第二章-概率论解析答案习题解答

第二章-概率论解析答案习题解答

第二章 随机变量及其分布

I 教学基本要求

1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；

2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；

3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；

4、会求简单随机变量函数的分布.

II 习题解答

A 组

1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为

1(,)

F F ω=、2

(,)

T F ω

=、3

(,)

F T ω

=、4

(,)

T T ω

=

以X 表示两个产品中的合格品数.

(1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1)

10

ω→、2

1

ω

→、3

1

ω

→、4

2

ω

→；

(2) 1

2(1)(1)2(1)

p X C p p p p ==-=-.

2、下列函数是否是某个随机变量的分布函

数？

(1) 0

21()2021

x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨

⎪≥⎪⎩；

(2)

2

1()1F x x =

+

()

x -∞<<+∞.

解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=；(0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数.

(2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数.

3、设X 的分布函数为

(1)0

()00

x A e x F x x -⎧-≥=⎨

<⎩

求常数A 及(13)p X <≤？

解：由()1F +∞=和lim (1)x

x A e

A

-→+∞

-=得 1

A =；

(13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=-

3113

(1)(1)e e e e ----=---=-.

4、设随机变量X 的分布函数为

2

00()0111

x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩

求常数A 及(0.50.8)p X <≤？

解：由(10)(1)F F +=得

1

A =；

(0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=-

220.80.50.39

=-=.

5、设随机变量X 的分布列为

()a

p X k N

== (1,2,,)k N =L 求常数a ？

解：由11

i

i p

+∞

==∑得

1

1N

k a

N ==∑

1

a ⇒=.

6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？

解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、5，且

05

1090

5

100

(0)C C p X C ==、

141090

5

100

(1)C C p X C ==、

231090

5

100

(2)C C p X C ==、

321090

5

100

(3)C C p X C ==、

411090

5100

(4)C C

p X C ==、

501090

5

100

(5)C C p X C ==

于是X 的分布列为

51090

5

100

()k k C C p X k C -==

(0,1,,5)

k =L .

7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以X 表示抽样次数，求

(1) X 的分布列； (2) X 的分布函数？

解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且

84(1)105

p X ==

=、288(2)10945p X ==⨯=、2181

(3)109845

p X ==⨯⨯=

于是X 的分布列为

X 1

2

3

p 45

845 145

(2) 由(1)可知X 的分布函数为

14125()44234513

x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨

⎪≤<⎪⎪≥⎩

.

8、设随机变量X 的分布函数为

010.211

()0.3

120.5231

3

x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩

求X 的分布列？

解：X 的分布列为

X -1 1 2 3 p 0.2 0.1 0.2 0.5

9、某大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻

(1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率； (3) 至多有3个设备被使用的概率？ 解：设X 表示被同时使用的供水设备数，则

~(5,0.1)X b

(1) 恰有2个设备被使用的概率为

2235(2)(0.1)(0.9)0.0729

p X C ===；

(2) 至少有3个设备被使用的概率为 (3)(3)(4)(5)p X p X p X p X ≥==+=+=

33244550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856

C C C =++=；

(3) 至多有3个设备被使用的概率为 (3)1(4)(5)p X p X p X ≤=-=-=