《高数总复习下》PPT课件

5、多元函数极值、条件极值、最值
1. 函数的极值问题 定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值).
2. 极值求解
第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.
如对二元函数 z f (x, y), 即解方程组
f f
x y
(x, (x,
y) y)
0 0
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .
• 双曲面: 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
复习 7、多元函数的微分
主要考点：
1、二元函数极限的概念、主要求法； 2、复合、隐含、高阶等多元函数（组）的偏导、全微； 3、空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线； 4、梯度、方向导数； 5、多元函数极值、条件最值 ；
则 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )rd r d
D r 2 ( )
(2) 一般换元公式
在变换
x y
x(u, v) y(u, v)
下
(x, y) D
r 1( )
o
且 J (x, y) 0 (u, v)
则 D f (x, y) d D f [x(u,v), y(u,v)] J d u d v
法平面方程
(F , G) ( y, z)
M
(
x
x0
)
(F (z
, ,
G) x)
( y y0 )
M
(F,G) (x , y)
(z z0) 0
M
2. 曲面的切平面与法线
1) 隐式情况 . 空间光滑曲面
曲面 在点
的法向量
n (Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ))
• 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
复习 8、重积分
主要考点： 1、二重积分的直角、极坐标下的计算、交 换积分次序；
2、三重积分的直角、柱坐标、球坐标下的 计算；
3、立体体积、曲面面积、重心坐标
1、二重积分的直角、极坐标下的计算 y y y2 (x)
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 :
:
x y
(t) (t)
z (t)
切向量 T ((t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
切线方程 x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
法平面方程
(t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
1. 数量积、向量积、混合积 坐标公式P18
b
a b | a || b | cos axbx ayby azbz
a
a
prj b b
a
| a0 |
ab
c
ab （右手法则）
b
a
a b a b sin S
b
a
(a b) c a b c ab
ab V
2、求平面方程、直线方程、线和面关系
• 旋转曲面
如,
曲线
f x
(y, z) 0
0
绕
z
轴的旋转曲面:
• 柱面
f ( x2 y2 , z) 0
如,曲面F (x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面: ( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
直接用比值法或根值法
2、函数展开成幂级数
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数性质及已知展开式的函数
常用函数的幂级数展开式
• ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
•
ln(1 x)
x 1x2 2
1 x3 3
1 4
x4
(1)n xn1 n 1 x (1, 1]
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f ,f ,f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
方法(1) 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 化
从条件(x, y) 0中解出y (x)
2) 一般式情况空. 间光滑曲线
:
F ( x, G(x,
y, y,
z) z)
0 0
切向量
T
(F,G) (y, z)
,
M
(F,G) (z, x)
,
M
(F,G) (x, y)
M
切线方程
x x0 y y0 z z0
(F , G)
(F , G)
(F , G)
( y, z) M (z , x) M (x , y) M
anxn
n0
逐项求导或求积分
难
S(x)
对和式积分或求导
an xn
n0
求和
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 直接变换, 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
复习 6、空间解析几何
主要考点： 1、概念和意义：数量积、向量积、混合积 2、求平面方程、直线方程、线和面关系 3、空间曲线方程、切线方程、法平面方程 4、旋转曲面方程
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
求 导
x (, )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
• (1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
复习 5、无穷级数
主要考点：
1、数项级数的敛散 2、幂级数求收敛域、和函数、函数的
幂级数展开
1、数项级数的审敛法
1）. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2）. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un
1
部分和极限
根值审敛法 lim n
n
un
不定
用它法判别
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直: 平行: n1 n2 0
A1A2 B1B2 C1C2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cos n1 n2
n1 n2
4、旋转曲面方程（了解）
1. 空间曲面
三元方程 F (x , y , z) 0
• 球面 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
假设以上方程组的解 (x0 , y0 ) 满足
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 )
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2. 隐函数的偏导数 1. 隐函数( 组) 存在定理（了解） 2. 隐函数 ( 组) 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式
3、空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线
1.
空间曲线的切线与法平面 1) 参数式情况. 空间光滑曲线
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法.
如求二元函数 z f (x, y)在条件(x, y) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f (x, y) (x, y)
解方程组
求驻点 .
3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别
• 若积分区域为
D