第十二章 微分方程作业

第十二章 微分方程作业

［作业No.1］§1,2微分方程的基本概念与可分离变量的微分方程

一.填空： 班级 姓名 1） 一般地，凡表示未知函数 与 之间关系方程，叫微分

方程．

2） 曲线族y c e c e x x

=+-122中满足y y (),()0102==-的曲线方程为 ．

3） 指出下列方程阶数:(1)x y yy x ()'-'+=2

20. ．

(2) ()760x dx ydy -+=. ．

(3) L

d Q dt R dQ dt Q

C 22

0++= ． 4) 微分方程'=y xy 2的通解 ．

5) 微分方程F x y y y (,,,())420'''=的通解中含有 个任意常数．

6) 微分方程y dx x dy 210--=()是 （类型）微分方程． 7）以2

32221)()(C C y C x =-+-为通解的微分方程为____________________.

二．求下列微分方程的通解：

)()1(y y a y x y '+='-'

0)())(2(=-+-++dy e e dx e e y y x x y x

三．求下列微分方程满足初始条件的特解：

e y y y x y ==')2

(,ln sin )1(π

4

)0(,0sin )1(cos )2(π

=

=++-y ydy e ydx x

四．有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60o ，漏斗下面有面积为052.cm 的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间．

五．小船从河边点O 处出发向对岸（两岸为平行直线）．设船速为a ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k ）,求小船的航行路线．

［作业No.2］§3,4 齐次方程与一阶线性微分方程 班级 姓名 一.求下列微分方程的通解：

03))(1(2

33=-+dy xy dx y x

x e x y y sin cos )2(-=+'

0)ln (ln )3(=-+dy y x ydx y

02)

6)(4(2=+-y dx

dy

x y

二.求下列微分方程满足初始条件的特解：

1,0)2()2)(1(12222==-++-+=x y

dy x xy y dx y xy x

1,132)2(132==-+=x y y x

x dx dy

三.设曲线积分yf x dx xf x x dy L

()[()]+-⎰22在右半平面()x >0内与路径无关，其

中f x ()可导，且f ()11=,求f x ()．

［作业No.3］§5 全微分方程 班级 姓名 一 判别下列方程哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：

()()()120222a xy y dx x y dy ---+=

()()202x y dx xdy --=

0))(3(22=-+xydy dx y x

二 利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：

()()()1313022y x y dx y x dy -+-=

()22302ydx x dx xdy --=

032)3(2=--xdy dx xy ydx

三.取何值时，方程(cos cos )(sin sin )m x y y x dx y x x y dy ++-=2220为全微分方程，并求出此时方程的通解．

［作业No.4］§７可降阶的高阶微分方程 班级 姓名 一.求下列微分方程的通解：

()11

12

''=

+y x

()2''='+y y x

()3103y y ''-=

()()43''=+'y y y

二.设有一质量为m 的物体，在空中由静这静止开始下落，如果空气阻力为R c v =22（其中c 为常数，v 为物体运动的速度）试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系．

［作业No.5］§8,9高阶线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程

一.填空： 班级 姓名 1） 方程'+=y y 20的通解为 ．

2）微分方程'''-''+'=y y y 20的通解为 ．

二.求下列微分方程的通解：

()120''+'-=y y y

()2450''-'+=y y y

02)3()4(=+''+y y y

三.求下列微分方程满足初始条件的特解：

(),,1440200

''+'+=='

===y y y y

y x x

(),,2340050

''-'-=='

=-==y y y y

y x x

(),,3250250

''+=='

===y y y

y x x

四.设圆柱形浮筒，直径为0.5m,没，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求的浮筒质量.

［作业No.6］§10 二阶常系数非齐次线性微分方程 班级 姓名 一.求下列微分方程的通解：

()1255212''+'=--y y x x

()2323''+'+=-y y y xe x

()sin 3252''-'+=y y y e x x

()()46913''-'+=+y y y x e x