计算方法牛顿插值

How complex the expression are!
差商(亦称均差) /* divided difference */
f ( xi ) f ( x j ) f [ xi , x j ] ( i j , xi x j ) xi x j
称为在xi,xj处的1阶差商
f [ xi , x j ] f [ x j , xk ] f [ xi , x j , xk ] (i k ) xi xk
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
1
2
n1
…………
f [ x, x0 , ... , xn1 ] f [ x0 , ... , xn ] ( x xn ) f [ x, x0 , ... , xn ]
1 + (x x0) 2 + … … + (x x0)…(x xn1)
差分具有如下性质
性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表 示为函数值的线性组合 : k k
j 0 j 0
k fi (1) j Ckj fi j k , k fi (1)k j Ckj fi j k k! C j !(k j )! 其中
j k
An f [ x0 , x1 ,, xn ]
Nn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )(x x1)(x xn1)
N 0 ( x) f ( x0 ) N1 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) N 0 ( x) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) N k 1 ( x) N k ( x) f [ x0 , , xk 1 ]( x x0 )( x x1 ) ( x xk )
性质5(差分与导数的关系）
k fi k !h k f [ xi , xi 1 ,, xi k ] hk f ( k ) ( ), ( xi xi k )
利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为
Nn ( x) Nn ( x0 th) t t (t 1) 2 t (t 1)(t n 1) n f0 f0 f0 f0 1! 2! n!
性质2(前差与后差的关系):
k fi k fik
性质3(多项式的差分) 若f(x)∈Pn(n次多项式类), 则
kn P nk , k f ( x) a0 h n n !, k n k n 0,
性质4(差分与差商的关系):
k fi f [ xi , xi 1 , , xi k ] k !h k k fi f [ xi , xi 1 , , xi k ] k !h k
差商具有如下性质
性质1 (差商与函数值的关系)
f ( xi ) f x0 , x1 ,..., xn i 0 ' ( xi )
性质2 （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关
f x0 , , xi , , x j , , xn f x0 ,, x j ,, xi ,, xn
n
性质3(差商与导数的关系)
设f ( x)在[a, b]上有n 1阶导数且, x0 , x1,, xn , x [a, b], 则存在 [a, b]使得
f x0 , x1 ,..., xn，x
f
( n 1)
( )
(n 1)!
证明：
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x, x0 ]
n1
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) ...
f [ x0 , ... , xn ]( x x0 )...(x xn1 )
f [ x, x0 , ... , xn ]( x x0 )...(x xn1 )( x xn )
§3.4 牛顿插值 （Newton’s Interpolation ） Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一 个节点时，全部基函数 li(x) 都需要重新 计算。
能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？ 希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。
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本讲主要内容:
● ● ● ● Newton插值多项式的构造 差商的定义及性质 差分的定义及性质 等距节点Newton插值公式
Nn ( x) f ( xn ) ( x x n ) f [ xn , xn 1 ] ( x xn )( x x n1 )( x x 1 ) f [ xn , xn1 , x0 ] (13)
令x=xn-th, 则当x0≤x≤xn时,0≤t≤n.利用差商与向后差 分的关系, 式(13)可简化为
称为在xi,xj,xk处的2阶差商
k阶差商：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x0 xk
利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数 Ai :
A0 f ( x0 ) f [ x0 ] A1 f [ x0 , x1 ]
f ( xi ) f ( xi h) f ( xi )
f ( xi ) f ( xi ) f ( xi h)
一阶中心差分 f ( x ) f ( x h ) f ( x h ) i i i /* centered 2 2 difference */
一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶 向前和向后差分分别为
基函数
｛1,x - x0, (x - x0)(x - x1) ，…，(x-x0)(x-x1)… (x-xn-1)｝ 是否构成Pn的一组基函数？
Nn ( x) A0 A1 ( x x0 ) A2 ( x x0 )( x x1) ... An ( x x0 )...( x xn1)
计算各阶差分可按如下差分表进行.
xi x0 x1 x2 x3 xn fi f0 f1 f 0 f2 f3 fn f1 2 f 0 f 2 2 f1 3 f 0
2
fi
2 fi
3 fi n f i

3
f0
n
f n 1 f n 2 f n 3
利用插值条件Nn(xj)=f(xj), j=0,1，…，n代入上 式，得关于Ak (k=0,1，…，n)的线性代数方程组
0 1 1 x x 1 0 1 x x n 0
A0 f ( x0 ) A f (x ) 1 1 n 1 ( xi x0 ) An f ( xn ) i 0 0 0
(11)
称公式(11)为Newton向前差分插值公式,其余项为
t (t 1)(t n) n1 ( n1) Rn ( x) Rn ( x0 th) h f ( ) (n 1)!
(12)
( x0 , xn )
如果将Newton插值公式改为按节点xn,xn-1,…,x0的次 序排列的Newton插值公式,即
f [x0 , x1,, xn ]
例1:给定f(x)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2.分别写出二次、四次Newton插值多项式 解:差商表
xi f [ xi ] 一阶差商 0.43505 0.40010 0.37055 0.34495 0.087375 0.073875 0.06400 0.02250 0.01646 0.00755 二阶差商 2.20 0.78846 2.40 0.87547 2.60 0.95551 2.80 1.02962 3.00 1.09861
f
( n 1)
( )
(n 1)!
定理：Newton插值多项式的余项为 Rn（x）= f[x0 ,x1,… xn， x] n+1（x）
其中n+1 (x）=(x - x0)(x - x1 )(x - x2 )…(x - xn)
4.4.3 等距节点的Newton插值公式与差分
当节点等距分布时: xi x0 i h (i 0, ... , n) 一阶向前差分 /* forward difference */ 一阶向后差分 /* backward difference */
2 f ( xi ) (f ( xi )) ( f ( xi h) f ( xi )) f ( xi h) f ( xi ) f ( xi 2h) 2 f ( xi h) f ( xi ) 2 f ( xi ) (f ( xi )) ( f ( xi ) f ( xi h)) f ( xi ) f ( x i h) f ( xi ) 2 f ( xi h) f ( xi 2h)
当xj 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解
A0 f ( x0 )
f ( x1 ) f ( x0 ) A1 x1 x0
f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 ) A2 ( ) /( x2 x0 ) x2 x1 x1 x0

It is not a difficult thing for a mathematician. We can use notation
三阶差商 四阶差商
N2(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20) - 0.087375(x-2.20) (x-2.40）
N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)
因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加 一项，克服了Lagrange插值的缺点。
差商表
.
xk
f(xk)
一阶差商
二阶差商
三阶差商 ……
n 阶差商
xo f [ x0 ] x1 f [ x1 ] x3 f [ x3 ]

f [ x0 , x 1 ]
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
Nn(x)
Ai = f [ x0, …, xi ]
Rn(x)
由插值多项式的唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 故其余项也相同，即 f ( n1) ( ) f [ x0 , ... , xn，x]n1 ( x) n1 ( x)
(n 1) !
f x0 , x1 ,..., xn，x
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ]
f [ x2 , x3 ]
f [ x0 , x1 , x 2 , x3 ]
xn f [ xn ] f [ xn 1 , xn ] f [ xn2 , xn1 , xn ] f [ xn 3 , xn 2 , xn 1 , xn ]