北师大版高中数学必修2圆的标准方程

练一练 以原点为圆心，以 3 为半径的圆的标准方程为( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝9
C．(x－3)2＋(y－3)2＝9 D．(x－3)2＋y2＝9
答案：B
1．圆的标准方程与圆心坐标，半径有何关系？ 答：由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小； 另一方面，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程． 2．一般怎样求圆的标准方程？ 答：确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定 系数法求 a，b，r.
解此方程组，
a＝2， 得b＝－3，
r2＝25，
∴△ABC 的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
求经过 A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线 l：3x ＋10y＋9＝0 上的圆的标准方程．
【解】 AB 中点坐标(3,3)，kAB＝56－ －10＝23，AB 中垂线方程 y －3＝－32(x－3)．即 3x＋2y－15＝0.
∴方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
答案：C
3．一个圆经过 A(10,5)，B(－4,7)两点，半径为 10，则圆的方 程为____________________．
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝100. 则－ 104－－aa2＋2＋5－ 7－bb2＝2＝101000，， 解得ab＝ ＝2－，1 或ab＝ ＝413，. 则圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100 或(x－4)2＋(y－13)2＝ 100. 答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝100 或(x－4)2＋(y－13)2＝100
解法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25， ∵圆截 y 轴线段长为 8， ∴圆过点 A(0,4)， 代入方程得 a2＋16＝25， ∴a＝±3， ∴所求的方程为(x＋3)2＋y2＝25 或(x－3)2＋y2＝25.
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知识点一 圆的标准方程
1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心
【正解】 解法一：如图所示(错解中图)，由题设可知|AC| ＝r＝5；|AB|＝8，则|AO|＝4，在 Rt△AOC 中|OC|＝ |AC|2－|AO|2 ＝ 52－42＝3.
设点 C 的坐标(a,0)，则|OC|＝|a|＝3. ∴a＝±3. ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25 或(x－3)2＋y2＝25.
【规律总结】 待定系数法求圆的标准方程，先设出圆的标 准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组，解方程组，求出 a、b、r 的值，代入所设方程即可．
△ABC 的三个顶点坐标分别是 A(5,1)，
B(7，－3)，C(2，－8)，求它的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ接圆的方程．
解：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为 A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①.于是 57－ －aa22＋ ＋－1－3b－2b＝2r＝2，r2， 2－a2＋－8－b2＝r2，
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典例精析 规律总结
求满足下列条件的各圆的标准方程． (1)圆心在(3,4)，半径是 5； (2)过点 A(－1,2)，B(5，－4)且以线段 AB 为直径．
【解】 (1)由题意得，圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5. (2)圆心即为线段 AB 的中点，为(2，－1)． 又|AB|＝ －1－52＋2＋42＝6 2， ∴半径 r＝3 2. ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝18. 【规律总结】 根据已知条件，写出圆心坐标和圆的半径， 代入标准方程即可．
∵该圆经过两点 A，B， ∴3－2＋122＋－b4－2＝br22＝. r2， ∴br2＝＝11，0. ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝10.
解法二：线段 AB 的中点为(1,3)， AB 的斜率 k＝3－2－－41＝－12， ∴弦 AB 的垂直平分线方程为 y－3＝2(x－1)， 即 y＝2x＋1. 由xy＝＝02，x＋1， 得圆心坐标为(0,1)． 半径 r＝ 0＋12＋1－42＝ 10， ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝10.
联立得方程组33xx＋＋120y－y＋195＝＝00，， 解得yx＝＝－7，3，
即圆心 C(7，－3)． r＝|AC|＝ 7－62＋－3－52＝ 65. ∴圆的标准方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
求经过两点 A(－1,4)，B(3,2)且圆心在 y 轴 上的圆的标准方程．
解：解法一：∵圆心在 y 轴上，∴可设圆的方程为 x2＋(y－ b)2＝r2.
和半径分别是( )
A．(－1,5)， 3
B．(1，－5)， 3
C．(－1,5)，3 答案：B
D．(1，－5)，3
2．圆心为(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝5
解析：圆的半径 r＝ 3－02＋4－02＝5，
解：解方程组x2－x＋2yy＋－21＝＝00，， 得yx＝＝10.， ∴圆心 M 的坐标 为(0,1)．
半径 r＝|MP|＝ 0＋52＋1－62＝5 2. ∴圆 M 的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， ∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝ 1－02＋8－12＝ 50＝r， ∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r， ∴点 C 在圆外． 综上，圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50，点 A 在圆内，点 B 在圆上，点 C 在圆外．
圆心在点 C(8，－3)，且经过点 P(5,1)的圆
的标准方程为( ) A．(x－8)2＋(y－3)2＝25 C．(x－8)2＋(y－3)2＝5
B．(x－8)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25
解析：R＝|CP|＝ 8－52＋－3－12＝5. ∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25. 答案：D
第二章 解析几何初步
§2 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．会根据圆心、半径写出圆的标准方程． 2．会根据已知条件求圆的标准方程.
圆的标准方程 圆心为(a，b)，半径是 r 的圆的标准方程是_(x_－__a_)_2＋__(_y_－__b_)_2＝__r_2__. 圆心在原点时，圆的方程为 x2＋y2＝r2.
求圆心在直线 2x－y－3＝0 上，且过点(5,2)和点(3， －2)的圆的方程．
【解】 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则25a－－ab－2＋3＝2－0，b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2，
解得ab＝ ＝21， ， r＝ 10.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
|AB|
＝
1 2
× －2－22＋－5＋32＝ 5，
∴圆的标准方程为 x2＋(y＋4)2＝5.
答案：x2＋(y＋4)2＝5
知识点三 点与圆的位置关系 5．已知圆的圆心 M 是直线 2x＋y－1＝0 与 x－2y＋2＝0 的交 点，且圆过点 P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点 A(2,2)，B(1,8)， C(0,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
知识点二 几何法求圆的方程 4．过点 A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准 方程为______________________．
解析：过 A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆就是
以
AB
为 直 径 的 圆 ， ∴ 圆 心 为 (0 ， － 4) ， 半 径
r
＝
1 2
已知某圆的圆心在 x 轴上，半径长为 5，且在 y 轴上 截得的线段长为 8，求该圆的标准方程．
【错解】 如图所示，由题意可知|AB|＝8|AC|＝5， 在 Rt△AOC 中， |OC|2＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝9. ∴|OC|＝3，C(3,0)． ∴所求圆的标准方程是 (x－3)2＋y2＝25. 【错因分析】 借助图形解决问题时，未考虑到几何图形的 各种情形，考虑问题不全面，丢解．