高等数学(下)_ 常微分方程_

例 1 求解微分方程
y
y
x
x
解
y
x
(x uxcosu)dx xcosu(udx xdu) 0,
cosudu dx , sinu ln x C, x
微分方程的解为 sin y lnx C. x
例2
求解微分方程
x
2
dx xy
y2
2y
dy 2
xy
.
y 2 y
解
dy
2
2y xy
2
积分得 u(x) Q(x)e P(x)dxdxC,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q(x)e P(x)dxdx C]e P(x)dx
Ce P(x)dx e P(x)dx Q(x)e
P(x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例1
求方程 y
1 y sinx
x
x
的通解.
dy dx
P(x)y
0.
(使用分离变量法)
dy P(x)dx, y
dy
y P(x)dx,
ln y P(x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P(x)dx .
2. 线性非齐次方程 dy P(x)y Q(x). dx
dy Q(x)
y y
Q(x)
y
Q(x)
y
即 y ev(x)e . P(x)dx 非齐次方程通解形式
C1,
,
Cn1),
dy
原方程通解为 (y, C1, , Cn1) x Cn,
例 2 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p(y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P(y dP P) 0,
dy
dy
由
y
dP dy
P
0，
可得 P C1y,
2
x
x 2,
dx x xy y2
y
1
x x
令u
y ,
则dy xdu udx,
x
u
xu
2u2 u 1 u u 2 ,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u 2 u u 2 u1
x
31
2
2
u1 3 Cx. u(u2) 2
微分方程的解为 (y x)2 Cy(y 2x)3.
二、 y(n) f(y, y (k),, y (n1) ) 型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p(y)
则 y dp
dy
pdP ,
dy dx dy
d2P y P2
Pd(P )2 ,
,
dy 2
dy
代入原方程得到新函数 P(y)的(n1)阶方程，
求得其解为
dy dx P(y) (y,
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
当 f (u) u 0时, 得
du lnC1x,
f (u) u
即 x Ce(u) ,
（(u)
du ） f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
Ce
(
y x
)
,
当u0, 使 f (u0) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0x.
. 为所求通x2 解 Ce y
例2 求方程 f (xy)ydx g(xy)xdy 0通解. 解 令u xy, 则du xdy ydx,
0, u x
通解为 ln| x |
g(u) du C. u[ f (u) g(u)]
一、齐次方程
1.定义 Fra Baidu bibliotek如 dx
x , 即 y xu,
,
代入原式
解 P(x) 1 , Q(x) sinx ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x x
e
1 dx
x dx
C
e
ln
x
sin
x
e
ln xdx
C
x
1 sin xdx C 1 cosx C.
x
x
例2 如图所示，平行与y 轴的动直线被曲
g(y)dy f (x)dx
分离变量法
设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和 f (x)的原函
数, G(y) F(x)C 为微分方程的解.
二、典型例题
例1 求解微分方程 dy . 2 的通解 xy dx
解 分离变量 dy , 2xdx y
两端积分
dy y
,
2
xdx
ln y x2 C1
一、 y (n) f (x, y (k) ,, y (n1) )型
特点： 不显含未知函数 y及 y,, y(k1).
解法： 令 y(k) P(x)
则 y(k1) P, y(n) P . (nk)
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f (x,P(x),,P (nk1)(x)). 求得 P(x),
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当Q(x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x 2, dx xsint t 2, 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, ycos y 1, 非线性的.
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy C1y, dx
原方程通解为 y C2e C1x .
三、恰当导数方程
特点 左端恰为某一函数 (x, y, y,, y(n1)) 对x的导数, 即 d (x, y, y ,, y(n1)) 0. dx
解法： 类似于全微分方程可降低一阶 (x, y, y,, y(n1)) C, 再设法求解这个方程.
与齐次方程通解相比: C u(x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x) 原未知函数 y(x),
作变换 y u(x)e P(x)dx
y u(x)e P(x)dx u(x)[P(x)]e P(x)dx ,
将y和y代入原方程得 u(x)e P(x)dx Q(x),
将 y (k) P(x)连续积分k次, 可得通解.
例 1 求方程 xy(5) y(4) 0的通解.
解 设 y(4) P(x), y(5) P(x)
代入原方程 xP P 0, （P 0）
解线性方程, 得P C1x
1 2
即 y(4) C1x,
120
6
2
原方程通解为y d1x5 d2x3 d3x2 d4x d5
例 3 求方程 yy y2 0的通解. 解 将方程写成 d (yy) 0,
dx
故有 yy C1, 即 ydy C1dx,
2
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
第二讲 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
g(y)dy f (x)dx 可分离变量的微分方程.
5
dx 解法 设函数g(y)和 f (x)是连续的,