基本不等式中1的妙用

基本不等式中“ 1 的妙用”

一、考法解法

命题特点分析

此类题目主要特点是： 1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式的值

已知，求另一个代数式的最小值，其中两个代数式一个是整式ax by ，一个是分式m n，当

然xy 会在此基础上进行变形。

解题方法荟萃

yx 主要是凑出可以使用基本不等式的形式：的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。xy

二、典型题剖析

12 例题 1：（ 1）已知x, y R ，x 2y 1，求的最小值；

xy

12

（2）已知x, y R ，x 2 y 3 ，求的最小值；xy

32

（3）已知x,y R ，2，求6x 2y的最小值；

xy

（4）已知x, y R ，x 2y xy，求x 2y 的最小值；

【解析】这四个题目中，（1）是“ 1 的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（ 2）

是将已知值变成了 3，需要调节系数，（ 3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。

1 2 1 2 2x 2 y

【答案】（ 1）（x 2 y）（） 1 4 5 2 4 9

x y x y y x

2x 2 y 1

当且仅当即x y 时取等号y x 3

1 2 1 1 2 1 2x 2y 1

2)(x 2 y)( ) (1 4) (5 2 4) 3

x y 3 x y 3 y x 3

2x 2 y 1

当且仅当即x y 时取等号y x 3

3)6x 2y= 1(3 2)(6x 2y) 9 3y 6x 2 18 6 2

2 x y x y

当且仅当6x 3y即 2x y 3 2+2时取等号

y x 2

1 2

1 2 x 4y

4)

因为 x 2y xy ，所以 1，然后 x 2y=(x+2y)( + )= 4 8 y x y x y x

而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式； 一个常数，而是混搭的形式； （4）在上一题的

基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。 答案】

1）整式变形成 x 1 y 1 3 ，

1 2

1

(x 1 y 3)( 1 2

) 1

(1 2

y 3 2(x 1)

) 1

2 2

然后求当 x y 1 时，代数式

的最小值

x 1 y 1

3）整式变形成 2x y y 3 5 ，求代数式

1 2

最小值

当且仅当

4 y

即 x 2y 4时取等号

x

例题 2： 1） 已知 x, y R ， x y 1 ，求 12

1 2

的最小值； x1 y3

解析】 不等式， 2） 3） 4） 已知

已知 已知 x, y x, y x, y R ， x y 1 ，求 R

， x y 1 ，求

x1 2

y

的最小值；

y1

2

的最小值；

y3

R ， 2x 3 y 1，求

这四个题目是便是比较大的四个题目： 我们需要对整式也进行相应的变形； xy

1） 2

2

的最小值； y3

是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本 2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数

3）在（ 1）的情况下分母进一步变化，不是加

当且仅当 y 3 2(x 1) x1 y3

取等号 2） 22

x

2 y

2

22

( x 1)2 2(x 1) 1 (y 1)2

2(y 1) 1 x 1 2

1 y 1 2

1

x1 y1 x1

y1

11

2x y y 3

2

即= 2， =2 ，1, =2 ，分式变形为+3

22

整式变形为2x 2y y 3 4 ，然后求的最小值。

2x 2y y 3

1 2x 例 3：（ 1）已知x,y R ，x y 1，求的最小

值；

xy

12

（ 2）已知x 0,1 ，，求的最小值；x 1 x

【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个

常数，而是

2x的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是

缺了整式，

y

但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。

【解析】

1) 1 2x x y 2x 1 y 2x 1 2 2当且仅当2x y时取等号x y x y x y y x

12

2)因为x (1 x) 1 ，然后求的最小值

x 1 x

三、达标与拓展

基础过关（第1— 5 题）

1．若正数x，y满足x 3y 5xy，则3x 4y的最小值是（）24 28

A．B．C．5 D．6

55

【解析】正数x，y满足x 3y 5xy，

3x 4y 53x 51y3x 4y 9545152x y53y x 153 2 132x y53x y 5

当且仅当12y 3x时取等号5x 5y

即3x 4y 的最小值是5

答案】C.

4）假设分式变形为

(x y) (y 3)

的形式，保证 x 的系数与 y 的系数之比等于整式中的系数之比，

22

2x 2y y 3

5x 5y