人教版 选修2-3 第一章 排列与组合 同步教案

排列与组合辅导教案
学生姓名性别年级学科数学
授课教师上课时间年月日第（）次课
共（）次课
课时：2课时
教学课题人教版选修2-3 第一章排列与组合同步教案
教学目标知识目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理
能力目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
情感态度价值观：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力
教学重点与难点1.重点：加法原理，乘法原理。

2.难点：加法原理，乘法原理的区分。

教学过程
排列与组合
知识梳理
一、知识网络
二、高考考点
1、两个计数原理的掌握与应用；
2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；
3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）
三、知识要点
一．分类计数原理与分步计算原理
1、分类计算原理（加法原理）：
完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。

2、分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n 步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× m n种不同的方法。

3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。

二．排列
1、定义
（1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

（2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .
2、排列数的公式与性质
（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1【规定：0！=1】
（2）排列数的性质：
（Ⅰ） =（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系）
（Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系）
（Ⅲ）（分解或合并的依据）
三．组合
1、定义
（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
（2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。

2、组合数的公式与性质
（1）组合数公式：（乘积表示）
（阶乘表示）特例：
（2）组合数的主要性质：
（Ⅰ）（上标变换公式）
（Ⅱ）（杨辉恒等式）
认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。

3、比较与鉴别
由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

（1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。

因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：
例题精讲
【题型一、排列的公式计算】
【例1】（1）；
（2）若，则n= ；
（3）；
【方法技巧】（1）注意到n满足的条件
∴原式==
（2）运用杨辉恒等式，已知等式
（3）根据杨辉恒等式
【题型二、分类计数】
【例2】将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
【方法技巧】（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。

第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；
第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；
第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；
于是，由分步计数原理得到答案
【题型三、先排列后组合】
【例3】某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）
A.720种
B.480种
C.24种
D.20种
【方法技巧】按照问题的实际情况理解，未命中的4枪“地位平等”，连续命中的3枪亦“地位平等”。

因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再乘以。

解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法。

【题型四、先分堆后分配】
【例4】（1）从5双不同的袜子中任取4只，则至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？
（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？
（3）将四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共多少种？
（4）某产品共有4只次品和6只正品，每只产品均不相同，现在每次取出一只产品测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种？
【方法技巧】（1）满足取法的有两类（2）符合条件的放法分为三类（3）设计分三步完成：第一步，取定三个空盒（或取走一个空盒）
第二步，将4个小球分为3堆，一堆2个，另外两堆各一个
第三步，将分好的3堆小球放入取定的3个空盒中
（4）分两步完成：
第一步，安排第五次测试，由于第五次测试测出的是次品。

第二步，安排前4次测试，则在前四次测试中测出3只次品和1只正品。

巩固训练
1. 用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？
2.将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
3.用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，则字母不同，且3种颜色齐全的取法有多少种？
课后作业
【基础巩固】
1、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）
A、18对
B、24对
C、30对
D、36对
2、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面共有（）
A、3个
B、4个
C、6个
D、7个
3、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）
A、 B、 C、 D、
4、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市各一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）
A、300种
B、240种
C、114种
D、96种
5、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分；选乙题答对得90分，答错得-90分，若4位同学的总分为0，则这四位同学不同的得分情况的种数是（）
A、48
B、36
C、24
D、18
6、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）
A、96
B、48
C、24
D、0
7、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（）个。

8、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（）个（用数字作答）。

9、从集合{O、P、Q、R、S}与{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}中各任取2个元素排成一排（字母与数字均不能重复）。

每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是（）
【能力提升】
1．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两
个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
2．某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。

（用数值作答）
3．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种
4．图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
5．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
6．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种
7.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 210 种.（用数字作答）
8．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个
9．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有____25_____种.（以数字作答）
10．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
11．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，
，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．。