高中数学北师大版必修四课件：第一章 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

k∈Z上是减少的
在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 上是减少的；在区间[π＋2kπ， 2π＋2kπ]，k∈Z上是增加的
题型探究
类型一 正弦余数、余弦函数的定义域
例1 求下列函数的定义域.
(1)y＝ 2sin x－ 3；
解 自变量 x 应满足 2sin x－ 3≥0，
即
sin
x≥
3 2.
图中阴影部分就是满足条件的角 x 的范围，即{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般 通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑 三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可 以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.
跟踪训练1 函数y＝ 2sin x＋1 的定义域为[－π6＋2kπ，76π＋2kπ]，k∈Z . 解析 要使 2sin x＋1有意义， 则必须满足2sin x＋1≥0， 即 sin x≥－12， 结合单位圆，知 x 的取值范围是[－π6＋2kπ，76π＋2kπ]，k∈Z.
答案
思考2
能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？ 答案 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每 一个区间 [2kπ－π2，2kπ＋π2] (k∈Z)上是增加的.
答案
梳理
正弦、余弦函数的性质
正弦函数(y＝sin x)
余弦函数(y＝cos x)
定义域
R
值域
[－1， 1]
最小值
当x＝－
解析 答案
类型三 正、余弦函数的单调性
例3 函数y＝cos x的一个递增区间为
A.(－π2，π2)
B.(0，π)
(π2，32π)
D.(π，2π)
解析 ∵y＝cos x的递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
令k＝1得[π，2π]，即为y＝cos x的一个递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π]，
故选D.
解析 答案
反思与感悟
利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连 贯的单调区间不能并.
跟踪训练3 求下列函数的单调区间. (1)y＝sin x，x∈[－π，π]； 解 y＝sin x 在 x∈[－π，π]上的递增区间为[－2π，π2]， 递减区间为[－π，－π2]，[π2，π]. (2)y＝cos x，x∈[－π，π].
解答
反思与感悟
(1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结 合正、余弦函数的单调性进行分析. (2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论.
跟踪训练2 函数y＝2＋cos x，x∈(－π3，23π] 的值域为 [32，3] . 解析 由单位圆，可知当 x∈(－π3，23π]时，cos x∈[－12，1]， 所以 2＋cos x∈[32，3]， 所以函数 y＝2＋cos x，x∈(－π3，23π]的值域为[32，3].
k∈Z}.
解答
(2)y＝lg(sin x－ 22)＋ 1－2cos x.
1－2cos x≥0，
解
由题意知，自变量
x
应满足不等式组 sin
x－
22>0，
cos x≤12， 即
sin x> 22.
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴{x|2kπ＋π3≤x<2kπ＋34π，k∈Z}.
解答
反思与感悟
解 y＝cos x在x∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]， 递减区间为[0，π].
解答
当堂训练
1.函数y＝sin x， x∈[－π4，π4] 的最大值和最小值分别是
A.1，－1
B.1，
2 2
√C.
22，－
2 2
D.1，－
2 2
1234
答案
2.不等式 2 sin x－1≥0的解集为{x|π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z} . 解析 由 2sin x－1≥0 得，sin x≥ 22. 由单位圆可得：π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z.
解析 答案
类型二 正、余弦函数的值域与最值
例 2 (1)求函数 y＝cos x(－π3≤x≤56π)的值域. 解 ∵y＝cos x 在区间[－π3，0]上是增加的， 在区间[0，56π]上是减少的， ∴当x＝0时，ymax＝1， 当 x＝56π时，ymin＝cos56π＝－ 23， ∴y＝cos x(－π3≤x≤56π)的值域是[－ 23，1].
解答
(2)已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值. 解 当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2， ∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1； 当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2， ∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1.
π 2
＋2kπ，k∈Z时，
ymin＝－1
当x＝π＋2kπ，k∈Z时， ymin＝－1
最大值 当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
周期性
周期函数，最小正周期为2_π__
在区间[－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_]，
k∈Z上是增加的； 单调性 在区间[ π2＋2kπ，32π＋2kπ ]，
第一章 § 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
学习目标
1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质. 2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 正弦、余弦函数的性质
思考1
正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ 答案 设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变 量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x， |sin x|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.
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解析 答案
3.函数y＝ 2cos x－1 的定义域为 －π3＋2kπ，3π＋2kπ ，k∈Z .
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答案
4.求y＝－2sin x，x∈[－π6 ，π]的值域. 解 由 x∈[－π6，π]，得 sin x∈[－12，1]，
∴y＝[－2，1]， ∴y＝－2sin x，x∈[－π6，π]的值域为[－2， 1].