运输问题模型

j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
2. 销大于产问题的数学模型
销大于产时，
ai bj
i
j
各个销地的需求不一定能够得到 满足，运输问题的数学模型为
nn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,, m
n
xij ai , i 1,, m
j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
运输问题本质是一个线性规划问题
运输问题变量比较多，系数矩阵为0-1 矩阵，其中大部分元素为零。计算运 输问题我们有比单纯形法更好的专门 求解运输问题的算法。
C=c(1,1) c(1,2) … c(1,n), c(2,1) c(2,2) … c(2,n), … c(m,1) c(m,2) … c(m,n);
enddata [OBJ]min=@sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j)); @for(row(i):@sum(arrange(j):x(i,j))=a(i);); @for(arrange(j):@sum(row(i):x(i,j))=b(j);); @for(link(i,j):x(i,j)>=0;); END
的运量为 xij
运输问题的数学模型可以分以下3种情 况讨论：
1. 产销平衡问题
2. 销大于产问题
产大于销问题
1.产销平衡问题的数学模型
产销平衡时，
ai bj
i
j
各个产地的物资总和正好满足所有 销地的需求，运输问题的数学模型 为
nn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,, m
3
4
25
4
2
57
销量
3 ,0
8
4
6
B1
B2
B3
B4
来自百度文库
产量
A1
3
6
×
×
2
A2
×
9
10
7 9,6,0
1
3
4
25
A3
×8
4
2
57
销量
3 ,0
8,2 4
6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7 9,6,0
×
2
1
3
4
2 5,3
× 8× 4
2
3 ,0
8,2,0 4
57 6
B1
B2
B3
B4
j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
2. 产大于销问题的数学模型
销大于产时，
ai bj
i
j
各个销地的需求一定能够得到满足， 但各个产地的物资不一定全部运走。 运输问题的数学模型为
nn
min z
cij xij
i1 j1
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
9,6,0 5,3,0
× 8× 4
2
3 ,0
8,2,0 4,1
57 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
1
× 8× 4
2
5
3 ,0
8,2,0 4,1,0 6
9,6,0 5,3,0 7,6
填上x33=1后,自然少去一列(第 3列),这时不要再去掉第3行。
注意到每填一个数据恰好减少一 行或一列。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
1
6
× 8× 4
2
5
3 ,0
8,2,0 4,1,0 6
9,6,0 5,3,0 7,6
总共填写m+n个数据
填上去的m+n个数据为基变 量
产销平衡运输问题的初始解
2. 最小元素法 选择运价表中最小运价，运量和销量
5
×
4
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
3. 位势法求检验数
对每个基变量xij，计算ui和vj，使
ui+vj=cij
其中u1=0
A1 u1=0 A2
A3
销量
B1
B2
B3
B4
产量
V2=9
V4=7
×
5
×
4
2
9
10
7 9,5
3
×
产销平衡运输问题的求解
定理 产销平衡运输问题一定
存在最优解 。
产销平衡运输问题的Lingo模型
MODEL: sets: row/1..m/:a; arrange/1..n/:b; link(row,arrange):c,x; endsets data: a=a(1) a(2) … a(m); b=b(1) b(2) … b(n);
运输问题模型
二0一0年四月
运输问题的一般描述
设某种物资有m个产地A1,A2,…,Am， 和n个销地B1,B2,…,Bn,其中Ai的产量 为ai,Bj的销量为bj，产地Ai运往销地 Bj的单位运价Cij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n. 求尽可能满足销地需求且总费用最小的 运输方案。
解：设产地Ai运往销地Bj
产销不平衡运输问题也有类似的 Lingo模型
产销平衡运输问题的初始解
1. 西北角法 在运价表的西北角选择运量和销量中
的较小数作为运量（初始基变量）， 每确定一个初始基变量后，划去需求 变成零的剩余列元素或划去运量变成 零的剩余行元素。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
2
A2
×
1 A3
×8
9
10
7 9,6
9 5,2,0 7,3,0
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
4
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
填上x14=4后,第4列自然 被去掉
记住每填一个数据减少一 行或一列。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
1
3
4
2 5,2,0
×
3
4
×
8
4
2
5 7,3,0
3 ,0
中的较小数作为运量（初始基变量）， 每确定一个初始基变量后，划去需求 变成零的剩余列元素或划去运量变成 零的剩余行元素。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
9
10
3
4
4
2
8
4
79 2 5，2 57 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4