概率与数理统计 第二章-3-随机变量的分布函数

则X的分布函数为： 0
x x1
p1
x1 x x2
F ( x)
PX
x
p1 p2 p1 p2
p3
x2 x x3 x3 x x4
L
L
分布函数F(x)是一个右连续的函数,在
x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下 图所示
例5 随机变量X的概率分布为：
X 1 2 4
解
0 x0
F ( x)
P{X
x}
1 3
1 2
0 x 1 1 x 2
x 0 x 1 x 2 x 1 x 2
0 x0
F ( x)
P{X
x}
1 1
3 2
0 x 1 1 x 2
1
F(x) 右连续 1
x 2 单调
不降
1/2 1/3
0
12
x
二、分布函数的性质
F(x)为随机变量分布函数的充要条件是：
求 A、B。
解 Q F () A B 1
2
F () A B 0
2
A 1,B 1.
2
例4 设随机变量X的分布函数为
0
F (x) a b arcsin x
求 a、b。
1
x 1 1 x 1
x 1
解: 由右连续性，有
FF((1100) )FF(1()1) a abb(21) 0
类似有：P{X x} 1 F(x) x1 －e
) x1
P{X x1} P{X x1} P{X x1} X 取任何区间
F(x1) F(x1 0)
的概率均可由
P{X x1} 1 F (x1 0)
F(x)求得。
例1：已知 X 0
1
2 , 求F(x).
pi 1/ 3 1/ 6 1/ 2
2 a 1 ,b 1 .
2
三、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的分布律为：,
X x1 x2 L xn L pi p1 p2 L pn L
则X的分布函数为：
F(x) PX x
PX xi pi
xi x
xi x
设离散型随机变量X的分布律为：
X x1 x2 L xn L pi p1 p2 L pn L
概率论与数理统计
张保田
第二章 随机变量及其分布
第三节 随机变量的分布函数
什么是分布函数呢？
离散型随机变量取值及其取值的概率可以由 概率分布来描述。 但对其它类型的随机变量来说， 取值不可列，例如随机变量可取的值为一连续区 间的一切值时，就无法一一罗列这些值及其概率。
为此，需要给出一种描述随机变量取值概率 分布的统一表示方法。
在概率论的研究中发现：无论是何种类型的随机变量， 如果对任意的实数x , 事件{X≤x}的概率P{X≤x}已知时，随 机变量X取任何值及任何区间的概率都可以由概率P{X≤x} 求出。如
{a<X≤b}= {X≤b} —{X≤a}
(]
a
b
事件{X≤x}的概率P{X≤x}随 x 的不同而变化，
是x的实函数，称此函数为随机变量X的分布函数。
一、分布函数的概念
定义3.1 设X是一个随机变量，称函数 F(x) = P{X≤x}, -∞< x <+∞
为随机变量 X 的分布函数。
随机变量X的分布函数定义域为(-∞,+∞ ) 是普通的单值实函数，通过分布函数，我们可 以利用微积分的方法来研究随机变量的取值规 律性。
※ (1)分布函数F(x)在x处的值为随机变 量X取值于区间（－∞，x ] 内的概率；
(2)
对任意的x1< x2 P{x1 <X≤ x2}=
, 有： F(x2) －
( F(x1).x1
] x2
此因：{x1 <X≤ x2}= {X≤x2}－ {X≤ x1}
(3) P{X x1} F(x1 0)
此因：P{X
<
x1
}=
lim
e 0
P{X
≤
x1
－e}
=
elim0F(x1 －e)
=
F(x1 －0). ]
1,
x 3.
求 概率分布, P{－1<X≤2} 。
解X 1 2 3
Pi
9 19
P{－1<X≤2} =
6
4
F
19
(2)
F
19
(1)
15
.
19
小结 1. 分布函数的概念； 2. 分布函数的性质； 3. 分布函数的类型题。
作业：P46 11,12
pi 1/ 4 1/ 2 1/ 4
求 分布函数F(x), P{X≤3} 。
解：
F (x) P{X
x}
0
1
4
3
4
P{X≤3}=F(3)=
1
1
1
3
.
424
x 1 1 x 2
2 x4 x4
例6 随机变量X的分布函数为：
0,
x 1,
F
(
x)
9 / 15
19, / 19,
1 x 2, 2 x 3,
P{X ≥ b}=1-F(b-0)等。
例2 判别下列函数是否为某随机变量的 分布函数?
0, x 2,
(1) F (x) 1/ 2, 2 x 0,
1,
x 0;
0,
x 0,
(2) F(x) sin x, 0 x ,
1,
x ;
（是） （不是）
Baidu Nhomakorabea3 设随机变量X的分布函数为
F (x) A B arctan x x (, )
（1） 0 F(x) 1
（2）单调非减：若a < b, 则F(a)≤F(b)；
（3） lim F (x) F () 0, x lim F (x) F () 1; x
F(x)在任一 点x处至少
（4） 右连续性： 即
右连续
lim
xx0
F
(x)
F
(x0
)
F(x0 0)
证明: (2) 对a<b,
∵{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a},
ab
且 {X≤a}{X≤b}.
∴ P{a<X≤b}= P{X≤b}- P{X≤a}
=F(b)- F(a).
又∵P{a<X≤b}≥0, ∴F(a)≤F(b).
※ 上述证明中我们得到一个公式:
P{a<X≤b}=F(b)- F(a). 类似有公式:P{X < b}=F(b-0);