力学量与算符

x2
a 0
2 a
sin
n
a
2 x
x2dx
2 a
a 0
1
cos
2n
a
x
x
2
dx
a2 x2 sin 2n x a 1
a
2n
2x sin xdx
3 2n
a 0 2n 0
a
a2 3
ax
2n2 2
cos 2n
a
a
x
0
a
2n2 2
a 2n x
cos dx
0
a
a2
a2
3 2n2 2
备注
施密特正交化方法
给定一组线性无关基组1,2,...,n ,
取1 2
1, 2 -
2, 1 1, 1
1,
内积 , b
* d
......
n
n
n , 1 1, 1
1
n , 2 2 , 2
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2
...
n , n1 n1, n1
n1
易证，i , j i j 0,及基组 1, 2,..., n 为正交基组，
4.力学量的测量
充分条件：若[F,G]=0,则F,G有共同完备本征函数系
证明（续）：
引入矩阵R
✓ 综合：当[F,G]=0时，F的非简并本征态必是G的本征态；F的简并本征态中， 存在一组函数集，它们既是F的本征态（简并的），同时又是G的本征态
➢ 几点讨论
4.力学量的测量
4.力学量的测量
➢ 不确定性原理严格证明
• 设该共同本征函数系为n，则 Fn fnn ，Gn gn
• 对任意函数 ，可以用该完备系展开， n cnn ;
• 于是 FG FG n cnn ... fngn GF
• 由于 是任意的，因此 FG GF，得证
4.力学量的测量
充分条件：若[F,G]=0,则F,G有共同完备本征函数系 证明如下：
F r
*r,
p
Fˆ
r,
p
r
d
3r
1.算符的引入
➢ 力学量的方差：不确定度
F
2
F F
F2 F 2
➢ 实例：一维势箱中粒子
x a, 2
x2
a
2n
2
4n2
3
2
2
p 0,
p2
2mEn
n2h2 4a2
xp h 2
n2 2 2 h
3
2
x x2 x 2 a
n2 2
2,
p nh
2n 3
2a
2.力学量算符的性质
➢ 线性
➢ 厄米性
算符的函数
2.力学量算符的性质
➢ 厄米性的证明 • 基本事实：力学量的平均值必须是实数
1*
F1
1*
F
c2
c*2*
F1
c*
* 2
F
c
2
d
1
F1
*
1
F
c2
*
c2
F1
*
c2
F
c2
*
d
3.本征值与本征函数
➢ 本征方程
本征值数目可以有限，本征态的数目是无穷多的
* F
F
2 d
F
F
*
F
F
d
F
F
2
d
0
F F
✓ 为F的本征态，本征值为 f F
体系位于力学量F，G的共同本征态时，二者同时有测 量确定值
4.力学量的测量
➢ 力学量F,G何时有共同本征态？
充要条件：F和G相互对易 [F,G] 0
力学量对易子：对任意函数 ，[F,G] FG GF
1.算符的引入
➢ 位置平均值 ➢ 位置函数的平均值 ➢ 动量平均值？
错误！函数 px 没有定义，因为x处动量不确定
1.算符的引入
➢ 解决：利用动量空间态函数
➢ 回到坐标空间：
*
x
1
2
p
p eipx/ dpdx
1.算符的引入
➢ 结论：动量算符引入
p
*
x
i
x
x
dx
*
x
pˆ
x
dx
➢ 推广：力学量用算符表示
3.本征值与本征函数
➢ 本征值为实数：
证明：
* n
F
n
d
f n* nd
厄米性
=
线性
F n * nd
f
* n
n* nd
3.本征值与本征函数
➢ 本征函数(系)性质
1. 正交归一性
不同本征值对应本征态相互正交
✓ 可以有一套正交归一化的本征函数系
3.本征值与本征函数
➢ 本征函数(系)性质
对 1, 2,..., n 进行归一化，得到正交归一基组
x, pˆx =？ x, pˆx =xi x i xx i xx 1 ?
x,
pˆ x
x
x
i
d
dx
x
i
d dx
x
x
i
x
✓ 对任意 均成立x, pˆx i
✓ 推广：x , pˆ ih , pˆ , pˆ 0
不同变量微分可交换
4.力学量的测量
若干对易关系
必要条件：若F，G有共同完备本征函数系，则F,G对易
2. 完备性
态叠加原理
4.力学量的测量
➢ 力学量测量可能值是什么？
基本假设：力学量测量可能值只能是本征值之一
测量过程：波函数“不可逆”塌缩（哥本哈根诠释） 实验结果：多次测量的平均，表现为平均值
4.力学量的测量
➢ 力学量F何时有测量确定值？
充要条件：体系位于F的本征态 充分性：本征态F有确定值，即为本征值，前面已证
5.力学量的守恒
dA 0
dt
A, H 0
d dt
A
d dt
* A
d
t
*
A
d
*
A
t
d
利用i H ,以及-i * H *
t
t
dA dt
=
1 i
H
*
A d
*A H
d
1 i
*HA
d
*AH d
1 i
* A, H
d
1 i
A, H
6.薛定谔猫的故事
习题
备注
一维势箱 x2 的计算