数字信号处理快速傅里叶变换

要增加信号最高频率f h 则f s
当N 给定 F0必 ，即分辨率
1 要提高频率分辨率，即F0 则T0 F0
当N 给定 则T
f s 要不产生混叠，f h必
同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采 样点数N。
信号最高频率f h的确定
t0 Th / 2
1 1 fh Th 2t0
对连续时间非周期信号的DFT逼近过程
1）时域抽样 2）时域截断 3）频域抽样
近似逼近： X ( jk 0 ) T DFT [ x(n)]
1 x(n) IDFT [ X ( jk 0 )] T
对连续时间周期信号的DFS逼近
1 X ( jk 0 ) T0

T0
0
x (t )e jk 0t dt
k z WN

n


nk x ( n )WN
分析：X (k ) x(n) ??
令xN (n)为X (k )的IDFS：
1 N 1 nk xN (n ) IDFS [ X (k )] X (k )WN N k 0 1 N 1 mk nk [ x(m)WN ]WN N k 0 m 1 x(m)[ N m
或
nk X (k ) x (n )WN RN (k ) X (k ) RN (k )
1 x(n) N
nk X ( k ) W N RN ( n ) x ( n ) RN ( n ) k 0
2 N
N 1
其中： WN e
j
DFT 与序列的DTFT和z变换的关系：


n
T

x (nT )e jnT T
2）将 x ( n ) 截短成有限长序列 t 0 ~ T0，N 个时域抽样点
X ( j) T x (nT )e jnT
n 0
3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 F0 ，时域周期延拓，
周期为 T0 1/ F0
N-1 n 0 N 1
X ( j) x(t )e jt dt



1 x (t ) 2


X j e j t d
1）将 x (t ) 在 t 轴上等间隔（T）分段
t nT
dt T




dt
X ( j) x(t )e jt dt
N-1
n
r ( mn ) k W N ] k 0 N 1
x(n rN )
r为任意整数
1 N 1 ( mn ) k 1 m n rN WN 其它m N k 0 0
由频域抽样序列 X (k )还原得到的周期序列 是原非周期序列 x ( n )的周期延拓序列，其 周期为频域抽样点数N。
例：已知序列x(n) R4 (n), 求x(n)的8点和16点DFT。
解：求x n 的DTFT
X e
j
x n e
n

j n
e j n
n 0
3
1 e j 4 1 e j

e j 2 e j 2 e j 2 e
e
3 j k 8
求x n 的16点DFT N 16
X k X e j
3 2 j k 2 16

2 k 16
e
2 sin 2 k 16 1 2 sin k 2 16 sin k 4 sin k 16
即可由频域采样X ( k )不失真地恢复原信号 x ( n )，否则产生时域混叠现象。
用频域采样 X ( k ) 表示 X ( z )的内插公式
M 点有限长序列x(n )，频域N点等间隔抽样，且 NM
X ( z ) x(n ) z n x(n ) z n
n 0 n 0
sin N k k N 1 j ( N 1) j 2 N 1 j N 2 k (e ) k ( z ) z e j e e N sin k 2 N
内插函数： N sin N 1 j 1 2 2 ( ) e N sin 2
X (e j ) x(n)e jn
n 0 nk X (k ) x(n )WN X ( z) n 0 N 1 N 1
X ( z ) x ( n) z n
n 0
N 1
2 j k k z WN e N
X (e j )

2 k N
x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样； x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽 样。
近似逼近： X ( jk 0 ) 1 DFS [ x(n )]
N
x(n) N IDFS[ X ( jk 0 )]
信号的 频谱分 析：计 算信号 的傅里 叶变换
T 时域采样间隔 f s 时域采样频率 T0 信号记录长度 F0 （频率分辨率）频域采样间隔 N 采样点数 f h 信号最高频率
x (t )
k


X jk 0 e ຫໍສະໝຸດ Baiduk0t
1）将 x (t ) 在 t 轴上等间隔（T）分段
dt T dt T 0 n 0 1 N 1 X ( jk 0 ) x ( nT )e jk 0nT T T0 n 0 2 N 1 j nk 1 N 0T 2 / N x ( n )e N n 0 1 T0 NT DFS [ x ( n )] N t nT
X (k ) k 1 1 W k 0 N z
N 1
1 zN 内插公式：X ( z ) N
X (k ) k 1 k 0 1 WN z
N 1
1 1 zN 内插函数： k ( z ) k 1 N 1 WN z
则内插公式简化为： X ( z ) X ( k ) k ( z )
内插公式： 2 X ( e ) X ( k ) ( k) N k 0
j N 1
2 1 k k 2 N ( k) N 0 2 i i i k N
五 、用DFT对模拟信号作频谱分析
对连续时间非周期信号的DFT逼近
fs 2 fh f s 1/ T
T0 1/ F0
f s NF0 T0 NT
T0 f s N T F0
频率响应的混叠失真及参数的选择
时域抽样：f s 2 f h 频域抽样：F0 1/ T0
T0 f s N T F0
信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾
T0 f s N T F0
三、离散傅里叶变换（DFT）
长度为N的有限长序列x(n ) 周期为N的周期序列x(n )
x(n) x(n) RN (n) x(n )的主值序列
N
x(n)
r
x(n rN ) x((n))

x(n )的周期延拓
同样：X(k)也是一个N点的有限长序列
X (k ) X ((k )) N X (k ) X (k ) RN (k )
M 1
N 1
1 n 0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n z
1 N
1 N
N 1 nk n X (k ) WN z k 0 n 0
N 1
Nk N 1 zN 1 WN z X (k ) k 1 N 1 WN z k 0 N 1
j

2
j j 2 2 e e
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4

2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
n 0
0 2 F0
X ( jk 0 ) T x (nT )e jk0nT
T x ( n )e
j 2 nk N
k 0
0T 2 F0 / f s 2 / N
T DFT [ x ( n )]
1 s jnT d 0 x ( nT ) X ( j ) e d 2 0 N 1 d 0 1 N 1 jk 0nT X ( jk 0 )e 0 k 0 2 k 0 2 2 N 1 N 1 j nk j nk 1 1 F0 X ( jk 0 )e N N f s X ( jk 0 )e N N N k 0 k 0 1/ T IDFT [ X ( jk 0 )]
T0
N 1
2）频域截断：长度正好等于一个周期
x (nT ) X ( jk 0 )e jk 0nT
k 0
N 1
X ( jk 0 )e
k 0
N 1
j
2 nk N
1 N N
X ( jk )e
k 0 0
N 1
j
2 nk N
N IDFS [ X ( jk 0 )]
e
j
3 k 16
四 、抽样z变换—频域抽样理论
时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样 信号可以不失真地还原原连续信号。
频域抽样呢？
抽样条件？
内插公式？
任意绝对可和的非周期序列x ( n )，其z变换： X ( z)
n


x(n) z n
对X ( z )在单位圆上N 点等间隔抽样，得周期序列： X (k ) X ( z )
有限长序列的DFT正变换和反变换：
nk X (k ) DFT [ x(n )] x(n )WN n 0 N 1
0 k N 1
1 x(n ) IDFT [ X (k )] N
N 1 n 0
nk X ( k ) W 0 n N 1 N k 0
N 1
例：有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数 必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理 措施，已给条件为：
1）频率分辨率 10 Hz 2）信号最高频率 4kHz
试确定以下参量： 1）最小记录长度T0 3）在一个记录中最少点数N
2）抽样点间的最大时间间隔T（即最小抽样频率）
解： 1）最小记录长度：
1 1 T0 0.1s F0 10
2）最大抽样间隔 （f s 2 f h
f s 1/ T）
1 1 T 0. 125ms 3 2 f h 2 4 10
3）最小记录点数
2 f h 2 4 103 N 800 F0 10
k 0 N 1
零点：z e
j
2 r N
，r 0,1,..., N 1
极点：z e
j
2 k N
， 0 ( N -1)阶
用频域采样 X ( k )
X (e j ) X ( z )
z e j
表示 X (e ) 的内插公式
N 1 k 0
j
X ( k ) k ( e j )
所以：时域抽样造成频域周期延拓 同样，频域抽样造成时域周期延拓
x(n)为无限长序列—混叠失真
x(n)为有限长序列，长度为M
1）N M ，不失真 2）N M ，混叠失真
频率采样定理
若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
NM
时，才有
xN (n) RN (n) IDFS[ X (k )]RN (n) x(n)