第五章 分析力学 拉格朗日力学e_45026
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理论力学-分析力学
分析力学
分析力学
约束、自由度和广义坐标 虚功原理 拉格朗日方程 拉格朗日方程的应用举例 微震动 哈密顿函数和正则方程 哈密顿原理和正则变换 不变环面和KAM定理
√
约束、自由度和广义坐标(1/9)
为什么要分析力学
牛顿力学的困难 表述麻烦：例如球坐标系中的运动方程 约束力/约束关系：增加求解方程的难度和复杂性
约束、自由度和广义坐标(3/9)
约束方程 设质点组各质点的位置是 有 k 个约束
，速度是
对于一个具有 n 个质点的体系，如果存在 k 个约束(方 程)，那么在确定体系位形变化的 3n 个坐标参量中， 只有 3n - k = s 个参量可以独立变化
例：水分子体系的位形？ 无约束——水蒸气，有约束——冰
√
虚功原理(8/13) 平衡方程
√
虚功原理(11/13)
例：长分别为 l1 和 l2 轻绳(AC 和 BC， ACB=90)，悬挂重量为 W 的重物，
求张力 T1 和 T2 的大小
虚功原理
，未知坐标和不定乘子
张力 T1 和 T2 的大小
√
虚功原理(பைடு நூலகம்2/13)
势场中质点组的平衡条件和稳定性条件
虚功原理的广义坐标表述和广义力
广义坐标表述虚功原理，广义力
称 Q 为广义力，Qa 为广义力在 a 方向上的分量
当广义坐标 qa 是线量时，相应的广义力 Qa 是力的分 量；当广义坐标是角量时，相应广义力是力矩的分量
平衡状态下 Qa (q1, …, qs;t) = 0, (a = 1, …, s)
平衡条件：在理想约束条件下，主动力是保守力的力学系 平衡的充分必要条件是，质点组势能函数对每个广义坐标 的偏导数等于零
分析力学
约束、自由度和广义坐标 虚功原理 拉格朗日方程 拉格朗日方程的应用举例 微震动 哈密顿函数和正则方程 哈密顿原理和正则变换 不变环面和KAM定理
√
约束、自由度和广义坐标(1/9)
为什么要分析力学
牛顿力学的困难 表述麻烦：例如球坐标系中的运动方程 约束力/约束关系：增加求解方程的难度和复杂性
约束、自由度和广义坐标(3/9)
约束方程 设质点组各质点的位置是 有 k 个约束
，速度是
对于一个具有 n 个质点的体系，如果存在 k 个约束(方 程)，那么在确定体系位形变化的 3n 个坐标参量中， 只有 3n - k = s 个参量可以独立变化
例：水分子体系的位形？ 无约束——水蒸气，有约束——冰
√
虚功原理(8/13) 平衡方程
√
虚功原理(11/13)
例：长分别为 l1 和 l2 轻绳(AC 和 BC， ACB=90)，悬挂重量为 W 的重物，
求张力 T1 和 T2 的大小
虚功原理
，未知坐标和不定乘子
张力 T1 和 T2 的大小
√
虚功原理(பைடு நூலகம்2/13)
势场中质点组的平衡条件和稳定性条件
虚功原理的广义坐标表述和广义力
广义坐标表述虚功原理，广义力
称 Q 为广义力，Qa 为广义力在 a 方向上的分量
当广义坐标 qa 是线量时，相应的广义力 Qa 是力的分 量；当广义坐标是角量时，相应广义力是力矩的分量
平衡状态下 Qa (q1, …, qs;t) = 0, (a = 1, …, s)
平衡条件：在理想约束条件下，主动力是保守力的力学系 平衡的充分必要条件是，质点组势能函数对每个广义坐标 的偏导数等于零
分析力学,拉格朗日方程
这样，虚功方程可以写成：
dW ＝ Qd q ＝ 0
k k k 1
n
由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成立 时，有：
Q ＝ 0 ( k 1 , 2 , , n ) k
虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，n 个自由度的系统达到平衡的 充要条件是n 个广义力都等于零。
显然 有m k l = m l k。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在 平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即将m k l取为与广义坐标无关的常数。
或：
第5章 分析力学基础
5.3 动能和势能
显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。
1 T V ＝{ q } [M ] { q } 2
q
q q
q
将动能和势能写成矩阵形式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：
第5章 分析力学基础 质系D’Alembert原理
其数学表达式为:
5.4 D’Alembert原理
作用在质系上的外力（主动力和约束反力）和惯性力构成平衡力系。
R m r 0 ( i 1 , 2 , , p ) i i i
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间t 来表示，即： r ＝ r ( q ， q ， ， q ， t )
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程，得：
p
r i dr ＝ dq i k k 1 q k
n
n
r i dW ＝ F dq i k q i 1 k 1 k
其中，R i 为主动力F i和约束反力f i的向量和。 应用D’Alembert原理可将虚位移原理推广到动力学问题。上式左边可看成质 点上的合力，计算整个质系的虚功，有
dW ＝ Qd q ＝ 0
k k k 1
n
由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成立 时，有：
Q ＝ 0 ( k 1 , 2 , , n ) k
虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，n 个自由度的系统达到平衡的 充要条件是n 个广义力都等于零。
显然 有m k l = m l k。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在 平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即将m k l取为与广义坐标无关的常数。
或：
第5章 分析力学基础
5.3 动能和势能
显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。
1 T V ＝{ q } [M ] { q } 2
q
q q
q
将动能和势能写成矩阵形式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：
第5章 分析力学基础 质系D’Alembert原理
其数学表达式为:
5.4 D’Alembert原理
作用在质系上的外力（主动力和约束反力）和惯性力构成平衡力系。
R m r 0 ( i 1 , 2 , , p ) i i i
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间t 来表示，即： r ＝ r ( q ， q ， ， q ， t )
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程，得：
p
r i dr ＝ dq i k k 1 q k
n
n
r i dW ＝ F dq i k q i 1 k 1 k
其中，R i 为主动力F i和约束反力f i的向量和。 应用D’Alembert原理可将虚位移原理推广到动力学问题。上式左边可看成质 点上的合力，计算整个质系的虚功，有
理论力学第5章第2节虚功原理
虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程,而 虚位移只需要满足约束. 在稳定约束下,实位移是无限多 虚位移中的一个. 而在不稳定约束时, 可能二者不一致.
设有n个质点的系统, 存在m个完整约束, 其约束方程
f i ( r 1 ,r 2 , ,r n , t ) 0( i 1 , , m ) 2,
f1 y
δy
f1 z
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
rirj 2lij20
因约r束i 力rj是.一由对约内束力方,程大可小知相,等虚方位向移相满反足,即Ri Rj
f , f , f x y z
). 由于约束面
是光滑的, 约束力沿曲面的法向, 即
R f(x ,x y,z),f(x ,yy,z),f(x ,zy,z)
因此虚功为
δ W R δ r f( x ,x y ,z )δ x f( x ,y y ,z )δ y f( x ,z y ,z )δ z 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表示方 用变分符号表示。
法
如 δ r(δ x,δ y,δ z)δ , 等
用微 分符号表示。
如d r(d x,d y,d z)d , 等
相互关 在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一
系
个.
2 虚功
作用在质点上的力在任意虚位移r中所作的功, 叫做 虚功.
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
设有n个质点的系统, 存在m个完整约束, 其约束方程
f i ( r 1 ,r 2 , ,r n , t ) 0( i 1 , , m ) 2,
f1 y
δy
f1 z
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
rirj 2lij20
因约r束i 力rj是.一由对约内束力方,程大可小知相,等虚方位向移相满反足,即Ri Rj
f , f , f x y z
). 由于约束面
是光滑的, 约束力沿曲面的法向, 即
R f(x ,x y,z),f(x ,yy,z),f(x ,zy,z)
因此虚功为
δ W R δ r f( x ,x y ,z )δ x f( x ,y y ,z )δ y f( x ,z y ,z )δ z 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表示方 用变分符号表示。
法
如 δ r(δ x,δ y,δ z)δ , 等
用微 分符号表示。
如d r(d x,d y,d z)d , 等
相互关 在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一
系
个.
2 虚功
作用在质点上的力在任意虚位移r中所作的功, 叫做 虚功.
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
第五章分析力学2
V Q q
3. 有势系统
8
例1 用基本形式的拉格朗日方程求单摆的运动微 分方程。 o 解法一： 1、对象：系统 2、自由度：s =1 广义坐标 θ 3、求广义力
d T T ( ) Q ( 1, 2, , s) dt q q
x
A
l
y
r rA i x l sin Q Fi mg q q i y l cos rA rA l sin i l cosj l cos i l sin j rA Q mg mgj i l cos j l sin mgl sin
xi xi i , x q t 1 q
s
(i 1, 2,...,3n)
2 s s xi xi xi xi 1 xi q 2 2 mi q q t i 1 2 1 q t , 1 q q 3n s 3n xi xi xi xi 1 s q ( mi ( mi )q )q 2 , 1 i 1 q q q t 1 i 1
用拉格朗日方程解决力学体系动力学问题的一般步骤： （1）确定力学体系 ； （2）选取 ； （3）写出 的表达式（4）写出用 和 表 示的 表达式；（5）代入 动力学方程。
解法二： 1、研究对象：单摆
o
x
l
2、自由度 s=1 广义坐标:θ 3、用理想约束下保守系的L方程 y d L L 0 dt 1 1 1 2 2 2 2 T m m(l ) ml 2 2 2 V mgl cos 以x轴为零势能位置 1 2 2 L T V ml mgl cos 2 4、代入L方程
3. 有势系统
8
例1 用基本形式的拉格朗日方程求单摆的运动微 分方程。 o 解法一： 1、对象：系统 2、自由度：s =1 广义坐标 θ 3、求广义力
d T T ( ) Q ( 1, 2, , s) dt q q
x
A
l
y
r rA i x l sin Q Fi mg q q i y l cos rA rA l sin i l cosj l cos i l sin j rA Q mg mgj i l cos j l sin mgl sin
xi xi i , x q t 1 q
s
(i 1, 2,...,3n)
2 s s xi xi xi xi 1 xi q 2 2 mi q q t i 1 2 1 q t , 1 q q 3n s 3n xi xi xi xi 1 s q ( mi ( mi )q )q 2 , 1 i 1 q q q t 1 i 1
用拉格朗日方程解决力学体系动力学问题的一般步骤： （1）确定力学体系 ； （2）选取 ； （3）写出 的表达式（4）写出用 和 表 示的 表达式；（5）代入 动力学方程。
解法二： 1、研究对象：单摆
o
x
l
2、自由度 s=1 广义坐标:θ 3、用理想约束下保守系的L方程 y d L L 0 dt 1 1 1 2 2 2 2 T m m(l ) ml 2 2 2 V mgl cos 以x轴为零势能位置 1 2 2 L T V ml mgl cos 2 4、代入L方程
第五章 分析力学
ห้องสมุดไป่ตู้
Q 称为广义力
§5.3 拉格朗日方程
一、基本形式的拉格朗日方程 1. 达朗贝尔原理 体系由n个质点组成，每个质点有
mi r i = Fi Ri m r F R =0
i i i i
(1)
核心思想是把动力学问题转换为静力学问题来研究 2. 达朗贝尔-拉格朗日方程
§5.2虚功原理
一、实位移，虚位移
r 1. 实位移：质点在运动中实际发生的位移， dr = v dt
它总是与时间的改变相伴随，
dt = 0, 则dr = 0, 是基本变量t变化引起的。
2. 虚位移：是想象的在某时刻、在约束许可的条件下，可 能发生的位移，以δr 表示。 该位移不是时间变化引起的，只取决于该时刻在其上的 约束和位置。 r (t = 0)称为r 的变分
f ( x, y, z ) = 0
f ( x, y, z, t ) = 0 是不可解的，而 f ( x, y, z) c
是可解的
3)几何约束、运动约束 仅限制位置——几何约束，或称完整约束
f ( x, y, z, t ) = 0
不仅限制位置，且限制速度——运动约束，或称微分约束
r r , t) = 0 f (r , r
第五章 分析力学
引言：经典力学 矢量力学
分析力学
一、 二者特点比较
矢量力学 r r 1 . 以 m a = F 为基础， r r 基本量： F 、 a ,
分析力学 1. 以变分原理为基础， 基本量：能量、数学分析 处理作用力之外，所涉及的 多是动能、势能等标量，标 量性较强 2. 采用广义坐标、消除理想 约束，解决变量不独立的问 题、灵活方便，便于进行坐 标变换、着重能量便于推广
Q 称为广义力
§5.3 拉格朗日方程
一、基本形式的拉格朗日方程 1. 达朗贝尔原理 体系由n个质点组成，每个质点有
mi r i = Fi Ri m r F R =0
i i i i
(1)
核心思想是把动力学问题转换为静力学问题来研究 2. 达朗贝尔-拉格朗日方程
§5.2虚功原理
一、实位移，虚位移
r 1. 实位移：质点在运动中实际发生的位移， dr = v dt
它总是与时间的改变相伴随，
dt = 0, 则dr = 0, 是基本变量t变化引起的。
2. 虚位移：是想象的在某时刻、在约束许可的条件下，可 能发生的位移，以δr 表示。 该位移不是时间变化引起的，只取决于该时刻在其上的 约束和位置。 r (t = 0)称为r 的变分
f ( x, y, z ) = 0
f ( x, y, z, t ) = 0 是不可解的，而 f ( x, y, z) c
是可解的
3)几何约束、运动约束 仅限制位置——几何约束，或称完整约束
f ( x, y, z, t ) = 0
不仅限制位置，且限制速度——运动约束，或称微分约束
r r , t) = 0 f (r , r
第五章 分析力学
引言：经典力学 矢量力学
分析力学
一、 二者特点比较
矢量力学 r r 1 . 以 m a = F 为基础， r r 基本量： F 、 a ,
分析力学 1. 以变分原理为基础， 基本量：能量、数学分析 处理作用力之外，所涉及的 多是动能、势能等标量，标 量性较强 2. 采用广义坐标、消除理想 约束，解决变量不独立的问 题、灵活方便，便于进行坐 标变换、着重能量便于推广
王克协精编习题拉格朗日力学
第五章 拉格朗日力学5.1 单摆由长为l 的无重杆与质量为m 的摆锤组成（例图5.1）。
试求其平衡位置，并讨论其稳定性。
解：取O 为势能零点，则 θcos mgl V -=，由0sin ==θθmgl d dV得0=θ，πθ=是摆的平衡位置。
0cos 0022>====mgl mgl d V d θθθθ所以0=θ是稳定平衡位置。
0cos 22<-====mgl mgl d V d πθπθθθ所以πθ=是不稳定平衡位置。
图5.15.2 在一轴为水平的半径为a 的固定圆柱顶上，放一质量为M ，边长为l 2的正立方体，求平衡位置并讨论其稳定性。
解：取O 处水平面为势能零点（例图5.2），则)cos sin cos (2θθθθa a l Mg Mgx V ++==)cos sin ( )sin cos sin sin (=+-=-++-=θθθθθθθθθa l Mg a a a l Mg d dV00tan =⇒==⇒θθθla 为平衡位置。
)( )sin cos cos (22a l Mg a a l Mg d Vd +-=-+-=θθθθθ 图5.2当l a >，0022>=θθd Vd ，V 为极小值，0=θ是稳定平衡位置。
当l a <，0022<=θθd Vd ，V 为极大值，不稳定平衡。
当l a =，0022==θθd Vd 时，mθsin0)cos sin sin sin (0033=---===θθθθθθθθa a a l Mg d Vd 0)3( ]cos sin cos )2[(044<-=-+-===a l Mg a a a l Mg d V d θθθθθθθ0=θ是不稳定平衡位置。
5.3 一质量为m 的小环，能沿一竖直圆圈自由滑动，圆圈半径为a ，一自然长为b ，截面积为b ，弹性模量为λ的弹簧一端系与环上，另一端固定在圆圈的最高点。
理论力学第5章第2节虚功原理
z
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
r irj 2lij20
因约束力是一对内力, 大小相等方向相反,即
ri rj . 由约束方程可知, 虚位移满足
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
例1 质点沿固定的光滑曲面运动, 约束方程为
f(x,y,z)0
质点的虚位移应满足
f(x ,y ,z)δ x f(x ,y ,z)δ y f(x ,y ,z)δ z 0
由此解得
ta1 n(m 1 22 F m 2)g, tan 2m 22 F g
6 约束力的求解——拉格朗日乘子法 利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡
条件,但是不能求出约束力.为了解决这个问题,引入拉格 朗日乘子法.
n个质点组成的系统, 有k个完整约束
f(x,y,z)0 ( 1 ,2 , ,k) (5.14)
Ri
Rj
2 r i r jδ r i δ r j 0
因此约束力的虚功
δ W R i δ r i R j δ r j r i r jδ r i δ r j 0
3 虚功原理
当系统处于平衡时, 系统每一质点都是处于平衡. 这样, 作用于第i个质点的主动 Fi和 力约束 Ri的合力 力应
为零, 即
F iR i0
(5.7)
于是, 作用于第i质点所有各力的虚功之和为零
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
r irj 2lij20
因约束力是一对内力, 大小相等方向相反,即
ri rj . 由约束方程可知, 虚位移满足
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
例1 质点沿固定的光滑曲面运动, 约束方程为
f(x,y,z)0
质点的虚位移应满足
f(x ,y ,z)δ x f(x ,y ,z)δ y f(x ,y ,z)δ z 0
由此解得
ta1 n(m 1 22 F m 2)g, tan 2m 22 F g
6 约束力的求解——拉格朗日乘子法 利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡
条件,但是不能求出约束力.为了解决这个问题,引入拉格 朗日乘子法.
n个质点组成的系统, 有k个完整约束
f(x,y,z)0 ( 1 ,2 , ,k) (5.14)
Ri
Rj
2 r i r jδ r i δ r j 0
因此约束力的虚功
δ W R i δ r i R j δ r j r i r jδ r i δ r j 0
3 虚功原理
当系统处于平衡时, 系统每一质点都是处于平衡. 这样, 作用于第i个质点的主动 Fi和 力约束 Ri的合力 力应
为零, 即
F iR i0
(5.7)
于是, 作用于第i质点所有各力的虚功之和为零
分析力学课件
完整系：只受几何约束的力学体系。 (主要内容)
不完整系：约束中包括不完整约束的力学体系。
分析力学
二、 广义 坐标
二、广义坐标
N 个质点，k 个约束
f ( x 1 ,y 1 ,z 1 ； x 2 ,y 2 ,z 2 ； ； x N ,y N ,z N ； t ) 0(1,2, ,k)
No. 1 No. 2
析力学 发展简 史
(拉格郎日) Lagrange
1788年 ━━ 拉格郎日 ━━《分析力学》
s 个独立变量描述力学体系的运动，二阶微分方程。
1834年 ━━ 哈密顿 (Hamilton) ━━ 哈密顿正则方程
2s 个独立变量描述力学体系的运动：s 个坐标, s 个动量, 一阶微分方程。
1843年 ━━ 哈密顿 (Hamilton) ━━ 哈密顿原理
No. n
剩下独立变量数目 (自由度)：s = 3n - k
另外选用 s 个独立参数 q1, q2, …，qn 来描述力学体系：
xi xi (q1,q2,,qs,t) yi yi (q1,q2,,qs,t) zi zi (q1,q2,,qs,t)
(i 1 ,2 , ,n ,s3 n )
广义坐标：相互独立的 s 个坐标 q1, q2, …，qn
第五章 分析力学
平衡力学体系的虚功原理 以能量为基础的拉格郎日方程 哈密顿原理及其应用
分析力学
§5.0 发展简史
在以前四章中，牛顿运动定律为解决所有 问题的出发点，物体的受力分析是解决问题的 必备过程。对于较为复杂的体系，用牛顿定律 求解，会有相当大的困难 (未知的约束反力， 大量的二阶微分方程)。
(1)
d d d d i n 1 F ir i i n 1 F i s 1 q r i q s 1 i n 1 F i q r i q s 1 Q q
[物理]分析力学
![[物理]分析力学](https://img.taocdn.com/s3/m/120ea40c647d27284b7351af.png)
实例
ω
C
vC
x
φ
xC P
轮 C 在水平轨道上作纯滚动的条件表达为 dϕ ⎧ dxC ⎧vC − ω r = 0 −r =0 ⎪ ⎨ 或 dt ⎨ dt y r = ⎩ C ⎪
⎩ yC = r
青岛科技大学数理学院
瞬心
4
稳定约束 --- 约束方程中不显含时间 t 的约束 . 如
f ( x, y , z ) = 0
青岛科技大学数理学院
14
IV. 虚位移在约束面上有任意方向的无 穷多个，在稳定几何约束下，质点 系无限小的实位移是虚位移之一 .
（对于非 稳定约束 dr 不是 δ r 中的一个）
dr
⋅
δr
P
说明
δϕ 等符号表示 . ¾ 虚位移常用 δ r、δ x 、δ s 、
¾ 关于符号 δ
δ --- 等时变分算子符号（变分符号）； δ --- 表示无限小的变更； δ 的运算规则与微分算子“ d ”的运算规则相同 .
O
ϕ1 l1
A
y
l2
x
ϕ2
B
若质点系由 n 个质点、 k 个完整约束组成，则其自由度 为 s = 3n − k .
青岛科技大学数理学院
11
若质点系由 n 个质点、 k 个完整约束组成，则其自由度 为 s = 3n − k . ¾ 选广义坐标 q1 , q2 ,……, qs ，则各质点的坐标
⎧ xi = xi (q1 , q2 ,……, qs ) ⎪ ⎨ yi = yi (q1 , q2 ,……, qs ) ⎪ z = z (q , q ,……, q ) i 1 2 s ⎩ i
19
¾ 质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之 间的关系： 设质点系由 n 个质点，k 个完整约束组成，则自由度为
分析力学第五章
4. 功与能 功等于力乘以质点在力的方向上的位移 力的空间积累效果， 力的空间积累效果，能量变化的量度 v v 恒力，直线： 恒力，直线： W = F ⋅ ∆ ri 3 B v v 变力，曲线： 变力，曲线： W = ∫ F ⋅ dr = ∑
A i =1
∫
B A
Fi dx i
v v dW 功率：表征作功的快慢： 功率：表征作功的快慢： P＝ = F ⋅ v = Fτ v dt
由矢量分析可知，这时存在单值、有限、 由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函数满足
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
A A
保守力定义之二） 积分与实际路径无关 （保守力定义之二） 保守力定义之三） 闭合路径积分等于零 （保守力定义之三）
v v ∫ F ⋅ dr =
v v ∫ F ⋅ dl = 0
L
势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 如果 v v v i j k v ∂ ∂ ∂ ∂Fz ∂Fy v ∂Fx ∂Fz v ∂Fy ∂Fx v ∇× F = = ( − )i + ( − )j + ( − )k = 0 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Fx Fy Fz v v 则 ∫ F ⋅ dr = 0 → 无旋场，积分与路径无关 无旋场， v v v v v v （ 电场 E ，流场 v ） ∫ F ⋅ dl = ∫∫ ∇ × F ⋅ ds = 0 必有： 必有：
A i =1
∫
B A
Fi dx i
v v dW 功率：表征作功的快慢： 功率：表征作功的快慢： P＝ = F ⋅ v = Fτ v dt
由矢量分析可知，这时存在单值、有限、 由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函数满足
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
A A
保守力定义之二） 积分与实际路径无关 （保守力定义之二） 保守力定义之三） 闭合路径积分等于零 （保守力定义之三）
v v ∫ F ⋅ dr =
v v ∫ F ⋅ dl = 0
L
势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 如果 v v v i j k v ∂ ∂ ∂ ∂Fz ∂Fy v ∂Fx ∂Fz v ∂Fy ∂Fx v ∇× F = = ( − )i + ( − )j + ( − )k = 0 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Fx Fy Fz v v 则 ∫ F ⋅ dr = 0 → 无旋场，积分与路径无关 无旋场， v v v v v v （ 电场 E ，流场 v ） ∫ F ⋅ dl = ∫∫ ∇ × F ⋅ ds = 0 必有： 必有：
分析力学7-第五章2011春讲义印发_97402873
第五章 拉格朗日方程§5．1．拉格朗日方程1．对于理想完整保守的力学体系，我们已经从哈密顿原理导出拉格朗日方程。
在同样的条件下，通过把坐标变换为独立的广义坐标也可以由达朗贝尔方程()10ni i i i i F m r r δ=-⋅=∑（1）导出拉格朗日方程。
具体过程如下：在完整约束的条件下，利用坐标变换()1,2,12i i r r q t i n s αα===，，，可以变换为独立的广义坐标，并得到1,3sii r r q s n k qαααδδ=∂=⋅=-∂∑于是（1）式就化为1110sn niii i i i i r r F m r q q q ααααδ===⎡⎤∂∂⋅-⋅=⎢⎥∂∂⎣⎦∑∑∑(2) （2）式[]中第一项1ni i i rF Q q αα=∂⋅=∂∑称为主动力对应于广义坐标αq 的广义力，是主动力在(由广义坐标构成的曲线坐标系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和，其量纲也可能与力不同。
（见后）第二项是质量与加速度的乘积在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和。
因此（2）式[]是F ma -在独立的广义坐标(一般为曲线坐标)下的推广。
第二项还可以变形为111nnni i i i i i i i i i i i i i i i r r r r r d d dd T Tm r m r r m r r q dtq dt q dtq q dt q q ααααααα===⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑∑其中2112ni ii T m r ==∑ 为动能。
以上运算利用了两个经典拉格朗日关系i i r r qq αα∂∂=∂∂i i d r r dt q q αα∂∂=∂∂于是（2）式就化为10sT d T Q q q dt qαααααδ=⎛⎫∂∂+-⋅= ⎪∂∂⎝⎭∑ s ,,2,1 =α （3） 在约束完整的条件下，由于αδq 是相互独立的，由（3）就得到基本形式的拉格朗日方程()1,2,,4d T T Q sdt qq αααα∂∂-==∂∂方程（4）对理想、完整力学体系普遍成立。
理论力学-第五章分析力学2-wcx
r d i i m r i dt q i 1
n
d r i i m r i q dt i 1
1 令T mi vi2 i 1 2
体系的动能
n
n vi d vi mi vi mi vi dt i 1 q q i 1
n
d r i m r i i q dt i 1
n
r d i m r i i dt q
n
i r ri ? q q v ri i d ? q q dt
s
dri vi q dt q
Q P
基本形式的拉 格朗日方程
Note:
1,2,s
1,2,s
d T T Q dt q q
（1）方程的作用：动力学基本方程，解方程并利用初始条件
n
d n 1 n 1 2 2 mi vi mi vi dt q i 1 2 q i 1 2
P
d T T dt q q
ri ? r i ri q1 , q2 ,..., qs ; t q ri s ri dri dq dt t 1 q
i r i q1 ,..., qs ; q 一般地：r 1 ,..., q s ; t
q s ri r r i i 1 q q q q
ri ri , q q
第五章 分析力学
三者本质上相同，可以相互证明 利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
6 分析力学特点
1. 力学体系 一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一 质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合 体就称为力学体系（体系）。 给定了某一时刻质点的坐标和速度 , 由动力学方程原 则上单值地确定该时刻的加速度 , 因而能够唯一地确定下 一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度。 以此类推 , 当知道某一时刻的状态，就知道了体系在 任一时刻的状态。
(5.1)
可经过积分变为几何约束的则为完整约束，不能积分则为不 完整约束。 只受完整约束的体系称为完整系。 只要受有不完整约束的体系，则称为不完整系。
例
考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型。假定将冰刀抽象
为以刚性轻杆相连的两个质点，并设两质点质量相等， 杆长为l， 当冰刀在冰面上运动时，质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向。
(5.1)
约束条件:约束方程、 坐标和速度必需满足的条件。
3. 约束的分类
①稳定约束与不稳定约束
若限制系统位置的约束不是时间t的函数（在约束方程中不显 含时间t），则为稳定约束。可表示为
f r1 , r2 , r3 , 0
时间t），则为不稳定约束。可表示为
(5.2)
若限制系统位置的约束是时间t的函数（在约束方程中将显含
本课程将牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理作为 两个并列的理论基础。
拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的 运动, 是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样. 哈密顿正则方程 用坐标和动量作为独立变量,独立 变量2 s 个,方程降阶为一阶常微分方程.
6 分析力学特点
1. 力学体系 一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一 质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合 体就称为力学体系（体系）。 给定了某一时刻质点的坐标和速度 , 由动力学方程原 则上单值地确定该时刻的加速度 , 因而能够唯一地确定下 一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度。 以此类推 , 当知道某一时刻的状态，就知道了体系在 任一时刻的状态。
(5.1)
可经过积分变为几何约束的则为完整约束，不能积分则为不 完整约束。 只受完整约束的体系称为完整系。 只要受有不完整约束的体系，则称为不完整系。
例
考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型。假定将冰刀抽象
为以刚性轻杆相连的两个质点，并设两质点质量相等， 杆长为l， 当冰刀在冰面上运动时，质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向。
(5.1)
约束条件:约束方程、 坐标和速度必需满足的条件。
3. 约束的分类
①稳定约束与不稳定约束
若限制系统位置的约束不是时间t的函数（在约束方程中不显 含时间t），则为稳定约束。可表示为
f r1 , r2 , r3 , 0
时间t），则为不稳定约束。可表示为
(5.2)
若限制系统位置的约束是时间t的函数（在约束方程中将显含
本课程将牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理作为 两个并列的理论基础。
拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的 运动, 是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样. 哈密顿正则方程 用坐标和动量作为独立变量,独立 变量2 s 个,方程降阶为一阶常微分方程.
理论力学-第五章分析力学1-wcx
n i 1
（1）使用范围：理想约束 （2）范围的扩展：对于有摩檫的约束，可将其视为主动力 （3）优点：去掉约束力，仅得到主动力平衡方程
局限性：无法求约束力
F Fx i Fy j Fz k 【例1】自由质点受外力作用保持平衡，所受外力为：
试由虚功原理求其平衡方程。
2、广义坐标形式的虚功原理
约束力不出现在方程中
方程形式与坐标系的选择无关
方程形式与研究对象无关
完全用数学分析的方法来处理力学问题
第一节 约束与广义坐标
一、约束 1、约束的概念：限制质点自由运动的条件 2、约束与自由度的关系：s 3n k 3、约束的分类 （1）稳定约束和非稳定约束
f ( x, y, z ) 0 稳定约束（定常约束） 约束方程 束） f ( x, y, z; t ) 0 非稳定约束（非定常约 v
a 2 sin cos l 2 a 2 sin 2
1
Q M Fa sin F
a 2 sin cos l a 何约束 f ( x, y, z; t ) 0 微分约束
, y , z ; t ) 0 f ( x, y, z; x
可以积分 不可积分
完整约束 非完整约束
可解约束
（2）完整系：只受完整约束的力学体系；
不完整系：受到不完整约束的力学体系
x
s
y
F
虚位移的大小： s l
x s cos l cos 分量形式： y s sin l sin
（2）变分运算法
先写出质点的笛卡尔坐标，找到其与广义坐标之间的关系，再 利用变分计算出对应的虚位移
（1）使用范围：理想约束 （2）范围的扩展：对于有摩檫的约束，可将其视为主动力 （3）优点：去掉约束力，仅得到主动力平衡方程
局限性：无法求约束力
F Fx i Fy j Fz k 【例1】自由质点受外力作用保持平衡，所受外力为：
试由虚功原理求其平衡方程。
2、广义坐标形式的虚功原理
约束力不出现在方程中
方程形式与坐标系的选择无关
方程形式与研究对象无关
完全用数学分析的方法来处理力学问题
第一节 约束与广义坐标
一、约束 1、约束的概念：限制质点自由运动的条件 2、约束与自由度的关系：s 3n k 3、约束的分类 （1）稳定约束和非稳定约束
f ( x, y, z ) 0 稳定约束（定常约束） 约束方程 束） f ( x, y, z; t ) 0 非稳定约束（非定常约 v
a 2 sin cos l 2 a 2 sin 2
1
Q M Fa sin F
a 2 sin cos l a 何约束 f ( x, y, z; t ) 0 微分约束
, y , z ; t ) 0 f ( x, y, z; x
可以积分 不可积分
完整约束 非完整约束
可解约束
（2）完整系：只受完整约束的力学体系；
不完整系：受到不完整约束的力学体系
x
s
y
F
虚位移的大小： s l
x s cos l cos 分量形式： y s sin l sin
（2）变分运算法
先写出质点的笛卡尔坐标，找到其与广义坐标之间的关系，再 利用变分计算出对应的虚位移
湘潭大学现代物理导论2课件5.4拉格朗日方程
C
x
Q P R 2 (l / 2) 2 cos 故
现代物理导论I
V 解：方法三、势能法 Qs qs
系统势能
y
V P R 2 (l / 2) 2 sin
C
x
故
V Q P R 2 (l / 2) 2 cos
现代物理导论I
例 2、均质杆 OA 及 AB 在 A 点用铰 连接， 并在 O 点用铰支承， 如图所示。 两杆各长 2l1 和 2l2 ，各重 P 及 P ，设 1 2 在 B 点加水平常力 F ， 及 为广 以 义坐标，计算广义力。
或写成
d T T Qs dt qs qs
（5.4.9）
这就是基本形式的拉格朗日方程。
现代物理导论I
d T T Qs dt qs qs 拉格朗日方程是广义坐标 qs 以及时间 t 的二阶常微分
方程。这组方程的好处是只要能写成系统的动能，以 及作用在系统上的广义力，就可以写出系统的动力学 方程。
现代物理导论I
交换求和顺序： n N n N ri ri ) q 0 （5.4.4） ( Fi q ) qs (mi ri q s s 1 i 1 s 1 i 1 s s
ri 令： Fi Qs qs i 1 则动力学普遍方程为
i 1
将动力学普遍方程化为广义坐标形式，即得到所谓的第 二类拉格朗日方程。 （1）拉格朗日方程推导 假设研究的体系为双面、理想、完整的约束，系 统的自由度为 n ，即可以找到 n 个广义坐标，每个质点 的位置都可以用广义坐标表示 xi xi (q1 , q2 , qn , t ) yi yi (q1 , q2 , qn , t ) z z ( q , q , q , t ) i 1 2 n i
分析力学 拉格朗日
1 x1 l1 sin 2 1 x2 l1 sin l2 sin 2 y3 l1 cos l2 cos
P x1, y1 1 P2 x2 , y2 B x3 , y3
1 1 Pl1 cos P2l1 cos Fl1 sin P2l2 cos Fl2 sin 0 1 2 2
第五章 分析力学
§5.1 约束与广义坐标 §5.2 虚功原理 §5.3 拉格朗日方程 §5.4 小振动 §5.5 哈密顿正则方程 §5.6 泊松括号和泊松定理 §5.7 哈密顿原理 §5.8 正则变换 §5.9 哈密顿-雅科比理论 §5.10 相积分与角变数 §5.11 刘维定理
§5.1 约束与广义坐标
ri ri q q
1 s 2 得到 P d T T 注意 T mi ri dt q q 2 1
Q P q
1
s
0
d T T Q dt q q q 0 1
第五章 分析力学
分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法 完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的 目的是为了 用数学方法解决复杂的力学问题，后来的 研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对 物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律 抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍 的性质，掌握这些对今后的学习很重要。 这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程 和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概 念在量子力学中非常重要。
n
s ri ri dri ri q q t dt 1
P x1, y1 1 P2 x2 , y2 B x3 , y3
1 1 Pl1 cos P2l1 cos Fl1 sin P2l2 cos Fl2 sin 0 1 2 2
第五章 分析力学
§5.1 约束与广义坐标 §5.2 虚功原理 §5.3 拉格朗日方程 §5.4 小振动 §5.5 哈密顿正则方程 §5.6 泊松括号和泊松定理 §5.7 哈密顿原理 §5.8 正则变换 §5.9 哈密顿-雅科比理论 §5.10 相积分与角变数 §5.11 刘维定理
§5.1 约束与广义坐标
ri ri q q
1 s 2 得到 P d T T 注意 T mi ri dt q q 2 1
Q P q
1
s
0
d T T Q dt q q q 0 1
第五章 分析力学
分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法 完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的 目的是为了 用数学方法解决复杂的力学问题，后来的 研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对 物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律 抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍 的性质，掌握这些对今后的学习很重要。 这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程 和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概 念在量子力学中非常重要。
n
s ri ri dri ri q q t dt 1
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与 s 1 和 s 2 相应的幅度就是 1 t 和 2 t 。同时，把体系的运动看成 s 2 的幅度， s 1 和 即 1 t 和 2 t 随时间的变化。也就是说，我们用 1 t 和 2 t 来描述体系的运动，而 不是直接用q 1 t 和q 2 t 来描述。 也就是说，在传统的图像中，我们把耦合谐振子的运动看成 “随时间的变化q 1 t 和q 2 t ”
这样一来，我们问题的解，即（5.124a,b）中的q 1 t 和q 2 t ，就可以写成 qt 1 t s 1 2 t s 2 . （5.126） 这里 s 1 和 s 2 是两个跟时间无关的列向量 s 1 1 2 1 1 ; s 2 1 2 1 −1 . （5.127）
间变化。我们有 q 1 t q 2 t 2 t s 2 2 t 1 2 1 −1 （5.137）
即q 1 和q 2 的取值始终相反。
我们称这两种特殊的运动，即两种独立构型各自的振荡 s 1 A 1 cos 1 t 1 s 1 1 t 和 s 2 A 2 cos 2 t 2 s 2 2 t 为我们研究的体系的简正模式。我们看到每个单独的简正模式，其运动都等价于一 个独立的谐振子。而体系真实的运动，一定是这两种简正模式的叠加，即构型 s 1 和 s 2 的幅度都不为零，都在随时间震荡。我们进一步称让拉格朗日量L解耦的广义坐 标 1 和 2 ，为简正坐标。而它们各自的频率 1 和 2 ，则被称为简正频率。 5.8.1d 小结 在上面的分析中，我们看到，在两个耦合的谐振子这个例子中，我们可以做到： 1.找到一组合适的广义坐标 1 和 2 ，它们是原始的广义坐标q 1 ，q 2 的线性组合， 同时，拉格朗日量中没有 1 ̇ 1 与 2 ̇ 2 相乘的项，即拉氏量被解耦，自然， 1 和 2 满足两个相互独立的运动方程。它们的运动如同两个不耦合的谐振子一样，以各 自的频率，根据初始条件进行振动，相互之间不干扰。 1 和 2 称为简正坐标。 s 2 。当 2.同时，我们发现存在两个线性独立，并且与时间无关的的列矢量 s 1 和 1 2 s 的线性组合时，其相应的幅度正是简正坐标 我们把原始的广义坐标 q分解为 s 和 1 和 2 。 3.于是，我们得到了一个新的看问题的图像。在新的图像中，原始的广义坐标 q被 s 2 以随时间变化的幅度线性组合。而体系的运动则由 s 1 和 s 2 的 始终看成构形 s 1 和 幅度，即 1 和 2 随时间的变化来描述。如前所述， 1 和 2 满足两个独立的方程。这意 s 2 的幅度各自独立的随时间振荡，如同两个谐振子一样。从这个 味着在运动中 s 1 和 角度看，耦合振子的问题在数学上和两个频率不同的独立振子的问题完全等价。如
就必然可以写成 1 与 2 的两个方程 ∂L 1 1 , ̇ 1 d dt ∂ ̇1 ∂L 2 2 , ̇ 2 d dt ∂ ̇2
∂L 1 1 , ̇ 1 ∂ 1 ∂L 2 2 , ̇ 2 ∂ 2
0; （5.116a） 0. （5.116b）
我们设两个振子在x轴上的坐标为x 1 和x 2 。显然，两个振子的平衡位置是 x 1 l; x 2 2l. （5.109） 两个振子只受到弹簧的弹力，因而是保守力，相应的势能为 V k x 1 − l 2 k x 2 − 2l 2 k x 2 − x 1 − l 2 . （5.110） 2 2 2 这样一来，我们可以选择振子对平衡位置的偏离作为广义坐标，即 q 1 x 1 − l; q 2 x 2 − 2l. （5.111） 于是拉格朗日量可以写成 ̇ 1, q ̇ 2 T − V Lq 1 , q 2 , q k q 2 − k q 2 − k q 1 − q 2 2 . ̇2 ̇2 （5.112） m q 1 q 2 − 2 2 2 2 1 2 于是，相应的拉格朗日方程就是 ̈ 1 −kq 1 − kq 1 − q 2 ; （5.113） mq ̈ 2 −kq 2 kq 1 − q 2 . （5.114） mq 显然，q 1 和q 2 满足的方程相互耦合。 5.8.1.b 拉格朗日量的解耦 就这个例子而言，解除这个耦合的方法很多。但是现在我们介绍一种可以推广到 很多情况的通用方法。这个方法跟我们在牛顿力学中讲过的线性方程的解耦方法本 质上是一样的，但是更为简单和清楚。我们注意到，根据拉格朗日方程（5.59）， 只要我们能重新选择一组广义坐标 1 , 2 ，使得拉氏量可以写成 L T − V L 1 1 , ̇ 1 L 2 2 , ̇ 2 , 即拉氏量中不存在 1 ̇ 1 与 2 ̇ 2 相乘的项，那么拉氏方程 d dt ∂L ∂ ̇ ∂L ∂ 0; 1, 2 （5.115） （5.114）
2 q2 1 q2
1 k/m, 2 3k/m. 这其中再也没出现 1 ̇ 1 与 2 ̇ 2 相乘的项。我们这个问题很简单，所以可以很轻松 的把这个两个合适的 1 , 2 个猜出来或者凑出来。后面我们将介绍一种更为普遍的 方法，能够在一般性的问题中，求这组合适的，能把拉氏量解耦的广义坐标。 现在我们先回到这个简单的问题。找到了合适的广义坐标之后，后面的一切都顺 理成章的。我们首先从拉氏量（5.119）求出 1,2 满足的简单的拉格朗日方程 m ̈ 1 − 1 1 ; m ̈ 2 − 2 2 . 1 1 ; 2 m （5.120a） （5.120b） 2 . m
显然，这意味着， 1,2 t 满足以简谐振子的运动方程，而相应的频率为 （5.121）
显然，这两个方程的解为 1 t A 1 cos 1 t 1 （5.122） 2 t A 2 cos 2 t 2 . （5.123） 而常数A 1 , 1 和A 2 , 2 则由t 0时刻的初始条件 1,2 0 , ̇ 1,2 0 决定。而根据公
而这两个方程之间将不存在耦合。也就是说，只要我们能找到合适的广义坐标，把 拉氏量解耦，即把拉氏量写成（5.114）的形式，我们就能把拉格朗日方程解耦。 那么，怎么去寻找合适的广义坐标 1 , 2 呢？在这个问题中，我们注意到， （5.112）中的拉氏量是以下三个量的函数 q1 − q2; 2 q2 1 q2; ̇2 ̇2 q 1 q 2. 而另一方面，我们又有 1 q 1 q 2 2 1 q 1 − q 2 2 ; 2 2 2 1 q ̇2 ̇2 ̇ 2 1 q ̇ 2 2. ̇ q ̇ − q q 1 q 2 2 1 2 1 也就是说，本质上我们的拉氏量是q 1 q 2 和q 1 − q 2 的函数，而这二者之间是没有耦 合的。这就意味着，我们只要选择 1 q 1 q 2 ; （5.117a） 1 2 Байду номын сангаас q 1 − q 2 . （5.117b） 2 2 就可以达到把拉氏量解耦，也就是把拉氏量写成L L 1 1 , ̇ 1 L 2 2 , ̇ 2 的目 的。事实上，选择这两个广义坐标之后，我们（5.112）中的拉氏量就写成了 1 2 − 2 2. （5.119） L m ̇2 ̇2 1 2 − 2 1 2 2 2 这里
5.8.1两个耦合的同频率一维谐振子
5.8.1.a 问题
我们考虑图中的例子，两个在x轴上运动的一维谐振子1和2，质量为m，二者通过 一根弹簧连接。同时振子1用弹簧和x 0处的墙壁连接，振子2用弹簧和x 3l处 的墙壁连接。假设三根弹簧的弹性系数都是k，三根弹簧平衡时的长度都是l。用拉格 朗日方程求两个振子的运动。
在新的图像中，我们把耦合谐振子的运动看成 s 2 以随时间变化的幅度 1 t 和 2 t 进行的线性组合” “基本构型 s 1 和 这两个图像当然是等价的。 需要注意的是，我们这里选择的 1 和 2 ，成功的让拉格朗日量解耦。这导致 1 t 和 2 t 满足两个独立的，与谐振子相同的微分方程（5.120a,b），它们随时间 的变化彼此独立，互不干扰。各自有各自的振动频率，各自的振动由各自的初始条 件决定。于是在新的图像下，我们体系的运动等价于两个没有耦合的独立的谐振 子。 现在我们考虑两种特殊情况。第一种情况是初始条件为 2 0 ̇ 2 0 0（5.132） 的情况。此时根据（5.120a），我们显然有 2 t 0（5.133） 2 即简正模式 s 的幅度永远为零。此时体系的构型永远正比于 s 1 ，而幅度在随时间变 化。我们有 q 1 t q 2 t 变化。 1 t s 1 1 t
1 2
1 2
1 1
. （5.134）
即q 1 和q 2 的取值始终相同，都是 1 t
。换句话说，q 1 和q 2 以相同的步调随时间
第二种特殊情况是初始条件为 1 0 ̇ 1 0 0（5.135） 的情况。此时根据方程（5.120b），我们显然有 1 t 0（5.136） 即简正模式s 1 的幅度永远为零。此时此时体系的构型永远正比于 s 2 ，而幅度在随时
公式（5.126）和（5.127）给我们带来了一个关于这个简单问题的新的图像。在 传统的图像中，我们直接关注广义坐标q 1 和q 2 取值随时间的变化。而在新的图像 中，我们则把q 1 和q 2 组成的列矢量 q q1 q2 1 −1
按照（5.126）看成 s 1 和 s 2 这两种基本构型的组合，即 q 1 t q 2 t 1 t 1 2 1 1 2 t 1 2 . （5.129）
̇ 1,2 的初始值给出。于是，归根结 式（5.117a,b）， 1,2 和 ̇ 1,2 的初始值完全由q 1,2 和q ̇ 底，只要我们知道了q 1,2 和q 1,2 的初始值，就可以定出 1,2 和 ̇ 1,2 的初始值，然后得出 t时刻的 1,2 。最后，我们再反解方程（117a）（这很容易），就得到了t时刻的q 1 和 q 2 ，即有 1 1 t 1 2 t q 1 t 2 2 1 A 1 cos 1 t 1 A 2 cos 2 t 2 ; （5.124a） 2 1 1 t − 1 2 t q 2 t 2 2 1 A 1 cos 1 t 1 − A 2 cos 2 t 2 . （5.124b） 2 当然，我们也可以先不去专门求 1,2 和 ̇ 1,2 的初始值。事实上，根据 ̇ 1,2 的初始值联系起来了。我 （5.124a,b），常数A 1 , 1 和A 2 , 2 已经直接和q 1,2 与q ̇ 1,2 的初始值出发得到这些常数，最终得到完整的q 1 t 和q 2 t 。 们可以直接从q 1,2 与q 至此，这个问题的全部求解已经完成。 5.8.1c 简正坐标和简正模式 我们现在从另一个角度审视这个异常简单的例子，这将使我们得到一些更为有趣 的认识。为了更为清晰和简洁的看待问题，我们首先利用一个列向量来标记我们的 广义坐标 qt q 1 t q 2 t . （5.125）