一、基本概念和知识要点

一、基本概念和知识要点

1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任 取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=

r y ，cos α=r x ，tg α=x

y

，

ctg α=

y x ，sec α=x r ，csc α=y

r

。

2、三角函数线：

3、 同角三角函数的关系中，

平方关系是：1cos sin 2

2

=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=⋅ααctg tg ，1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα；

相除关系是：αααcos sin =

tg ，α

α

αsin cos =ctg 。 4、 诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限（

2

π

的奇、偶数倍）。 如：=-)23sin(

απαcos -，)2

15(απ-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。

5、三角函数的图象： y ＝sinx

y ＝cosx

x y tan =

x y cot =

6、 函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值 A B -，周期是ω

π

2=

T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+

=+π

πϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心

（横坐标满足x k ωϕπ+=）。

7、 三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

-

22

πππ

πk k ，)(Z k ∈，x y cot =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。

8、y ＝Asin(ωx ＋ψ)五点法作图：依次取ωx ＋ψ＝.2,2

3,

,2

,0ππ

ππ

9、三角变换： (A>0，ω>0) ①先平移变换，再伸缩变化：

将y ＝sinx 的图像 得y ＝sin(x ＋ψ)的图象 得函数y ＝sin(ωx ＋ψ)的图象 得函数y ＝Asin(ωx ＋ψ)的图象 ②先伸缩变化，再平移变化。（注意：平移多少个单位，一定要把解析式中x 的系数提出） 将y ＝sinx 的图像 得y ＝sin(ωx)的图象 得y ＝sin(ωx ＋ψ)的图象 得y ＝Asin(ωx ＋ψ)的图象。 注意逆向考虑问题： 如将函数3)3

3sin(2+-

=π

x y 的图象按照平移后得函数x y 3sin 2=的图象，则＝

10、两角和与差公式

=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±

=±)c o s

(βαβαβαs i n s i n c o s c o s =

±)(βαtg β

αβ

αtg tg tg tg ⋅± 1

11、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅

cos2α=αα2

2

sin cos -=1cos 22

-α=α2

sin 21-

tan 2α=

α

α

2

tan 1tan 2-。 12、三倍角公式是：sin3α=αα3

sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43

- 13、半角公式是：sin

2α=2cos 1α-± cos 2α=2

cos 1α+± tan

2α=α

αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。

14、升幂公式是：2

cos 2cos 12

α

α=+ 2

s i n 2c o s

12

α

α=-。

15、降幂公式是：22cos 1sin 2

αα-=

2

2c o s 1c o s 2

αα+=。 16、万能公式：sin α=

2

tan 12tan

22

α

α

+ cos α=

2

tan 12tan 12

2α

α+- tan α=2

tan 12tan

22

α

α

-

17、特殊角的三角函数值：

18、正弦定理是（其中R 表示三角形的外接圆半径）：R C

B A 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式，2

b =B a

c c a cos 22

2

-+

由余弦定理第二形式，cosB=ac

b c a 22

22-+

20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用p

表示则：

① =⋅=

a h a S 21； ② ==A bc S sin 2

1

； ③C B A R S sin sin sin 22

=； ④R

abc S 4=；

⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =

21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 22、在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…

23、锐角△ABC 中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++

24、在△ABC 中：-tanC B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC =B)+sin(A ==

2c o s 2s i n C B A =+ 2s i n 2c o s C B A =+ 2c o t 2t a n C

B A =+

C B A C B A t a n t a n t a n t a n t a n t a n

⋅⋅=++

25．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形．

㈠解斜三角形的主要依据是：

设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． （1）角与角关系：A +B +C = π，

（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ． （3）边与角关系：

正弦定理

R C

c

B b A a 2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）

． 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．

它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b

a

B A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=

．