哈工大结构动力学连续体
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∂u N = EA =0 x , ∂x
即
= 0, l
∂u ( x, t ) =0 x , ∂x
= 0, l
(3) 弹性支承 杆的一端是弹性支承, 设为右端。 杆的一端是弹性支承, 设为右端。 此处轴向内力 等于弹性力。 等于弹性力。
∂u ( l , t ) EA = −ku ( l , t ) ∂x
'
ω
a
x + B cos
'
ω
a
x ) ⋅ sin (ω t + ϕ )
u ( 0, t ) = B sin (ωt + ϕ ) = 0
'
sin (ωt + ϕ ) 不恒为零,故定有 B ' = 0 不恒为零, 由于
u ( l , t ) = A sin
'
ω
a
l ⋅ sin (ω t + ϕ )
A' 和 sin (ωt + φ ) 都不恒为零,所以有 同理, 都不恒为零, 同理,由于
= 0, π , 2π , 3π ,... = nπ ( n = 1, 2, 3...)
nπ a x nπ ' U n ( x ) = A sin x = A sin ⋅ = An sin x a l a l
' n ' n
ωn
画出振型图,就是各点的振幅。 画出振型图,就是各点的振幅。 1阶
ω1 → U 1 ( x ) = A sin
(4)惯性载荷 ) 一端有一质量块。此处轴向内力等于惯性力。 一端有一质量块。此处轴向内力等于惯性力。
∂u ( l , t ) ∂ u (l, t ) EA = −M ∂x ∂t 2
2
4.1.2 两端固定
u ( 0, t ) = u ( l , t ) = 0
分别代入解 分别代入解表达式 代入
u ( x, t ) = ( A sin
u ( x, t ) = U ( x ) T ( t )
代入波动方程以后有
∂ 2u '' ∂u '' = T ( t )U ( x ) = U ( x)T (t ) 2 2 , ∂x ∂t
2
a TU = UT
2 ''
''
T '' U '' 2 =a T U
左边仅是时间的函数,右边仅是空间坐标的函数, 空间坐标的函数 左边仅是时间的函数,右边仅是空间坐标的函数, 若使它们相等只有等于一个常数设为
∂ 2 y ( x, t ) ∂M = Q(x, t) M ( x, t ) = EI ( x ) ∂x 2 , ∂x
纵向刚性位移。 纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转 假设: ) 每一横截面, 通过截面形心的轴线转动 假设 1) 每一横截面, 通过截面形心的轴线转动 绕 一个角度, 截面保持平面; ) 保持平面 截面上每一个点都转 一个角度, 截面保持平面 2) 截面上每一个点都转 动相同的角度。 表示。 动相同的角度。 扭转振动位移用 θ 表示。 由材料力学可知
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设: 假设: 1) ) 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面, 横截面上各点, 在轴向上以相同的位移运动。 平面, 横截面上各点, 在轴向上以相同的位移运动。 2) 纵向运动过程中, ) 纵向运动过程中, 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u ( x, t )
∞ ' n
4.1.3 两端自由
∂u ( x, t ) dU =0 ∂x x =0 也就是, ,也就是, dx x =l
U ( x ) = A sin
'
x =0 x =l
=0
ω
a
x + B cos
'
ω
a a
x sin
U ' ( x ) = A'
'
ω
acos'来自ωax − B'
ω
ω
a
x
U (0) = 0 = A
第四章
连续弹性体的振动
实际的工程结构实质 都 实际的工程结构 实质都 是 由连续分布的质量和连续分布的刚 实质 度所组成, 在一定条件下简化成离散的多自由度系统 简化成离散的多自由度系统, 度所组成 , 在一定条件下 简化成离散的多自由度系统 , 是必要的 合理的。 但在某些 条件下用 连续模型描述更 合理。 某些条件下 合理的 。 但在 某些 条件下 用 连续模型描述 更 合理 。 例如细长飞行 导弹,火箭结构) ,细长比大于 器( 导弹 ,火箭结构 ) 细长比大于 4 时可用连续的变截面梁模型 , 描述, 时可用弹簧质量块模型描述。 描述 , 小于 4 时可用弹簧质量块模型描述 。 本章的连续体建模, 都假设结构是线弹性体, 本章的连续体建模 , 都假设结构是线弹性体 , 材料力学特性 是各向同性、 均质的。 主要的力学模型为杆、 壳等。 是各向同性 、 均质的 。 主要的力学模型为杆 、 梁 、 板 、 壳等 。 主 要研究直杆的纵向振动、 圆轴扭转振动, 要研究直杆的纵向振动 、 圆轴扭转振动 , 梁的横向振动以及薄板 的横向振动等常用的典型情况。 的横向振动等常用的典型情况 。
m ( x) = A( x) ⋅ ρ ( x)
,
∂ 2 y ( x, t ) m ( x ) ⋅ dx = f ( x, t ) 2 则微元段上的惯性力为 ∂t ,
且在微段上可认为惯力是均布的。 且在微段上可认为惯力是均布的。 外载和惯性力均可认为是作用在中点上
达朗贝尔原理: 朗贝尔原理: 原理
∂Q Q( x, t ) + q( x, t )dx − (Q( x, t ) + dx) − f ( x, t ) = 0 ∂x ∂Q q ( x , t ) dx = dx + f ( x, t ) ∂x ∂Q ∂2 y + ρ ( x ) A( x ) 2 = q ( x , t ) ∂x ∂t
∂θ M t = GJ p ∂x G ——剪切弹性模量, ——剪切弹性模量 剪切弹性模量, J p ——截面的极惯性矩 ——截面的极惯性矩 由达朗贝尔原理
∂M t ∂ 2θ Mt + dx − M t − ρ J p 2 dx = 0 ∂x ∂t
∂θ ∂θ GJ p ⋅ 2 = ρ J p 2 ∂x ∂t
sin
ωl
a
=0
边界条件确定了频率方程,频率是未知的。 边界条件确定了频率方程,频率是未知的。
ωl
a ω = 0 舍去(导致振型函数为零,不振动) 所以 舍去(导致振型函数为零,不振动) 。所以 。
nπ a ωn = ( n = 1, 2, 3...) l 有无数多个频率,对每一频率有一个主振型函数。 有无数多个频率,对每一频率有一个主振型函数。 如对 ωn 有
λ
T '' U '' = a2 =λ T U
T '' − λT = 0
U −
''
λ
a
2
U =0
只有 λ 为负数才能确定振动运动,所以不妨设为 为负数才能确定振动运动,
λ = −ω 2 ,这样有
T +ω T = 0
'' 2
ω U + U = 0 a
2 ''
T ( t ) = C sin (ωt + ϕ )
∂u N = σ A ( x ) = A ( x ) ⋅ Eε = EA ( x ) ∂x
由牛顿第二定律
∂ 2u ∂N ∂N ρ ( x ) A ( x ) ⋅ dx ⋅ 2 = N + dx − N = dx ∂t ∂x ∂x ∂ ∂u = E A( x) ⋅ ∂x ∂x
U ' (l ) = − B '
ω
a
⇒ A' = 0
ω
a
⋅ sin
ω
a
l=0
B ' 不恒为零,所以 sin a l = 0 不恒为零,
ω
sin
ω
a
l =0⇒
ωl
a
= nπ , n = 0,1, 2...
nπ a ωn = l
ωn
a
' x = Bn cos
代入振型函数为
' U n ( x ) = Bn cos
以杆左端为坐标原点建立坐标系, 以杆左端为坐标原点建立坐标系,在坐标为 x 处 取一微元段 dx ,在任一时刻 t,微元段两端的位移 , 和截面内力如下: 和截面内力如下: 在 x 处,截面位移为 u ( x, t ) ,在 x + dx 处位移 ∂u ∂u ∂u u + dx dx ε= dx 为 的绝对变形为 ∂x ,应变 ∂x 则 ∂x 。 在 x 截面上内力为
nπ x l
对应的第 n 阶主振动为
nπ un ( x, t ) = B cos x ⋅ sin (ωn t + φn ) l 注意: 可以为零,与两端固定不同, 注意: ω 可以为零,与两端固定不同,当 ω = 0 时
' n
' U ( x ) = Bn ,意味着各点振幅完全一样,对应杆的 意味着各点振幅完全一样,
2 2
∂ 2θ G ∂ 2θ ∂ 2θ = = a2 ⋅ 2 ∂t 2 ρ ∂x 2 ∂x
a——剪切波在杆内传播速度 ——剪切波在杆内传播速度 —— 边界条件: 边界条件: 1)固定端 )固定端
ϑ ( x, t ) = 0, x = 0, ℓ
转角为零
2)自由端 ) ∂ϑ ( x, t ) = 0, x = 0, ℓ ∂x
ω U ( x ) = Asin a
ω x + B cos a
x
则有
u ( x, t ) = T ( t ) U ( x )
ω ' ω ' = A sin x + B cos a a
件确定。 件确定。
x sin (ωt + ϕ )
A' , B ' , ω , ϕ 为待定常数 ,由边界条件和初始条 为待定常数, 这里
' 1
πx
l
x=
l l , U1 = A1' 2 2
2π x ω2 → U 2 ( x ) = A sin l
' 2
2阶
l l l l ' x = ,U 2 = 0,x = ,U 2 = A2 2 4 2 4 3l 3l ' x = , U 2 = − A2 4 4
个节点。 显然第 n 个振型有 n-1 个节点。对每一阶主振动都 求出一个固有频率, 求出一个固有频率,对第 n 阶主振动有
nπ un ( x, t ) = A sin x ⋅ sin (ω n t + ϕ n ) l 系统的自由振动是 n 阶主振动的叠加
' n
nπ u ( x, t ) = ∑ A sin x ⋅ sin (ωn t + ϕ n ) l n =1 ' Bn 与 φn 由初始条件确定。 由初始条件确定。 其中
处截面(质点) 其中 U ( x ) 相当于在 x 处截面(质点)的振动的 振幅, 也称振型函数。 振幅,则 U ( x ) 也称振型函数。
几种典型的边界条件 (1) 固定端 ) 该处纵向位移为零 纵向位移为零。 该处纵向位移为零。
u ( x, t ) = 0 , x = 0, l 。
(2) 自由端 ) 该处横向内力为零 横向内力为零。 该处横向内力为零。
中截面上的 x 点,取微元段为
M(x,t), Q(x,t)
∂Q Q( x + dx, t ) = Q( x, t ) + dx ∂x
M ( x + dx, t ) = M ( x, t ) + ∂Q dx ∂x
外载: 为分布载荷 外载:q( x, t ) 为分布载荷,在一个微段内可假设为均 匀分布的,即可化为 q ( x, t ) dx 匀分布的, 惯性力: 惯性力 : 已知单位长度的质量
扭矩为零
(3)弹性支承 )
∂ϑ kϑ ( ℓ, t ) = −GJp ( ℓ, t ) ∂X
(4) 右端有一惯性圆盘,则有 右端有一惯性圆盘,
∂ϑ ∂ϑ J o 2 ( ℓ, t ) = − Jpd ( ℓ, t ) ∂t ∂x J 圆盘对称轴转动惯量
2
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象:匀质细长梁(一般假定长细比>10) 研究对象:匀质细长梁(一般假定长细比 ) , 有纵向对称平面。振动运动过程中,假设: 有纵向对称平面。振动运动过程中,假设: 1)梁的轴向位移可以忽略 )梁的轴向位移可以忽略 2)截面绕中性轴(梁几何中心线)转动可忽略 中性轴( 几何中心线) ) 3) 变形时满足平面假设, ) 变形时满足平面假设, 并忽略剪力引起的变形
对于等截面的杆, 对于等截面的杆,由同种材料构成的 A( x) = A , ρ ( x) = ρ
∂u ∂u ρ A 2 = EA 2 ∂t ∂x
2 2
∂ 2u E ∂ 2u ∂ 2u = = a2 2 ∂t 2 ρ ∂x 2 ∂x
该方程为一维波动方程, 该方程为一维波动方程, a 为纵波在杆内的传播速 度。方程可用分离变量的方法求解