排队模型与模拟

L 1 1 W
P0 1
Pn n (1 )
Lq L ( ) 1 Wq W ( )
2 2
P( N k )
k 1
二、M/M/1/∞/N模型 1．模型条件：单位时间平均到达率 和平均服务率 ，顾客源无限，容量 N，单列，混合制．
③ 顾客按类排 m 个队，在同一队中采取先到先服务。
a. 非强占优先 b. 强占优先
恢复—继续 恢复—重复
5. 成批排队模型 顾客成批到来，或者服务员成批对顾客服务， 甚至两者都是成批进行。 ① 顾客成批到来 每批顾客到来的间隔时间是独立同分布的随机变量， 一批中的顾客数是随机变量。 ② 对顾客成批服务 服务一批顾客所需时间是独立同分布的随机变量。 考虑每次服务个数 m是个常数 a.服务员等待 b. 队中只要有顾客，就立即开始服务 当然，一批中的顾客数也可以是随机变量， 它的概率分布是已知的。
值最小的方案作为最优方案。
3. 有限源排队模型 一个工人看管 m 台机器 ①各台机器经过服务后，能够持续正常工作的时间 是独立同分布的随机变量，他们的分布函数 F ( x) 是已知的。 ② 工人处理一次事件所需的时间是随机变量，其分布 函数 G ( x) 是已知的。 m 上述问题叫有限源排队模型。在这里顾客的“源”是 台机器。
2. 串联排队模型
m1
M1
m2
M2
m3
M3
对上述三级串联模型考虑一个优化问题： 以总费用为目标，以等待室容量为变量构成一个 优化问题。 总费用函数是 N
f f (m1 , m2 , m3 ) A B t i CN
i 1
考虑 (m1 , m2 , m3 ) 的几个方案，分别算出费用函数 f
1 即
，表明服务员没有足够的能力接待到
来的全体顾客，从总的趋势上说，排队的顾客会越来 越多。可以证明排队模型是不稳定的。
1 排队的顾客也会越来越多，系统是不稳定的。
这是由于随机因素在起作用。
李特尔公式
• 在系统达到稳态时，假定平均到达率 为常数λ ，平均服务时间为常数1/μ ， 则有下面的李特尔公式： L=λ W Lq=λ Wq W= Wq +1/μ L= Lq +λ /μ
6. 排队网络
①设有 m个服务台， 一个服务台为一个结点。 在结点上，顾客按一定的输入过程到来 ② 每个结点对顾客的服务时间，各自服从一定的 概率分布。 ③ 经过某个结点服务完的顾客，按照规定的路径 转到另一个结点或退出系统。 这种转移也可依照随机的规则。
7. 匹配排队模型
三、排队系统的符号表示
2．排队规则： 指服务台从队列中选取顾客 进行服务的顺序。 (1)损失制，这是指如果顾客到达排队系统时, 所有服务台都被先到的顾客占用 , 那么他们就自动离开系统。
(2)等待制，指当顾客来到系统时，若服务 台没有空闲，则顾客排队等候服务。 1)先到先服务：按顾客到达的先后顺序对 顾客进行服务，FCFS 2)后到先服务，LCFS 3)随机服务：即当服务台空闲时，不按照 排队序列而随意指定某个顾客接受 服务，SIRO 4)优先权服务，PR
2．系统的状态概率和主要运行指标：
1 1 N 1 P0 1 1 N
1 1
n P0 Pn P0
1
1
1 N 1 N N N 1 1 1 L N 2
第一节 排队系统的基本概念
一、排队系统的组成 二、排队系统的主要研究内容 三、排队系统的符号表示 四、排队系统的常见分布
一、排队系统的组成
• 共同特征：
(1)请求服务的人或者物——顾客
(2)有为顾客服务的人或者物--服务台 (3) 顾客到达系统的时刻是随机的，为 每一位顾客提供服务的时间是随机的， 因而整个排队系统的状态也是随机的。

N 1



1 1 1 1
L 1 P 0 Lq N N 1 2 N 1
e 1 PN 1 P0
W L
e
Wq
Lq
e
三、M/M/1/m/m模型 1．模型条件：单位时间平均到达率 和平均服务 m，容量m，单列，混合制． 率 ，顾客源 2．系统的状态概率和主要运行指标：
A.排队系统的主要数量指标： 1.λ ——平均到达率，单位时间内到达的顾客数的 期望值 ；1／λ ——平均到达间隔； 2.μ —— 平均服务率，单位时间内服务的顾客数的期 望值 ；1/μ ——平均服务时间；
﹡ 3.Pn (t ) 稳态系统t时刻有n个顾客的概率；
特别当 n＝0 时（系统中顾客数为 0）， P0 (t ) 即稳态系统所有服务台 全部空闲的概率；
排队系统由3个部分组成
1、输入过程 2、排队规则
3、服务规则
1．输入过程： 顾客是按怎样的规律到达排 队系统的 (1)顾客源,指顾客的来源。 可以是有限的，也可以是无限的。 (2)顾客到达方式,描述顾客怎样来到系统。 可以单个到达，也可以成批到达。 (3)顾客流的概率分布（相继顾客到达时间间 隔的分布） 有确定的时间间隔，也有随机的时间间隔
描述符号：①/②/③/④/⑤ 各符号的意义： ①——顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M——到达的过程为泊松过程或负指数分布 D——定长输入 EK——K阶爱尔朗分布 G——一般相互独立的随机分布 ②——服务时间分布 ③——服务台(员)个数
④——顾客源总数 ⑤——系统内顾客的容量
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四、排队系统的常见分布
p
n 0

n
1
那么称这个排队模型是稳定的。 概率分布 pn : n 0,1,2, 称为队长的稳定解。 对于长时间连续不断运行的排队模型，稳定解 比瞬时解有更重要的意义。
令

，称为服务强度。
1 即
，表明服务员有足够的能力完全
接待到来的全体顾客。可以证明排队模型是稳定的。 但这决不是说，每位顾客就不用等待了，因为在 系统运行中随机因素在起作用。
N―稳态系统任一时刻的状态,即系统中所有顾客数; U―任一顾客在稳态系统中的逗留时间； Q―任一顾客在稳态系统中的等待时间；
B.系统稳定的含义： 若3.中的 p n (t ) 满足，对任意的 n 0,1,2,
lim p n (t ) p n 都存在，并且极限值 p n t
与初始状态无关而且满足
(3)混合制，这是等待制与损失制相结合的 一种服务规则，一般是指允许排队，但又 不允许队列无限长下去。 1)队长有限：当排队等待服务的顾客人数超 过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求 服务，即系统的等待空间有限的。 2)等待时间有限：顾客在系统中的等待 时间不超过某一给定的长度T，当等待时间 超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和) 有限。
C. 几类具体模型的实际背景 1.多服务员平行排队模型
输入 队列
服务台1
服务台2
①假定顾客到来间隔时间是独立同分布的随机变量， 其分布函数F ( x) 是已知的。 ② 各台机器服务一个顾客所需时间，都是独立同分布的 随机变量，其分布函数 G ( x)是已知的。 ③ 顾客到来后排成一个队 。
①通常假定间隔到达时间和服务时间都是随机变量， 但不排斥它们有一个是常数。 ②有些排队规则对要考虑的问题可能没有影响。
间隔时间 T 的期望值 概率密度为：
(t 0)
1
E (T )
对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布，

。
f (t ) e t (t 0)
其中， 表示单位时间内完成服务的顾客数， 也称平均服务率。
第二节 典型排队模型的理论结果
M/M/1：排队规则适用于FCFS、LCFS和SIRO． 一、M/M/1/∞/∞模型（M：到达、服务均为指数分布） 1．模型条件：单位时间平均到达率 和平均服务率 ，顾客源无限，容量无限，单列，FCFS． 2．系统的状态概率和主要运行指标：
3.服务规则：
(1)服务台数量及构成形式,有单服务台和多服务台 ①单队—－单服务台式；②单队-－多服务台并联式; ③多队—－多服务台并联式；④单队—－多服务台 串联式；⑤单队—－多服务台并串联混合式，以及
多队多服务台并串联混合式等等。 (2)服务方式，指接受服务的顾客数， 有单个服务和成批服务两种。 (3)服务时间的分布。 在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是 随机变量。
二、排队系统主要研究内容


排队论研究的问题： 一、在服务设施设置之前，确定服务设施的规模；二、 对已有的服务系统施以最优控制。 建立排队问题的优化问题： 首先根据问题本身的要求，构建一个目标函数，这个 函数与排队模型的某些数量指标有关。 另外选择“决策变量”，“决策变量”就是模型中考 虑的那些可变化因素。对“决策变量”所有可能的 “值”，找出使目标函数最优的，就是最优解决策。
1．泊松分布（Poisson distribution） (1) 平稳性 在时间 t t 内，到达 n 个顾客的概率只与 t 和 n 的大小有关。 (2) 无后效性 在时间 t t 内，到达 n 个顾客的概率与起
始时刻之前到达多少个顾客无关。
(3) 普通性 充分小的时间间隔 t ，在时间 t t 内最多
有一个顾客到达系统。
(t ) P n t n!
n
e
t
t 0

n!
n
n 0,1,2,
Pn Pn 1
e

2．负指数分布(negative exponential distribution) 负指数分布的概率密度为：
f T (t ) e t
4.L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有 顾客数的期望值；
5.Lq——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待
服务的顾客数的期望值； 6.W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系 统的顾客逗留时间的期望值； 7.Wq——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的 顾客等待时间的期望值。 8.其他常用数量指标 s——系统中并联服务台的数目；
1 P0 m m! k k 0 m k ! m! Pn n P0 m n !

1 n m
L m 1 P0 e 1 P0 m L
W L Wq Lq
L q L 1 P0
可以研究它的下述一些指标： ①一个工班（八小时）中一名工人的产量；②机器正常运转率； ③工人的服务强度，指服务累计时间同八小时的比值。 进一步还可以考虑优化问题：一个工人看管几台机器为好？ 所以存在最佳配置问题。
4. 优先权排队模型 医院的患者，急症患者优先接受诊治。构成一个 优先权排队模型。 ① 顾客有 m 类。类号小的顾客有较高的优先级。 ② 输入过程可以用如下两种方式之一来描述： a. 每类顾客作为一个顾客流。 b. 各类顾客作为一个统一的顾客流。
e
e
M/M/C：排队规则适用于FCFS、LCFS和SIRO． 一、M/M/C/∞/∞模型
• 前言 • 排队系统的基本概念
• 典型排队系统的理论结果
• 排队系统的最优化设计 与计算机模拟
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的 问题
• 面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服 务设施，但是增加的数量越多，人力、物 力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费， 如果服务设施太少，顾客排队等待的时间 就会很长，这样对顾客会带来不良影响。 • 如何做到既保证一定的服务质量指标，又 使服务设施费用经济合理。 • 恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用 大小这对矛盾，就是随机服务系统理论 —— 排队论所要研究解决的问题。