人教版 选修2-3 第一章 排列与组合 同步教案

排列与组合辅导教案

学生姓名性别年级学科数学

授课教师上课时间年月日第（）次课

共（）次课

课时：2课时

教学课题人教版选修2-3 第一章排列与组合同步教案

教学目标知识目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理

能力目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

情感态度价值观：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力

教学重点与难点1.重点：加法原理，乘法原理。

2.难点：加法原理，乘法原理的区分。

教学过程

排列与组合

知识梳理

一、知识网络

二、高考考点

1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）

三、知识要点

一．分类计数原理与分步计算原理

1、分类计算原理（加法原理）：

完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。

2、分步计数原理（乘法原理）：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n 步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× m n种不同的方法。

3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。

二．排列

1、定义

（1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

（2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .

2、排列数的公式与性质

（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1【规定：0！=1】

（2）排列数的性质：

（Ⅰ） =（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系）

（Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系）

（Ⅲ）（分解或合并的依据）

三．组合

1、定义

（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

（2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。

2、组合数的公式与性质

（1）组合数公式：（乘积表示）

（阶乘表示）特例：

（2）组合数的主要性质：

（Ⅰ）（上标变换公式）

（Ⅱ）（杨辉恒等式）

认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。

3、比较与鉴别

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

（1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：

例题精讲

【题型一、排列的公式计算】

【例1】（1）；

（2）若，则n= ；

（3）；

【方法技巧】（1）注意到n满足的条件

∴原式==

（2）运用杨辉恒等式，已知等式

（3）根据杨辉恒等式

【题型二、分类计数】

【例2】将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种

【方法技巧】（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。

第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；

第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；

第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；

于是，由分步计数原理得到答案

【题型三、先排列后组合】

【例3】某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）

A.720种

B.480种

C.24种

D.20种

【方法技巧】按照问题的实际情况理解，未命中的4枪“地位平等”，连续命中的3枪亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再乘以。解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法。

【题型四、先分堆后分配】

【例4】（1）从5双不同的袜子中任取4只，则至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？

（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？

（3）将四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共多少种？

（4）某产品共有4只次品和6只正品，每只产品均不相同，现在每次取出一只产品测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种？

【方法技巧】（1）满足取法的有两类（2）符合条件的放法分为三类（3）设计分三步完成：第一步，取定三个空盒（或取走一个空盒）

第二步，将4个小球分为3堆，一堆2个，另外两堆各一个

第三步，将分好的3堆小球放入取定的3个空盒中

（4）分两步完成：

第一步，安排第五次测试，由于第五次测试测出的是次品。

第二步，安排前4次测试，则在前四次测试中测出3只次品和1只正品。

巩固训练

1. 用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？

2.将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种

3.用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，则字母不同，且3种颜色齐全的取法有多少种？

课后作业

【基础巩固】