度总数。边界条件允许的波矢q 在单位波矢空间内均匀分布的波矢密度为

()

3

2πV

，而在一维和二维情况下的波矢分布密度

π

2L 和

()

2

2πS

。

3 结论 上述对“近似法”及固体物理学中近似法的应用进行了简要的说明与举例，从而让作为师范生专业的我们对近似法有了一个初步的认识，并了解到物理教学中近似法的实际应用。我们应在物理教学中解释好近似法的应用，让学生准确理解近似法的基本概念、基本理论，这样教学过程形象生动，教学效果良好，同时为进一步的研究打下了基础。近似法不仅是一种常用的解题方法和思维方法，而且也是物理学的重要研究方法之一。因此在物理教学中注重近似方法的理解和应用，主要应使学生理解学习近似计算的实际意义，正确地建立起近似数的概念；同时使学生学会计算法则，进行合理的近似计算。在物理教学中有意识地加强科学方法教育，是培养学生思维敏捷性和解决实际问题的能力，提高素质的一个有效途径。

参考文献：

[1]黄昆．固体物理学．北京：高等教育出版社，1988.

[2]王矜奉．固体物理教程．济南：山东大学出版杜，2001 .