重要度分析

（2）重要度分析
在系统中一个部分或最小割集对顶事件发生的贡献大小成为重要度。

重要度对改
进系统设计是十分有用的信息。

在工程中重要度分析还可以用于确定系统运行中
需检测的部位及制定系统故障诊断时的核对清单。

重要度有不同的含义，下面主
要介绍较常用的四种重要度，即概率重要度、结构重要度、关键重要度和相关割
集重要度。

这些重要度从不同的角度反映了部件对顶事件发生的影响大小。

①临界状态与关键部件
系统中的部件可以有多种故障模式，每一种故障模式对应于故障树中一个基
本事件。

这里所指的重要度均系基本事件重要度的定义和计算方法，部件重要度
应等于它所包含的基本重要度的和。

当部件只有一种故障模式时，部件重要度即
等于基本事件重要度。

为简单起见,假设部件只含有一种故障模式。

在介绍重要度的概念和计算方法之间，首先介绍两个常用到的概念，这就是
“系统的临界状态”和“关键部件”。

对部件两态系统，系统的可能状态数为2n个，这2n个状态（微观状态）分别对应于系统正常和系统故障（两个宏观状态）状态。

但并非2n个微观状态都
能直接引发宏观状态的变化，只有在处于其中某些特殊状态时才能直接引发宏观
状态变化，这些特殊状态即称为系统的临界状态。

任何非临界状态的微观状态都
必须首先变成临界状态后才能引发宏观状态变化，系统宏观状态的变化简称为系
统状态变化。

例如一个两部件并联系统，有4个微观状态，其中(0,1)，(1,0)，(0,0)属于系统正常状态，(1,1)属于系统故障状态。

(0,0)状态不可能直接变为(1,1)状态，因此它不属于临界状态。

那些当且仅当该部件状态变化及可导致系统状态变化的部件成为该临界状态的关键部件。

关联系统中的任一部件都是关键部件，即任一部件都能在2n个
微观状态中找到与之对应的临界状态。

显然，任一部件是否成为关键部件，取决
n-个部件的状态，因此，凡谈到i部件的临界状态时，是指除i部件外，于其他1
n-个部件状态的某种组合。

仍以两部件并联系统为例，该系统的临界状态其他1
有(0,1)，(1,0)，(1,1)三个。

一个临界状态可以对应若干个关键部件，反之一个关键部件也可以对应若干个临界状态。

②概率重要度Pr()
I t
i
设系统故障的结构函数为
12()(,,...,)n x x x x ϕϕ=
(1)
系统故障的概率密度函数为
12(())((,,...,))n g Q x g Q x x x =
(2)
定义概率重要度为
Pr (())
(1,())(0,())()
i i i i g Q t I g Q t g Q t Q t ∂=
=-∂
(3)
概率重要度的定义可以解释为：i 部件的重要度是i 部件取1时顶事件概率和i 部件状态取0时顶事件概率值的差。

例：设有2/3系统的故障树，其结构函数为
'
'12132312123123x x x x x x x x x x x x x x ϕ=++=++
(4)
顶事件概率表达式为
12123123(1)(1)g Q Q Q Q Q Q Q Q =+-+-
(5)
所以
1223
123
1122323
(1,)(1)(0,)(1,)(0,)(1)g Q Q Q Q g Q Q Q g Q g Q Q Q Q Q Q =+-=-=+--
(6)
223231
(1)g
Q Q Q Q Q Q ∂=+--∂ (7)
比较式(6)和(7)，有
111
(1,)(0,)g
g Q g Q Q ∂=-∂ (8)
将式(7)展开得
23231
2g
Q Q Q Q Q ∂=+-∂ (9)
1(1,)g Q 的物理意义为：当部件1故障时11(1,(1)0)Q Q =-=系统故障的概率。

11(1,)(0,)g Q g Q -就是当且仅当部件1故障时系统故障概率。

当且仅当部件1故障时系统的状态为23(0,1)x x ==或23(1,0)x x ==，相应的概率应为
2323(1)(1)Q Q Q Q -+-，
而
23232323(1)(1)2Q Q Q Q Q Q Q Q -+-=+-
(10)
这和式(9)的结果相同，这就说明部件1的概率重要度的物理意义为：当且仅当部件1故障系统即故障的概率。

由上例的分析，不难得到一般性的结论。

部件i 概率重要度Pr i I 的物理含义为：系统处于当且仅当部件i 故障系统即故障的状态的概率。

联系到前面关于关键部件和临界状态的定义，又可说，部件i 的概率重要度就是系统处于部件i 为关键部件状态的概率，或者说，部件i 的概率重要度就是系统处于部件i 的临界状态的概率。

例：试计算2部件串联、2部件并联和3中取2表决系统的概率重要度，设时间和故障率分别为：20t =小时，10.001/λ=小时，2=0.002/λ小时，
3=0.003/λ小时。

解：由题设，三个部件的不可靠度分别为
1230.0012021222
3=11 1.98013101 3.92106101 5.8235510t t t Q e e Q e Q e λλλ--⨯------=-=⨯=-=⨯=-=⨯
对2部件串联系统
1212Pr 1121
Pr 1
212
19.607891019.8019910g Q Q Q Q g
I Q Q g
I Q Q --=+-∂==-=⨯∂∂=
=-=⨯∂ 对于2部件并联系统
12Pr 2121
Pr 2
212
1 3.92106101 1.9801310g Q Q g
I Q Q g
I Q Q --=∂==-=⨯∂∂=
=-=⨯∂ 对于3中取2表决系统
122313123Pr 2123231
Pr 2
213132
229.287921027.5730510g Q Q Q Q Q Q Q Q Q g
I Q Q Q Q Q g
I Q Q Q Q Q --=++-∂==+-=⨯∂∂==+-=⨯∂ Pr 2321133
2 5.7459110g
I Q Q Q Q Q -∂=
=+-=⨯∂ 对于2部件串联系统，只要任何一个部件故障系统即故障，因此，当且仅当部件1故障系统即故障的状态为部件2完好，反之，当且仅当部件2故障系统即故障的状态为部件1完好，故
Pr 1221I Q A =-= Pr 2111I Q A =-=
其中，1A ，2A 为部件1和部件2的可靠度。

对于2部件并联系统，当且仅当一个部件故障系统即故障的状态为另一个部件也故障，故
Pr 12I Q =
Pr 21I Q =
③结构的重要度()t S i I t
对于单调关联系统，第i 个部件的状态从0变到1，相应系统状态可能有下述三种变化：
()()()()()0,01,11,0,1i i i i a X X X X ϕϕϕϕ=→=-= (11)
()()()()()0,01,01,0,0i i i i b X X X X ϕϕϕϕ=→=-= (12)
()()()()()0,11,11,0,0
i i i i c X X X X ϕϕϕϕ=→=-= (13)
对于i 部件某一给定状态，其余1n -个部件的可能状态组合有12n -种，定义
()()()
1
21,0,n i i
i
n X X ϕϕϕ-=
-⎡⎤⎣⎦∑
(14)
显然，这种求和仅对情况(a)的发生次数进行了累加，其他两种情况的贡献
均为0。

情况(a)的发生次数就是i 部件的临界状态数，显然部件的临界状态愈多，该部件导致系统故障的可能性就愈大，故i n ϕ可作为第i 个部件对系统故障()t S i I t 影响大小的量度。

为使每个部件的结构重要度不大于1，定义i 部件的结构重要度为：
()()()11/2t S n i i I t n t ϕ-≡
(15)
由上式计算是很繁的，只在系统部件数很少时可行。

实际上可用概率重要度来计算结构重要度。

可以证明，若所有部件故障和正常的概率均为1/2，则有
()()t r S P i i I t I t =
(16)
例：对于2部件并联系统，用上述方法计算结构重要度，对于式(4.27)进行验证。

解：两部件并联系统的可能状态数为4，当其中一个部件状态固定后，系统可能取的状态只有两个，即另一部件的两种状态，对于并联系统，用第一种方法得结构重要度为
()()()()()()
()()1121
1,0,211
=100022t n S i i i n I t X t X t ϕϕ--⎡⎤=
-⎣⎦-+-=⎡⎤⎣
⎦∑
用第二种方法计算结构重要度时，先假设两个部件的故障概率分别等于1/2,则有
()()Pr 1121
2
St I t I t Q ===
()()Pr
2211
2St I t I t Q ===
例：计算图4.12所示各部件的结构重要度。

这个系统共有四个最小割集，它们是：{x 4}，{x 1,x 2}，{x 1,x 3}，{x 2,x 3}。

所
以()44
1241234123x x x x x x x x x x x x '''''Φ=+++X ()()()()()44124123412311111g Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q Q =+-+--+--
()()()()142423423
11111141114
St g
I Q Q Q Q Q Q Q Q Q ∂=
=-+----∂=+-=
由于部件2,3和部件1在结构中地位相同，它们的结构重要度应相等，故
23114St St St I I I ===
()()412123123
411111418112
St g
I Q Q Q Q Q Q Q Q Q ∂=
=-----∂=---=
④关键重要度I i Cr (t )
概率重要度在数学上的意义是部件概率改变1个单位所引起系统概率的变化。

但是由于部件原有的概率大小不同，它们同样变化1个单位的难易也不同，这种性质在概率重要度中反映不出来，关键重要度是一个变化率的比，即部件故障概率的变化率所引起的系统故障的变化率，这就把改善一个已经比较可靠的部件比改善一个尚不太可靠的部件难这一性质考虑进去了，从上述意义上讲称为相对概率重要度更恰当，但习惯仍沿用关键重要度名称。

定义关键重要度为
()()()()()()()()()()()()()0lim i Cr i i Q t i
i i g Q t Q t I t Q t g Q t g Q t Q t g t Q t ∆→⎡⎤∆⎡⎤
∆≡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤∂⎡⎤=⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (17) 因为
()()()()
Pr
i
i g Q t I
t Q t ∂=
∂ (18)
所以
()()()Pr
Cr
i i
i
Q t I t I g t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (19) 例：试计算2部件串联、2部件并联和3中取2表决系统的关键重要度，设时间和故障率分别为：t =20小时，1λ=0.001/小时，2λ=0.002/小时，3λ=0.003/小时。

（概率重要度已在前面的例子中求出）
对于2部件串联系统
21212 5.97883210g Q Q Q Q -=+-=⨯
1112121
1.98013109.60789105.978832103.182038110Cr Pr
Q I I g ----⎛⎫= ⎪⎝⎭
⨯=⨯⨯⨯=⨯ 2222121
3.92106109.80199105.978832106.428377810Cr
Pr
Q I I g ----⎛⎫= ⎪⎝⎭
⨯=⨯⨯⨯=⨯ 对于2部件并联系统
12g Q Q =
Pr Pr 1111222111Cr Q I I I Q g Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2221111Cr
Pr Q I I Q g Q ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对于3中取2系统
()()3
12123123
11 4.12257810g QQ Q Q Q Q Q Q -=+-+-=⨯ Pr
11122311.98013109.28792104.122578104.4611138310Cr Q I I g ----⎛⎫
= ⎪⎝⎭
⨯=⨯⨯⨯=⨯ Pr
22222
3
13.92106107.57305104.122578107.2028678610Cr
Q I I g ----⎛⎫= ⎪⎝⎭
⨯=⨯⨯⨯=⨯
3332231
(
)5.823355107.74591104.122578108.1166676410Cr Pr
Q I I g
----=⨯=⨯⨯⨯=⨯ 关键重要度的表达式(19)可写为：
1
()()Cr Pr
i i i I t Q I g
= 式中，3Cr
I 是系统处于i 部件为关键部件的临界状态的概率。

i Q 是i 部件发生故障
的概率。

因此Pr i i Q I 就是i 部件触发系统故障的概率。

Pr i i Q I 越大表明由i 部件触发系统故障的可能性就越大。

于是可以按关键重要度的大小，列出系统部件诊断检查的顺序表来指导系统的运行和维修，以利于用最快的速度排除系统的故障。

例：计算图4.12所示系统各部件的关键重要度，并列出诊断检查顺序表，设12340.6,0.2Q Q Q Q ====。

解：由前面的例子可知图4.12中构成部件割集的部件4的结构重要度最大，比1、2、3部件结构重要度大一倍，但这不能作为诊断检查顺序的依据，这些部件触发系统故障的概率应由关键重要度确定。

计算结果如下。

441241234123114242342323144121
2312) 0.7184
1
(
)[)]
0.7184 0.32070.32071
[0.7184
Cr Cr Cr Cr Cr g Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q I Q Q Q Q Q Q Q Q Q I I I I Q Q Q Q Q Q Q Q Q =+++==+-=====
--（1- ）（1- ）（1- ）（1- ）(1- （1- ）（1- ）(1- （1- ）（1- （1- ）（1- ）3]=0.0981
由关键重要度可知，系统诊断检查的顺序维1、2、3部件，其次为部件4。

⑤ 相关割集重要度()Rc i I t
首先定义相关割集和无关割集，部件i 的相关割集是指含部件i 的割集，部件i 的无关割集是指不含部件i 的割集，这里割集均为最小割集的简称。

若系统的全部割集中有i N 个部件i 的相关割集，则定义
1(())i l j N i r l x k j g Q t P x ∈=⎛⎫
= ⎪ ⎪
⎝⎭∏ (20)
(())i g Q t 的意义是至少一个部件i 的相关割集发生的概率，j k 的意义是第j 个i 部件的相关割集，
1i
l j
N l
x k j x ∈=∏的意义是全部i
N 个i 部件相关割集的并集。

定义部件i 的相关割集重要度为
(())
()(())Rc i i g Q t I t g Q t =
(21)
(())i g Q t 和关键重要度中的()()Pr i i Q t I t 略不同，后者排除了所有无关割集发生的情况，前者仅排除了无关割集发生但相关割集不发生情况，保留了无关割集发生相关割集也发生的情况，所有(())i g Q t 大于()()Pr i i Q t I t ，由于无关割集和相关割集同时发生的概率很小，二者的计算值很相近。

当部件的不可用度或不可靠度足够小时，可用相关割集发生概率的和来近似(())i g Q t ：
1(())()
i
l j N i i j x k g Q t Q t =∈=∑∏ (22)
而(())i g Q t 的近似计算比()Pr
i i Q I t 简单，常利用近似计算的相关割集重要度来排
列系统部件的诊断检查顺序。